精品解析：东北三省精准教学联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学强化卷

东北三省精准教学联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学强化卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 9 C. D. 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 10. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间单调递增 D. 当时，函数有8个零点 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______________. 13. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为__________. 14. 已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 16. 已知数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 17. 如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 19. 如果数列满足，为常数，，，则称数列为数列，已知项数为n的数列的所有项的和为，且为数列. （1）若，，，写出所有可能的的值; （2）若，，证明：“”是“数列为递增数列”的充要条件; （3）若，，证明：若，则或， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北三省精准教学联盟2025-2026学年高三上学期10月联考数学强化卷 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据根式以及二次函数的性质化简集合，即可利用交集的定义求解. 【详解】由可得，得 故， 故选：D 2. 设，若为实数，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先计算化简，结合为实数求解. 【详解】因为  为实数， 可得 故选：A. 3. 已知向量，满足，，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角. 【详解】设，， 因为，， 所以，解得， 所以，，，则， 因为，则． 故选：B 4. 某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，若大轮的半径为，则大轮每秒转过的弧长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出大轮每分钟转的圈数，再借助弧长公式计算即得 【详解】由大轮有50个齿，小轮有15个齿，小轮每分钟转10圈，得大轮每分钟转的圈数为，因此大轮每秒钟转的弧度数为，所以大轮每秒转过的弧长是. 故选：D 5. 已知为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 5 B. 9 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据所给条件及等比数列通项公式求出，再由求和公式计算可得. 【详解】设等比数列的公比为，显然， 由，即， 则，解得， 所以. 故选：A 6. 定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解. 【详解】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以， 则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以. 故选：D. 7. 已知，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据，即可利用二倍角公式以及和差角公式化简求解. 【详解】由可得 ， 故选：C 8. 已知函数，若在存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出和时，函数的最小值，由题意，列出不等式，借助函数的单调性解不等式即可. 【详解】当时，单调递增， 所以当时，有最小值， 当时，单调递减， 所以，无最小值， 因为在存在最小值， 所以， 令， 因为和在上均单调递增， 所以在上均单调递增， 又因为， 所以当时，，即成立， 所以的解集为. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设复数在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则或 D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：利用复数与共轭复数的概念求解，选项B:利用虚数无法比大小求解，选项C：利用复数的模求解，选项D：利用复数的几何意义求解. 【详解】选项A：设复数则则故选项A正确； 选项B:虚数无法比较大小，故选项B错误； 选项C：若则则复数有无数组解，例如，故选项C错误； 选项D：若Z的集合所构成的图形的面积，故选项D正确. 故选:AD. 10. 已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 函数在区间单调递增 D. 当时，函数有8个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象的振幅、周期求出和的值，根据图象的特殊点和的范围求出的值，可判断选项A、B是否正确；根据求出的解析式及整体替换思想求出的单调增区间可判断C；化简解析式，将一个函数的零点个数问题，转化为两个新函数的交点个数问题可判断D. 【详解】对于选项A，由图知，，得到， 则，选项A正确； 对于选项B，，又因为， 所以，故选项B错误； 对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C正确； 对于选项D，， 整理得，， 令，得 观察图象知，和在上共8个交点， 所以在上共有8个零点，故选项D正确. 故选：ACD 11. 已知函数满足：对任意，且当时，.下列说法正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】由关系取，可求，取，可求，再求，判断A，取，可得，的关系，再将替换为，求，由此判断函数的奇偶性，判断B，将中的用替换可得，结合条件证明当时，，再结合函数的奇偶性判断C，结合单调性定义证明函数在上单调递减，再利用导数证明函数在上单调递减，判断D. 【详解】因为， 令，，可得， 所以， 令，，可得， 所以， 所以，A正确； 由， 令可得，， 再将中的替换为，可得， 所以， 所以，所以函数为奇函数，B错误； 当时，将中的用替换， 可得，即， 当时，，由已知可得， 所以，， 又函数为奇函数，所以当时，，， 所以当时，，C正确； 因为， 所以若，则， 任取，且， 则， 因为，所以，，, 所以，所以， 所以函数在上单调递减， 设， 当时，， 因为，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 所以， 所以在上单调递减. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据函数的解析式，结合指数式与对数式的运算法则，即可求解. 【详解】由题意，函数，令，所以. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题，其中解答中熟记指数式与对数式的运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 13. 已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为AD，AB上的点，当的周长为4时，面积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，，根据已知有，再应用基本不等式求的最大值，即可求面积的最大值. 【详解】设，，，则， 因为的周长为4，所以， 因为，当且仅当时取等号， 故，则，则面积满足 故面积的最大值为 故答案为：. 14. 已知同一平面内的单位向量，，，则的最小值是________；若与不共线，，，，，则________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】利用数量积定义及运算律可得第一空；设，利用平面向量的线性运算分类讨论结合共线的充要条件确定的值即可. 【详解】要使最小，需模长最大，且与夹角为， 故当同向，且反向时，， 可取得最小值； 设，即，又，，均为单位向量， 若共线，则首尾相连一条线段，则此时与共线，不符题意； 所以不共线，则首尾相连形成一个菱形，即， 因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：， 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 16. 已知数列的前n项和为，． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入相邻两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，两式相减，根据等比数列的定义，代入通项公式，即可得答案. （2）设数列满足，记的前项和为，则，根据等比数列求和公式，代入计算，即可得答案. 【小问1详解】 由可得． 两式相减并由得到． 特别地，取，则由知． 所以是以2为首项，公比为2的等比数列， 则． 所以的通项公式是． 【小问2详解】 设数列满足． 记的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以． 即新数列的前项和． 17. 如图，与存在对顶角，，，且． （1）证明：为中点； （2）若，求的长． 【答案】（1） 设，，则，. 在中，由余弦定理得： 在中，由余弦定理得：. 由，所以. 化简得：. 故为中点. （2） 【解析】 【分析】（1）设，，结合余弦定理，表示出与，根据列式化简可得. （2）先确定角的数量关系，根据求角的三角函数，再在中用正弦定理，可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： 过点做，交与. 则. 由（）. 所以，又，所以. 所以. 所以，又，. 所以. 由 所以. 又，所以，所以. 所以. 即. 在中，根据正弦定理，可得：. 18. 设函数（，，）. （1）当时，求的最小值； （2）讨论函数的图象是否有对称中心.若有，请求出；若无，请说明理由； （3）当时，都有，求实数a的取值集合. 【答案】（1）4 （2） 设点为函数的对称中心，则， 所以，即， 所以， 于是，且，且， 即，， 所以当时，m无解，此时函数的图象没有对称中心； 当时，，此时函数图象的对称中心为. （3） 【解析】 【分析】（1）结合指数运算法则，利用基本不等式求解即可，注意验证等号成立条件. （2）利用中心对称列方程，根据指数运算化简得，，按照和分类讨论求解即可. （3）由题意转化为恒成立，令，按照和分类讨论，利用导数法研究其单调性，求解最值即可得解. 【小问1详解】 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以，当时，取最小值4. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时，，所以在上恒成立，即． 令，则， 所以，令，则， 所以在上单调递减， ①当时，，则在上单调递减， 此时当时，，舍去； ②当时，由，解得， 1°当时，， 所以时，，则单调递增； 时，，则单调递减； 所以时，取极大值，则，所以满足； 2°当时，， 因为时，，则单调递减， 所以时，，舍去； 3°当时，， 因为时，，则单调递增， 所以时，，舍去； 综上，实数a的取值集合为. 19. 如果数列满足，为常数，，，则称数列为数列，已知项数为n的数列的所有项的和为，且为数列. （1）若，，，写出所有可能的的值; （2）若，，证明：“”是“数列为递增数列”的充要条件; （3）若，，证明：若，则或， 【答案】（1）2，4，0 （2）证明：必要性：因为， 所以，故数列为等差数列，公差为5， 所以，必要性成立； 充分性：由于，，，， 累加可得，，即， 因为，故上述不等式的每个等号都取到， 所以，即，充分性成立； 综上所述，“”是“数列为递增数列”的充要条件. （3）证明：令， 依题意，， 因为，，，， 所以 ， 因为，所以为偶数， 所以为偶数； 所以要使，必须使为偶数， 即4整除，亦即或， 当时，比如，，，， 或，，时，有，； 当时，例如，，，， 或，，，，有，； 当或时，不能被4整除， 综上所述：若，则或， 【解析】 【分析】（1）分析可能性结果，结合题意即可得结果； （2）根据题意利用等差数列的通项公式证明必要性；根据题意利用累加法证明必要性； （3）令，可得，根据题意求，分析可知要使，必须使为偶数，进而分析证明. 【小问1详解】 依题意可知有如下三种情况： 若，1，0，1，此时， 若，1，2，1，此时， 若，，0，1，此时 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解具有“数列”的数列特征，并根据所给信息结合等差数列相关知识以及递推关系等对问题进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $