湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

2025级高一上学期数学期中考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C D C A AD ACD 题号 11 答案 ABC 12. 13. 14. 8.【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故；此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时；综上，实数的取值范围是. 故选：A 10.D选项【详解】因为，，所以，当且仅当时等号成立．又因为，由不等式的性质可得 . 又因为，当且仅当时等号成立．当且仅当时等号成立综上，的最小值为， .11.【详解】由，令，则，则关于对称，又为定义在上的奇函数，，，关于原点对称， ，故，即，函数周期为4.对于A，，A对； 对C，，，，由关于对称且关于原点对称，故，，又周期为4，故的最小值为，C对；对BD，，且单调递减，关于对称，则且单调递增，，关于原点对称， 由可得①， 设解为，且，则，由得或， （1）当时，，①式可解得，即在区间无解，又过，，结合的单调性及对称性可得，在区间有三个解为、0、1； （2）当时，，，则，又时代入方程组得，故， 即在区间有1个解，又，，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （3）当时，①式可解得，即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （4）当时，，则，又， 即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （5）当时，由的中心对称性可得在区间最多三个解；故B对D错.故选：ABC 14.【详解】设，， 令，则，因为，所以，，当且仅当时等号成立，，，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，，，都有成立，所以，，解得，的取值范围为 15.【详解】（1），又， （2） ； （3）因为，所以，所以，所以. 16.【详解】（1）令，则，故； （2）在上为减函数，理由如下：设， 则， 因为，所以， 所以，即在上为减函数； （3)， ，则， 在上为减函数，，解得， 所以，不等式的解集为. 17.【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度可表示为：当时，，当时，， 则当时，由，解得，所以得， 当时，由，解得，所以得， 综合得，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天. （2）设从第一次喷洒起，经天，浓度 ， 因为，而，所以，故， 当且仅当时，有最小值为， 令，解得，所以a的最小值为 18.【详解】（1）是奇函数，，则，又，，，，解得，，， 当时，，舍去；当时，，， 经检验是奇函数，. （2）方程在上有两个不同的实数根，即方程 在上有两个不相等的实数根，当时，，不合题意，舍去； 当时，则，解得，实数的取值范围是. （3）由题意知， 令，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，∴ ∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增. 当时，；当时，； 即， 又∵对都有恒成立，∴， 即，解得，又∵， ∴的取值范围是. 19.【详解】(1)设函数图象关于点成中心对称图形，则函数为奇函数，，则有 ， ，则，， 函数图象的对称中心是. （2）（ⅰ）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，所以为奇函数，所以，，即， 当时，，所以 所以 . （ⅱ）， ①当时，在上单调递增， 当时，则，即方程在上有两个不相等的根，即在上有两个不相等的根， 令，但 所以在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在 上单调递增， 当时，则 即方程在上有两个不相等的根，即在 上有两个不相等的根，令，则，解得； ③当时，易知在上单调递增， 所以在上单调递增，此时 ，即， ，则易知在上单调递减，，， 又时， 当且仅当，即时取等号，，此时无解. 综上可知：t的取值范围是. ( 1 )学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期2025级 期中考试数学试卷 命题人：冷劲松 审题人：郭松 考试时间：2025年11月13日 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分． 每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1．集，则的子集的个数为（ ） A．2 B． 5 C．6 D．8 2．“”是“”的(     ) A． 充分不必要条件 B． 充要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件 3．若，则（ ） A． B． 　　C． 　　　D． 4．命题：，使得,成立．若是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象大致为（ ） A． 　B． 　C． 　D． 6．已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．定义在上的奇函数，且，且对任意不等的正实数都有，则不等式的解集为( ) A． B． C． D． 8．已知函数．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列四个命题是真命题的是（ ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B． 函数f（x）满足，则 C． 函数的值域为 D．若二次函数，实数，则 10．已知均为正实数，且，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为5 C． 的最小值为 D．若，则的最小值为 11．已知为定义在上的奇函数，且，当，，，则下列说法正确的是（ ） A． B．在区间最多有三个解 C．的最小值为 D．在区间最多有五个解 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12．已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 13．函数的单调递减区间为__________． 14．已知函数，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）（1）已知，求的值； （2）计算：； （3）已知，求的值． 16．（15分）已知定义在上的函数，对任意的，恒有，且时，． （1）求的值； （2）判断在上的单调性并证明； （3）解不等式：． 17．（15分）为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度（单位：毫克/立方米随着时间（单位：天）变化的关系如下：当时，；当时， ．若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于（毫克/立方米）时，它才能起到净化空气的作用． （1）若一次喷洒4个单位的净化剂，则净化时间可达几天？ （2）若第一次喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒个单位的净化剂，要使接下来的4天中能够持续有效净化，试求a的最小值．精确到，参考数据：取 18．（17分）已知函数是定义域上的奇函数，且，且 （1）求函数的解析式； （2）若方程在上有两个不同的实数根，求实数的取值范围； （3）令，若对,恒成立，求实数的取值范围． 19．（17分）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。有同学发现可以将其推广为如下结论：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）若定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，且当时，． （ⅰ）求函数的解析式； （ⅱ）若函数满足：当定义域为时值域也是，则称区间为函数的“保值”区间，若函数在上存在保值区间，求实数的取值范围． 高一年级期中考试数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C B C A B A AD ACD 题号 11 答案 ABC 12． 13． 14． 8．【详解】当时，由， 若时，，即，故； 若时，，即，故；此时； 当时，由， 所以或，即或（舍）， 若时，，即，显然无解； 若时，，即，故； 此时；综上，实数的取值范围是． 故选：A 10．D选项【详解】因为，，所以，当且仅当时等号成立．又因为，由不等式的性质可得 ． 又因为，当且仅当时等号成立．当且仅当时等号成立综上，的最小值为， ．11．【详解】由，令，则，则关于对称，又为定义在上的奇函数，，，关于原点对称， ，故，即，函数周期为4．对于A，，A对； 对C，，，，由关于对称且关于原点对称，故，，又周期为4，故的最小值为，C对；对BD，，且单调递减，关于对称，则且单调递增，，关于原点对称， 由可得①， 设解为，且，则，由得或， （1）当时，，①式可解得，即在区间无解，又过，，结合的单调性及对称性可得，在区间有三个解为、0、1； （2）当时，，，则，又时代入方程组得，故， 即在区间有1个解，又，，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （3）当时，①式可解得，即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （4）当时，，则，又， 即在区间无解，又，结合的单调性及对称性可得在区间少于三个解； （5）当时，由的中心对称性可得在区间最多三个解；故B对D错．故选：ABC 14．【详解】设，， 令，则，因为，所以，，当且仅当时等号成立，，，函数在上单调递减，则， 所以，时，，， 由于对任意的，，，都有成立，所以，，解得，的取值范围为 15．【详解】（1），又， （2） ； （3）因为，所以，所以，所以． 16．【小问1详解】 令，则，故； 【小问2详解】在上为减函数，理由如下：设， 则， 因为，所以， 所以，即在上为减函数； 【小问3详解】，，则， 在上为减函数，，解得， 所以，不等式的解集为． 17．【小问1详解】因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度可表示为：当时，，当时，， 则当时，由，解得，所以得， 当时，由，解得，所以得， 综合得，故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天． 【小问2详解】设从第一次喷洒起，经天，浓度 ， 因为，而，所以，故， 当且仅当时，有最小值为， 令，解得，所以a的最小值为 18．【小问1详解】又是奇函数， 则，，，又， ，解得，，， 当时，，舍去；当时，，， 经检验是奇函数，． 【小问2详解】方程在上有两个不同的实数根，即方程 在上有两个不相等的实数根，当时，，不合题意，舍去； 当时，则，解得，实数的取值范围是． 【小问3详解】由题意知， 令，因为函数在上单调递减， 在上单调递增，∴ ∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递增． 当时，；当时，； 即， 又∵对都有恒成立，∴， 即，解得，又∵， ∴的取值范围是． 19．(1)设函数图象关于点成中心对称图形，则函数为奇函数，，则有 ， ，则，， 函数图象的对称中心是． （2）（ⅰ）因为定义域为的函数的图象关于点成中心对称图形，所以为奇函数，所以，，即， 当时，，所以 所以 ． （ⅱ）， ①当时，在上单调递增， 当时，则，即方程在上有两个不相等的根，即在上有两个不相等的根， 令，但 所以在上不可能有两个不相等的根； ②当时，在 上单调递增， 当时，则 即方程在上有两个不相等的根，即在 上有两个不相等的根，令，则，解得； ③当时，易知在上单调递增， 所以在上单调递增，此时 ，即， ，则易知在上单调递减，，， 又时， 当且仅当，即时取等号，，此时无解． 综上可知：t的取值范围是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $