北京市顺义区仁和中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

仁和中学2025一2026学年度第一学期期中考试 初三年级数学试卷 一、选择题（每题2分，共20分） 1.抛物线y=2x-6)+3的顶点坐标为（） A.(-6,3) B(6,3) C.(6-3) D.(-6,-3) 2.已知反比例函数y=冬化≠0)的图象经过点42,3)，则k的值为() A.3 B、4 C.5 D.6 3.下列判断正确的是() A.任意两个平行四边形一定相似 B.任意两个矩形一定相似 C.任意两个菱形一定相似 D.任意两个正方形一定相似 4.如果一个矩形的宽与长的比等于黄金数5-」1（约为0618，就称这个矩形为黄金矩 2 形.若矩形ABCD为黄金矩形，宽AD=√5-1，则长AB为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 5.如图，由下列条件不能判定△4BC与△ADE相似的是（). A.AE DE D.∠C=∠AED AC BC B∠B=∠ADEC.AE=AC AD AB 6.如图，在△ABC中，D,E两点分别在边AB,AC上，DE∥BC,若 DE:BC=3:4,则SAADE:SAM为() A.3:4 B.4:3 c.9:16 D.16:9 7.将二次函数y=x2-4x+5用配方法化为y=(x-)+k的形式，结果为（) A.y=(x-4)2+1 B.y=(x-4)2-1 C.y=(x-2)-1 D.y=(x-2)+1 8.函数y=ax十1与y=ax2+bx+1(a0)的图象可能是（) 9.二次函数y=ac2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列四个说法 中：①a+2b=0;②a+b+c<0;③ax2+bx+c=0的两个解是 =-3,x2=4;④当x≤0时，y随x的增大而减小； 正确的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.四位同学在研究二次函数y=ax2+bx-6(a≠0)时，甲同学发现函数的最小值为-8； 乙同学发现当x=2时，y=3;丙同学发现x=3是-元二次方程ax2+bx-6=0(a≠0)的 一个根；丁同学发现函数图象的对称轴是直线x=1；已知这四位同学中只有一位同学发现 的结论是错误的，则该同学是（) A.甲 B. 心，丙 D.丁 二、填空题（每题2分，共20分） 11.写出一个二次函数，使其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点(0，-2)，这个二次函 数的解析式可以是 12.将抛物线y=2(x-3)2+2向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到抛 物线的解析式是 13.若抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围为 14.如图，直线y=mx+n与抛物线y=x2+bx+c交于A,B两点，其中点A(2,-3),点 B(5,0),不等式x2+bx+c<mx+n的解集为 15.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成 像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图(1)所示.如图(2)所示的小孔成像实验中， 若物距为l0cm,像距为15cm,蜡烛火焰倒立的像的高度是6cm,则蜡烛火焰的高度是 cm. 图(1) 图（2) 16.如图，点4在双曲线y=在上，ABLr轴于B,且△4OB的面 积SMOR=-3,则k=一一 17.已知点(2，y),(-3,y2)都在函数y=-2(x-1)2+3的图象上，则y1与2大小关系为 1.2（填“>”，“=”或“<) 18.已知反比例函数y=m一」的图象分布在第二、四象限，则m的取值范围是 19.给出定义：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,连接AC、CB,若满足△ACO∽△CBO,则称这样的抛物线 称为“相似抛物线”，如图，二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象是“相 似抛物线”，且AC=2√5，则此抛物线的对称轴为 20.一个33人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下4间一人间和若干间三人间， 住宿价格是一人间每晚100元，三人间每晚130元.（说明：男士只能与男士同住，女士只 能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付130元.) (1)若该旅游团一晚的住宿房费为1530元，则他们租住了 间一人间； (2)若该旅游团租住了3间一人间，且共有9名男土，则租住一晚的住宿房费最少为 元. 三、解答题(21题5分，22-26题每题5分，27-31题每题6分) 21.如图，在△4BC中，∠C=90°，点D在边AC上，DE⊥AB于点 E. (1)求证：△4DE△ABC; (2)若AC=4,AB=5且AD=3,求AE的长. 3 22.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+2x+c的部分图象经过点A(0,-3), B(1,0). (1)求该抛物线的表达式： (2)结合函数图象： ①直接写出y<0时，x的取值范围； ②直接写出-2<x<3时，y的取值范围. 23.如图，在平行四边形ABCD中，连接DB,F是边BC上一点，连接DF并延长，交AB 的延长线于点E,且∠EDB=∠A. (1)求证：△BDF∽△BCD; (2)如果BD=3√5，BC=9,求BF的值， 24.下表是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象上部分点的自变量x和函数值y. 0 34 5 0 -1 01m8 48 … (1)观察表格，m= (2)求此二次函数的表达式； (3,该二次函数的图象与直线y=n有两个交点A,B, 若AB≤6，直接写出n的取值范围. 3 3 25.如图，一次函数y=ax+。的图象与x轴，y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数 y=上(k≠0)的图象相交于点E、F,已知点4(-3,0)， 点F(3,t) (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)结合该图象直接写出满足不等式上<m+弓的解集。 3 4 26.晓宁同学在学习中遇到了以下一个几何问题： 已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线. AB BD 求证： AC DC 喜欢钻研的他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上 完成证明（若自己有其它证法，可利用备用图完成证明） 方法一 证明：如图，过点D作DM⊥AB于M,过点D作DN⊥AC于N. 方法二 证明：如图，过点D作DE∥AB交AC于点E. M D 备用图 27.已知二次函数的解析式为y=x2-2+k2-2. (1)求该二次函数的顶点坐标（用含k的式子表示： (2)若已知A(-1,-1),B(3,0),，该二次函数的图象和线 的之等 段AB有两个交点，结合函数图象，求k的取值范围， 3 28.如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方8的A处射门，已知球门高OB为 2.44m,球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分.当球飞行的水平距离为6m时，球 达到最高点，此时球的竖直高度为3m.现以O为原点，如图建立平面直角坐标系. (1)求抛物线表示的二次函数表达式： (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）： (3)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向正后方移动_米 射门，才能让足球经过点O正上方225m处， y(m) 8 x(m) 5 29.在平面直角坐标系xOy中，点A(xo,m),B(xo+4,m)在抛物线y=x2-2bx+1上. (1)当b=5,xo=3时，比较m与n的大小，并说明理由； (2)若对于3≤≤4，都有m<<1,求b的取值范围. 30.如图，在等边△ABC中，点D,E分别在CB,AC的延长线上，且BD=CE,EB的 延长线交AD于点F (1)求∠AFE的度数； (2)延长EF至点G,使FG=AF,连接CG交AD于点H.依题意补全图形， 猜想线段CH与GH的数量关系，并证明 31.定义：对于平面直角坐标系xOy上的点P(a,b)和抛物线y=x2+ax+b,我们称 P(a,b)是抛物线y=x2+ax+b的相伴点，抛物线y=x2+ax+b是点P(a,b)的相伴抛 物线.已知点A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4 (1)点A的相伴抛物线的表达式为；过A,B两点的抛物线y=x2+ax+b的相伴 点坐标为 ； (2)设点P(a,b)在直线AC上运动： ①点P(a,b)的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线2上，求抛物线2的表达式. ②当点P(a,b)的相伴抛物线的顶点落在△ABC内部时，请直接写出a的取值范围。 3 2 4的士2方本了 2 4 6