精品解析： 辽宁省沈阳市第七中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度上学期期中阶段质量调研 八年级 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．结合选项逐一判断即可． 【详解】解：A、0是整数，属于有理数，本选项不符合题意； B、是开方开不尽的数，属于无理数，本选项符合题意； C、3.14是有限小数，属于有理数，本选项不符合题意； D、是分数，属于有理数，本选项不符合题意； 故选：B． 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征直接判断即可得到答案． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标小于0，纵坐标大于0， 点在第二象限，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征，熟练将点的坐标符号与象限对应起来是解决问题的关键． 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 4. 已知函数是一次函数，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故选A． 5. 已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：因为正比例函数的比例系数是， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以． 故选：B． 6. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法估算的范围即可． 【详解】解：∵， ∴在4和5之间， 故选：D． 【点睛】本题考查了估算无理数的大小，掌握无理数的估算方法是解此题的关键． 7. 在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先看一个直线，得出和的符号，然后再判断另外一条直线是否正确，这样可得出答案． 【详解】解：A、反映，，反映，，则，故本选项错误； B、反映，，反映，，则，故本选项错误； C、反映，，反映，，则，故本选项错误； D、反映，，反映，，则，故本选项错误； 故选：D． 【点睛】此题考查了一次函数图象与和符号的关系，关键是掌握当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴． 8. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①点和点关于y轴对称； ②立方根等于它本身的数是0和1； ③，，是勾股数； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点坐标与轴对称、立方根、勾股数、等边三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题关键．根据点坐标与轴对称、立方根、勾股数、等边三角形的判定逐个判断即可得． 【详解】解：①点和点关于轴对称（横坐标相同、纵坐标互为相反数）；则原说法错误； ②立方根等于它本身的数是0，和，则原说法错误； ③，，都不是正整数，所以它们不是勾股数，则原说法错误； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形（理由：由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得三角形另外两个内角的度数也都等于），则原说法正确； 综上，在这些说法中，正确的个数是1个， 故选：A． 9. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题．先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答 ． 【详解】解：如图所示： 台阶平面展开图为长方形，，， 则蚂蚁沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线长． 由勾股定理得：， 故选：D． 10. 如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C． 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的范围一般从三个方面考虑∶当函数表达式是整式时自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时考虑分式的分母不能为当函数表达式是二次根式时被开方数非负根据分式中分母不等于，二次根式的被开方数大于或等于，列式求解即可 详解】解∶根据题意得 解得且 故答案为∶且 12. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点所在的象限，确定横纵坐标的符号，根据到轴、轴的距离，确定横纵坐标的数值，本题考查了点的坐标，解题的关键是：掌握四个象限内点的坐标符号特点，和到轴、轴的距离所对应的坐标数值． 【详解】解：点 在第二象限， 横坐标为负，纵坐标为正， 距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度， 横坐标：，纵坐标为， ， 故答案为：． 13. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 【答案】 4 【解析】 【分析】本题考查了求解二元一次方程组参数，解决本题的关键是得到 的表达式． 通过将方程组中的两个方程相减，得到 的表达式，再根据已知条件 建立关于 的方程，求解即可． 【详解】解：方程组为：将方程(1)减去方程(2)， 得：， 即， ∴， 已知 ，代入得：， 解得：． 故答案为：4． 14. 如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 证明可得：同理利用三角形全等的性质可得： 从而可得答案 【详解】如图，先标注各顶点，作垂足分别为，，，与交于点，则 ，的面积分别为和， 正方形，，， 同理可得： 故答案为：． 15. 如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并正确作出辅助线是解题的关键．过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，先证明，得出，，然后在证是等腰直角三角形，求出的长，再根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作，截取，连接，，并延长交于点，交于点，连结，则， 在等腰直角中，是斜边的中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）分别利用平方差公式和完全平方公式进行二次根式的乘法运算，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，负整数指数幂、零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键； （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， ，得：，解得； 把代入①，得，解得； 故； 【小问2详解】 ， ，得，解得； 把代入①，得，解得； 故． 18. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式值． 【答案】（1）8 （2）2028 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，二次根式的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，运用整体思想准确计算． （1）按照例题的方法解答即可； （2）由得，再两边平方并利用完全平方公式展开，得到；将整体代入计算即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴， ∴ 2，即1， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴ ，即， ∴． 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 【答案】14.5尺 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设尺，则尺，在中，利用勾股定理列方程求得x值即可． 【详解】解：设尺， 尺，尺， （尺），则尺． 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理，得， 解得． 答：秋千绳索的长度为14.5尺． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）若点Q是y轴上一点，当最小时，点Q的坐标为________； （4）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标为________． 【答案】（1）图见解析，4 （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，利用轴对称求最值，求一次函数解析式等． （1）先在坐标系内描点A，B，C，再顺次连接即可得到三角形，利用网格求面积； （2）关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数； （3）由可得：当点Q在上时，最小，求出直线与y轴的交点即可；- （4）根据即可求解． 【小问1详解】 解：如下图所示， ， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：若点D与点关于y轴对称，则点D的坐标为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：点D与点关于y轴对称， ， 当点Q在上时，最小，如图， 设直线解析式为， 将和代入，得：， 解得， 直线解析式为， 当时，， 点Q的坐标为， 故答案为：； 【小问4详解】 解：设点P的坐标为， ， ， 解得或， 点P的坐标为或． 故答案为：或． 21. 甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留小时，然后以原速继续向地行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车掉头的时间忽略不计），到达地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度为　　　　　千米/时，在图中的（ ）内应填上的数是　　　　　． （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数关系式． （3）两车出发后几小时相距千米，请直接写出答案：　　　　　时． 【答案】（1），； （2）与的函数解析式为； （3）或或． 【解析】 【分析】()结合函数图象，根据行程问题的数量关系：速度=路程时间，路程速度时间就可以求解； ()由()的结论可以求出点的坐标，再由题意可得点的坐标，由待定系数法求出的解析式； ()分当两车第一次相遇前相距千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程；当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米；分别求解即可． 【小问1详解】 由函数图象可得：，两地相距路程是千米， 乙车行驶的速度是（千米/时）， 图中括号内的数为：， 故答案为：，； 【小问2详解】 ，甲车的速度为千米/时， 甲车从地到地需（小时），故点坐标， 设甲车从地返回地过程中与的函数解析式为， 将，代入上式，得 ， 解得， ∴与的函数解析式为； 【小问3详解】 设两车出发后小时相距千米的路程， 当两车第一次相遇前相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距千米的路程，根据题意，得 ， 解得：， 当甲车到达地后返回甲地，两车第二次相遇时相距千米的路程， ∵， ∴乙在停留时两车第二次相遇时相距120千米， 根据题意，得， 解得：， 当甲车到达地后返回地，两车第二次相遇后，甲车到地距离共有千米，所以两车不可能再相距千米； 综上，两车出发后小时或小时或小时相距千米的路程． 故答案为：2或或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，函数图象，一次函数与一元一次方程的运用，解答时从函数图象获取信息是解题的关键． 22. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． [特例感知] （1）如图1，当点D落在上时，写出的长________； [类比迁移] （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； [拓展提升] （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出的长________； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式________． 【答案】（1）；（2）；（3）①或9；② 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理可得，根据折叠的性质可得，，设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （2）延长，交于点，先求出，利用勾股定理可得，再根据折叠的性质可得，则，然后设，则，在中，利用勾股定理求解即可得； （3）①先求出，再分两种情况：①当时，过点作于点，则，证出，根据全等三角形的性质可得；②当四边形为正方形时，则，得出，则此时点在上，为等腰三角形，根据正方形的性质可得；由此即可得； ②由点是边上一动点（不与、重合）可得，当时，由①知P、D、E共线，；当点D在的右侧时，，过点作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据的面积可得与的函数关系式；同理求出当点D在的左侧时的与的函数关系式，进而可得答案． 【详解】解：（1）∵在中，，，， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故答案为：． （2）如图，延长，交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即． （3）①由旋转的性质得：， ∵在中，， ∴， 则分以下两种情况： 如图1，当时，为等腰三角形， 过点作于点，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 如图，当四边形为正方形时，则， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， ∴此时点在上，为等腰三角形， ∴由正方形的性质得：； 综上，的长为或9， 故答案为：或9． ②∵点是边上一动点（不与、重合），且，， ∴， 当时，由①知P、D、E共线，； 当点D在的右侧时，， 如图，连接，过点作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴的面积 ， 当点D在的左侧时，，如图， 同理可证， ∴， ∴， ∴的面积 ， 综上，． 【点睛】本题考查了折叠的性质、旋转的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质、函数关系式、二次根式的应用等知识，熟练掌握折叠和旋转的性质是解题关键． 23. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【解析】 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中阶段质量调研 八年级 数学学科 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. 0 B. C. 3.14 D. 2. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是一次函数，则m的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 5. 已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（ ） A B. C. D. 6. 估算的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 7. 在同一直角坐标系内作一次函数和图象，可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①点和点关于y轴对称； ②立方根等于它本身的数是0和1； ③，，是勾股数； ④有一个角是的等腰三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 一个台阶如图，阶梯每一层高，宽，长．一只蚂蚁从点爬到点最短路程是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 二．填空题（每小题3分，共15分） 11. 函数 中自变量x的取值范围是____________________________． 12. 在平面直角坐标系中，点 在第二象限，且距离轴个单位长度，距离轴 个单位长度，则点 的坐标为_______． 13. 关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为________． 14. 如图，在同一平面内，直线同侧有三个正方形，，，若，面积分别为25和9，则阴影部分的总面积为_____． 15. 如图所示，在等腰直角中，，O是斜边的中点，M为下方一点，且，，，则______． 三．解答题（共8小题） 16. 计算： （1）； （2） 17. 解方程组： （1） （2） 18. 请阅读下列材料： 已知，求代数式的值． 学生甲根据二次根式的性质：，联想到了如下解法： 由得，则，即，∴．把作为整体，得：． 请运用上述方法解决下列问题： （1）已知，求代数式 的值； （2）已知，求代数式的值． 19. 《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高，离地五尺（尺），求秋千绳索的长度． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、． （1）在平面直角坐标系中画出，则的面积是________； （2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为________； （3）若点Q是y轴上一点，当最小时，点Q的坐标为________； （4）已知P为x轴上一点，若的面积为4，则点P的坐标为________． 21. 甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留小时，然后以原速继续向地行驶，甲车到达地后，立即按原路原速返回地（甲车掉头的时间忽略不计），到达地后停止行驶，原地休息；甲、乙两车距地的路程（千米）与所用时间（时）之间的函数图象如图，请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的速度为　　　　　千米/时，在图中的（ ）内应填上的数是　　　　　． （2）求甲车从地返回地的过程中，与的函数关系式． （3）两车出发后几小时相距千米，请直接写出答案：　　　　　时． 22. 已知，在中，，，．P是边上一动点（P不与B、C重合），将沿折叠得，点C的对应点为D． [特例感知] （1）如图1，当点D落在上时，写出的长________； [类比迁移] （2）如图2，当点D在上方且满足时，求的长； [拓展提升] （3）如图3，将线段绕点A逆时针旋转得，连接． ①当为等腰三角形时，直接写出的长________； ②连接，记，的面积为y，请直接写出y与x的关系式________． 23. 【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $