周周练04 7.1～7.2 相似多边形、相似三角形的判定（数学新教材苏科版九年级下册）

2026-2027学年九年级下学期数学周周测04 7.1～7.2 相似多边形、相似三角形的判定 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 【分析】对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解答】解：根据相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同据此逐项分析判断如下： A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝25：x， 解得x＝12500000． 12500000cm＝125km． 故选：A． 【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算． 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm， ∴， ∴n＝4cm． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握该知识点是关键． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【解答】解：平行线分线段成比例定理AB∥CD∥EF， ∴BC：CE＝AD：DF， ∵AD：DF＝3：2，BC＝9， ∴9：CE＝3：2， ∴CE＝6， 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm， ∴APAB8＝（44）cm， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．在图形①②③④中，与左图相似的是 　③　 ．（填对应的序号） 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【解答】解：在图形①②③④中，只有③和左面的图形形状相同，大小不同， 所以与左图相似的是③， 故答案为：③． 【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解形状相同大小不同的图形是相似形，难度不大． 8．若，则　　 ． 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k（k≠0）， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 9．如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是　68　 千米． 【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【解答】解：根据题意，3.46800000厘米＝68千米． 即实际距离是68千米． 故答案为：68． 【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 10．若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为　15　 cm． 【分析】根据成比例线段的定义，可得比例关系a：b＝c：d，进而利用比例性质求解． 【解答】解：根据成比例线段的定义可得：a：b＝c：d， ∴ad＝bc， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了比例线段的定义．熟练掌握该知识点是关键． 11．如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝　10　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 12．我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为　12　 ． 【分析】由题意可得DE∥FG∥BC，从而得出△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，再由相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵横线为平行且等距的格线，△ABC的边AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点， ∴DE∥FG∥BC，，， ∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE， ∴，， ∵HG＝2， ∴DE＝4，BC＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 13．如图，点C，D是线段AB的黄金分割点，若AB＝4，则线段CD的长为　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义分别计算AD和BC的长，可得CD的长． 【解答】解：∵点C和点D是线段AB的黄金分割点，AB＝4， ∴AD＝BCAB4＝22， ∴CD＝AD+BC﹣AB＝2（22）﹣4＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，熟记黄金分割比为是解题的关键． 14．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　22　 ． 【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，则BE＝x+4，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵CE＝4， ∴BE＝BC+CE＝x+4， ∵四边形ABEF是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x＝22， 经检验：x＝22是原方程的根， ∴AB＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义进行计算即可． （2）根据题意，由等角对等边得出BC＝MC及AM＝CM，进而得出AM＝BC，再根据△ABC∽△CBM，得出，据此可解决问题． 【解答】（1）解：∵点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH）， ∴． 又∵AB＝10， ∴AH． （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°． ∵CM平分∠ACB， ∴∠ACM＝∠BCM＝36°． ∴∠A＝∠ACM， ∴AM＝MC． 又∵∠BMC＝∠A+∠ACM＝72°， ∴∠BMC＝∠ABC， ∴BC＝MC， ∴BC＝AM． ∵∠A＝∠BCM，∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBM， ∴， ∴， ∴点M是线段AB的黄金分割点． 【点评】本题主要考查了黄金分割、角平分线的定义、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键． 16．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，再根据CF＝3FD可得，进而说明，再结合∠A＝∠D＝90°，即可证明结论； （2）设FD＝k，CF＝3k，AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD ∵CF＝3FD， ∴， ∵点F在CD上， ∴， ∴， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF． （2）解：△BEF是直角三角形，理由如下： ∵CF＝3FD，设FD＝k，CF＝3k，BC＝AB＝AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k 在Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝（4k）2+（2k）2＝16k2+4k2＝20k2， 在Rt△DEF 中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2＝（2k）2+k2＝4k2+k2＝5k2， 在Rt△BCF中，BC＝4k，CF＝3k，由勾股定理得：BF2＝BC2+CF2＝（4k）2+（3k）2＝16k2+9k2＝25k2， ∵BE2+EF2＝20k2+5k2＝25k2＝BF2， ∴△BEF是直角三角形，且∠BEF＝90°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测04 7.1～7.2 相似多边形、相似三角形的判定 时间：45分钟 分值：70分 一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分） 1．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 6．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分） 7．在图形①②③④中，与左图相似的是 _____ ．（填对应的序号） 8．若，则___________________ ． 9．如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是_______ 千米． 10．若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为_______ cm． 11．如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝_______ ． 12．我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为_______ ． 13．如图，点C，D是线段AB的黄金分割点，若AB＝4，则线段CD的长为__________________ ． 14．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝__________________ ． 三．解答题（共2小题，满分20分，每小题10分） 15．（10分）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点． 16．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测04 7.1～7.2 相似多边形、相似三角形的判定 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 【分析】对选项一一分析，排除错误答案即可． 【解答】解：根据相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同据此逐项分析判断如下： A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离． 【解答】解：设实际距离为xcm，则： 1：500000＝25：x， 解得x＝12500000． 12500000cm＝125km． 故选：A． 【点评】本题考查了比例尺的定义．要求能够根据比例尺由图上距离正确计算实际距离，注意单位的换算． 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 【分析】根据成比例线段的定义列出比例式，计算即可． 【解答】解：∵m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm， ∴， ∴n＝4cm． 故选：A． 【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握该知识点是关键． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据比例的性质解答即可． 【解答】解：∵， ∴ ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到即可求解． 【解答】解：平行线分线段成比例定理AB∥CD∥EF， ∴BC：CE＝AD：DF， ∵AD：DF＝3：2，BC＝9， ∴9：CE＝3：2， ∴CE＝6， 故选：A． 【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 6．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】利用黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝8cm， ∴APAB8＝（44）cm， 故选：D． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【解答】解：A、两三角形的对应边成比例，但夹角不相等，故两三角形不相似，故本选项符合题意； B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； D、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 8．如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 【分析】根据相似三角形的判定方法．利用公共角∠A进行求解． 【解答】解：∵∠A＝∠A， ∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或AC：AB＝AP：AC时， △ACP∽△ABC． 故选：D． 【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．在图形①②③④中，与左图相似的是 　③　 ．（填对应的序号） 【分析】根据相似图形的定义进行判断即可． 【解答】解：在图形①②③④中，只有③和左面的图形形状相同，大小不同， 所以与左图相似的是③， 故答案为：③． 【点评】本题考查了相似图形的定义，解题的关键是了解形状相同大小不同的图形是相似形，难度不大． 10．若，则　　 ． 【分析】根据比例设x＝2k，y＝3k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解． 【解答】解：∵， ∴设x＝2k，y＝3k（k≠0）， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便． 11．如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是　68　 千米． 【分析】实际距离＝图上距离：比例尺，根据题意代入数据可直接得出实际距离． 【解答】解：根据题意，3.46800000厘米＝68千米． 即实际距离是68千米． 故答案为：68． 【点评】本题考查了比例线段的知识，注意掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用，同时要注意单位的转换． 12．若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为　15　 cm． 【分析】根据成比例线段的定义，可得比例关系a：b＝c：d，进而利用比例性质求解． 【解答】解：根据成比例线段的定义可得：a：b＝c：d， ∴ad＝bc， ∴， ∴， 故答案为：15． 【点评】本题主要考查了比例线段的定义．熟练掌握该知识点是关键． 13．如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝　10　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【解答】解：∵， ∴， ∵l1∥l2∥l3， ∴， ∴， ∴DF＝10， 故答案为：10． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 14．我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为　12　 ． 【分析】由题意可得DE∥FG∥BC，从而得出△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE，再由相似三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵横线为平行且等距的格线，△ABC的边AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点， ∴DE∥FG∥BC，，， ∴△ADE∽△ABC，△CHG∽△CDE， ∴，， ∵HG＝2， ∴DE＝4，BC＝12． 故答案为：12． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 15．如图，点C，D是线段AB的黄金分割点，若AB＝4，则线段CD的长为　　 ． 【分析】根据黄金分割的定义分别计算AD和BC的长，可得CD的长． 【解答】解：∵点C和点D是线段AB的黄金分割点，AB＝4， ∴AD＝BCAB4＝22， ∴CD＝AD+BC﹣AB＝2（22）﹣4＝48， 故答案为：48． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义，熟记黄金分割比为是解题的关键． 16．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝　22　 ． 【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，则BE＝x+4，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答． 【解答】解：设AB＝x， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝x， ∵CE＝4， ∴BE＝BC+CE＝x+4， ∵四边形ABEF是黄金矩形， ∴， ∴， 解得：x＝22， 经检验：x＝22是原方程的根， ∴AB＝22， 故答案为：22． 【点评】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 17．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 　（12﹣4）　 cm． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【解答】解：∵点P是AB的黄金分割点（AP＞BP），线段AB的长为8cm， ∴， ∴APcm， BP＝AB﹣AP＝12﹣4． 故答案为：（12﹣4）． 【点评】本题考查了黄金分割的比例线段，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 18．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 　①②　 ． 【分析】设各小正方形的边长为1，根据勾股定理分别表示出已知阴影三角形的各边长，同理利用勾股定理表示出四个选项中阴影三角形的各边长，利用三边长对应成比例的两三角形相似可得出图中的阴影三角形与已知三角形相似的选项． 【解答】解：①三边分别为：，2，，②三边分别为：1，，，③三边分别为：，，3，④三边分别为：1，，2，⑤三边分别为：2，，， ∵， ∴图形中的阴影三角形相似的序号为①②． 故答案为：①②． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，以及勾股定理的运用，相似三角形的判定方法有：1、二对对应角相等的两三角形相似；2、两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边长对应成比例的两三角形相似；4、相似三角形的定义．本题利用的是方法3． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知线段a＝4，b＝9，c是a和b的比例中项． （1）求c的值； （2）若线段d满足a：b＝c：d，求d的值． 【分析】（1）根据比例中项的定义求解即可． （2）根据题意代值求解即可． 【解答】解：（1）∵c是a和b的比例中项， ∴c2＝ab＝4×9， ∴c＝6（舍去负值）． （2）∵a：b＝c：d， ∴4：9＝6：d， ∴． 【点评】本题考查比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． 20．（8分）（1）如果，求； （2）如果，求k的值． 【分析】（1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分a+b+c≠0与a+b+c＝0两种情况，分别讨论． 【解答】解：（1）∵， ∴2a+3b＝﹣2a+2b， ∴b＝﹣4a， ∴； （2）由题意得，a+b﹣c＝kc，a﹣b+c＝kb，﹣a+b+c＝ka， ∴（a+b﹣c）+（a﹣b+c）+（﹣a+b+c）＝kc+kb+ka， 即a+b+c＝k（a+b+c）， 当a+b+c≠0时，； 当a+b+c＝0时，a+b＝﹣c， ， 综上可知，k的值为1或﹣2． 【点评】本题考查的是比例的性质，熟知内项之积等于外项之积是解题的关键． 21．（8分）求值： （1）已知，求的值； （2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值． 【分析】（1）设a＝4k，b＝3k，代入即可求出答案； （2）设k，根据比例的性质得出a＝2k，b＝4k，c＝5k，代入a+b+c＝22得出2k+4k+5k＝22，求出k，求出a、b、c，再代入3a﹣b+2c求出即可． 【解答】解：（1）设a＝4k，b＝3k， 则； （2）设k， 则a＝2k，b＝4k，c＝5k， ∵a+b+c＝22， ∴2k+4k+5k＝22， 解得：k＝2， ∴a＝4，b＝8，c＝10， ∴3a﹣b+2c＝3×4﹣8+2×10＝24． 【点评】本题考查了求代数式的值和比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果，那么ad＝bc． 22．（8分）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画CD⊥AC，使 ； 第二步：连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E； 第三步：以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B． （2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．（不写作法，保留作图痕迹） 【分析】（1）根据题目中给出的作图步骤画出图形即可； （2）设CD＝x，则AC＝2CD＝2x，由作图可知DE＝CD＝x，再由勾股定理求出AD＝√5x，则AB＝AE＝AD﹣DE＝（1）x，由此可得，据此可得点B是线段AC的黄金分割点； （3）先根据（1）画出线段AB的黄金分割点H，再以点B为圆心，AH为半径画弧，以点A为圆心，AB为半径画弧，两弧交于点C，连接AC可得△ABC为所求作的三角形． 【解答】解：（1）依题意画出图形如图1所示： （2）点B是线段AC的黄金分割点，理由如下： 设CD＝x， ∵CDAC， ∴AC＝2CD＝2x， 由作图可知：DE＝CD＝x， 在Rt△ACD中，CD＝x，AC＝2x， 由勾股定理得：ADx， ∴AE＝AD﹣DE＝（1）x， 由作图可知：AB＝AE＝（1）x， ∴， ∴点B是线段AC的黄金分割点； （3）画法：①过点B作BE⊥AB，在BE上截取BDAB，连接AD， ②以点D为圆心，以DB为半径画弧交AD于F， ③以A为圆心，以AF为半径画弧交AB于点H， ④以点B为圆心，以AH为半径画弧，以点A为圆心，以AB为半径画弧，两弧交于点C， ⑤连接AC，则△ABC为所求作的三角形，如图2所示： 证明如下： 由作图可知：AB＝AC， ∴△ABC为等腰三角形， 由（1）（2）可知：点H为线段AB的黄金分割点， 即， 由作图可知：BC＝AH， ∴， ∴△ABC为黄金三角形． 【点评】此题主要考查了黄金分割，理解题意，熟练掌握尺规作图和黄金分割的定义是解决问题的关键． 23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 【分析】（1）由正方形的性质可得∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，再根据CF＝3FD可得，进而说明，再结合∠A＝∠D＝90°，即可证明结论； （2）设FD＝k，CF＝3k，AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k通过勾股定理分别求出三条边的平方，再验证是否满足勾股定理的逆定理，若满足则该三角形为直角三角形． 【解答】（1）证明：∵正方形ABCD， ∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD ∵CF＝3FD， ∴， ∵点F在CD上， ∴， ∴， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABE∽△DEF． （2）解：△BEF是直角三角形，理由如下： ∵CF＝3FD，设FD＝k，CF＝3k，BC＝AB＝AD＝DC＝4k；AE＝ED＝2k 在Rt△ABE 中，由勾股定理得：BE2＝AB2+AE2＝（4k）2+（2k）2＝16k2+4k2＝20k2， 在Rt△DEF 中，由勾股定理得：EF2＝DE2+DF2＝（2k）2+k2＝4k2+k2＝5k2， 在Rt△BCF中，BC＝4k，CF＝3k，由勾股定理得：BF2＝BC2+CF2＝（4k）2+（3k）2＝16k2+9k2＝25k2， ∵BE2+EF2＝20k2+5k2＝25k2＝BF2， ∴△BEF是直角三角形，且∠BEF＝90°． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质、勾股定理逆定理等知识点，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解答本题的关键． 24．（8分）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义进行计算即可． （2）根据题意，由等角对等边得出BC＝MC及AM＝CM，进而得出AM＝BC，再根据△ABC∽△CBM，得出，据此可解决问题． 【解答】（1）解：∵点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH）， ∴． 又∵AB＝10， ∴AH． （2）证明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠ACB＝72°． ∵CM平分∠ACB， ∴∠ACM＝∠BCM＝36°． ∴∠A＝∠ACM， ∴AM＝MC． 又∵∠BMC＝∠A+∠ACM＝72°， ∴∠BMC＝∠ABC， ∴BC＝MC， ∴BC＝AM． ∵∠A＝∠BCM，∠B＝∠B， ∴△ABC∽△CBM， ∴， ∴， ∴点M是线段AB的黄金分割点． 【点评】本题主要考查了黄金分割、角平分线的定义、三角形内角和定理及等腰三角形的性质，熟知黄金分割的定义、角平分线的定义及等腰三角形的性质是解题的关键． 25．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【分析】（1）根据相似多边形的定义证明四边成比例，四个角相等即可； （2）根据相似多边形的定义证明六边成比例，六个角相等即可． 【解答】解：（1）∵矩形ABCD和矩形A1B1C1D1， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵， ∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似； （2）∵多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 【点评】考查了相似多边形的判定，解题的关键是根据相似多边形的定义证明六边成比例，六个角相等解答． 26．（8分）再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝　　 （保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 【分析】（1）连接AB，由折叠的性质，可得AC＝1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度． （2）由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，结合平行线的性质可得∠AQB＝∠DAQ＝∠BAQ，即可得AB＝BQ，即可判定四边形BADQ为菱形； （3）首先求出CD，ND，再由黄金矩形的定义即可作出判断． 【解答】解：（1）∵四边形MNCB是正方形， ∴NC＝MN＝2， 由折叠的性质得：ACNC＝1， 在Rt△ABC中，AB； 故答案为； （2）四边形BADQ是菱形． 证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ， ∵BQ∥AD， ∴∠AQB＝∠DAQ， ∴∠AQB＝∠BAQ， ∴AB＝BQ， 即AD＝AB＝BQ＝BD， ∴四边形BADQ为菱形； （3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE； 理由：∵AD＝AB，AN＝AC＝1， ∴CD，ND， ∴， 故矩形BCDE是黄金矩形； ∴， 故矩形MNDE是黄金矩形． 【点评】本题主要考查黄金分割，黄金矩形，菱形的判定，折叠与对称的性质，掌握黄金分割的概念是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级下学期数学周周测04 7.1～7.2 相似多边形、相似三角形的判定 一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1．观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（　　） A． B． C． D． 2．在一幅比例尺为1：500000的地图上，若量得甲、乙两地的距离是25cm，则甲、乙两地实际距离为（　　） A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km 3．已知m，n，p，q是成比例线段，其中m＝2cm，p＝5cm，q＝10cm，则n的值为（　　） A．4cm B． C．5cm D． 4．已知，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知AB∥CD∥EF，AD：DF＝3：2，BC＝9，线段CE的长为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 6．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为8cm，那么AP的长度是（　　） A． B． C． D． 7．如图，△ABC中，∠A＝60°，AB＝4，AC＝6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9．在图形①②③④中，与左图相似的是 _____ ．（填对应的序号） 10．若，则___________________ ． 11．如果在比例尺为1：2000000的地图上，A、B两地的图上距离是3.4厘米，那么A、B两地的实际距离是_______ 千米． 12．若线段a，b，c，d依次成比例线段，且a＝1cm，b＝5cm，c＝3cm，则d为_______ cm． 13．如图，已知l1∥l2∥l3，若，DE＝6，则DF＝_______ ． 14．我们把练习本上的横线看作平行且等距的格线．如图，嘉淇在两条横线上画出△ABC，且AB，AC与中间的另外两条横线交于D，F，E，G四点，连接CD交FG于点H．若HG＝2，则BC的长为_______ ． 15．如图，点C，D是线段AB的黄金分割点，若AB＝4，则线段CD的长为__________________ ． 16．对许多画家、艺术家来说“黄金分割”是他们在现实的创作中必须深入领会的一种指导方针，摄影师也不例外．摄影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE＝4，则AB＝__________________ ． 17．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是AB的黄金分割点（AP＞BP），若线段AB的长为8cm，则BP的长为 ____________________ cm． 18．如图，小正方形的边长都为1，则图形中的阴影三角形相似的序号为 _______ ． 三．解答题（共8小题，满分64分，每小题8分） 19．（8分）已知线段a＝4，b＝9，c是a和b的比例中项． （1）求c的值； （2）若线段d满足a：b＝c：d，求d的值． 20．（8分）（1）如果，求； （2）如果，求k的值． 21．（8分）求值： （1）已知，求的值； （2）已知，a+b+c＝22，求3a﹣b+2c的值． 22．（8分）（1）在图①中按下列步骤作图： 第一步：过点C画CD⊥AC，使 ； 第二步：连接AD，以点D为圆心，DC的长为半径画弧，交AD于点E； 第三步：以点A为圆心，AE的长为半径画弧，交AC于点B． （2）在所画图中，点B是线段AC的黄金分割点吗？为什么？ （3）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形．请你在图②中以线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC．（不写作法，保留作图痕迹） 23．（8分）如图，在正方形ABCD中，E是AD的中点，点F在CD上，且CF＝3FD． （1）求证：△ABE∽△DEF； （2）试判断△BEF是否为直角三角形，并说明理由． 24．（8分）古今中外，人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则，它是几何学中一大瑰宝． （1）如图①，若AB＝10，点H是线段AB的黄金分割点（AH＞BH），求线段AH的长． （2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CM是∠ACB的平分线，求证：点M是线段AB的黄金分割点． 25．（8分）观察下面两组多边形： （1）在图（1）中，矩形ABCD和矩形A1B1C1D1相似吗？为什么？ （2）在图（2）中，多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 26．（8分）再读教材： 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2） 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处． 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形． 问题解决： （1）图③中AB＝_______________ （保留根号）； （2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由； （3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 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