专题1.1三角形中的线段和角（12大题型共计118题）2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题1.1三角形中的线段和角题型专练 【12大题型 共计118题】 题型梳理 【题型1 三角形的识别与有关概念】...........................1 【题型2 三角形的个数问题】.................................5 【题型3 构成三角形的条件】.................................10 【题型4 确定第三边的取值范围】.............................15 【题型5 三角形三边关系的应用】............................ 21 【题型6 根据三角形中线求长度】.............................27 【题型7 根据三角形中线求面积】........................... 35 【题型8 重心的概念】.......................................46 【题型9 三角形角平分线的定义】.............................49 【题型10 画三角形的高】....................................57 【题型11 与三角形的高有关的计算问题】......................62 【题型12 利用网格求三角形面积】................................72 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 2．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 3．同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 4．如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 5．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 6．在中，已知，那么 （大小比较）． 7．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 8．如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【题型2 三角形的个数问题】 .9．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 10．平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 11．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 12．图中，三角形的个数为 个． 13．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 14．如图，图中共有 个三角形． 15．如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 16．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 17．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【题型3 构成三角形的条件】 18．下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．9，3，5 C．2，5，7 D．4，5，10 19．在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 20．若长度是4，6，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（   ） A．5 B．10 C．11 D．12 21．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 22．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 23．用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 24．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 （填“甲”或“乙”）． 25．现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 26．从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 27．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 28．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【题型4 确定第三边的取值范围】 29．三角形的三边长分别为3、4、x，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 30．若一个三角形的两边长分别为，则该三角形第三边的长度在以下选项中只能是（   ） A． B． C． D． 31．中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 32．苏老师在“数学综合实践”活动中组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有，，和四种规格，小明同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（    ） A． B． C． D． 33．如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 35．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 36．一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是 （写出一个即可）． 37．如图，是凸四边形，则的取值范围是 ． 38．已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 39．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 40.．已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为大于6的偶数，求的周长． 【题型5 三角形三边关系的应用】 41．用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则不同的摆法有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 42．一个三角形的两条边长分别是和，则另一条边最长是（   ） A． B． C． D． 43．如图，点为内一点，的周长为12，，则的值可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 44．把一条长的铁丝截成小段，每段长度不小于，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 45．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 46．设a，b，c表示一个三角形的三边的长，且它们都是自然数，其中，若，则满足此条件的三角形共有 个． 47．若一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边的长为偶数，则这个三角形的周长是 ． 48．已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有 条． 49．如图，加油站A和商店B在马路的同一侧，点A到的距离大于点B到MN的距离，米．一个行人P在马路上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大，这个差 （填“大于”“小于”或“等于”）1500米． 50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 51．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【题型6 根据三角形中线求长度】 52．如图，是的中线，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 53．如图，在中，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 54．如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 56．如图，D、E是边的三等分点，则是三角形 的中线． 57．在中，，是中线，若周长与的周长相差，则 ． 58．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 59．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 60．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 61．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 62．如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【题型7 根据三角形的中线求面积】 63． 如图，在中，点D，E，F分别是的中点，若的面积为32，则阴影部分的面积是（   ）‘ A．4 B．6 C．8 D．10 64．如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 65．如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 66．如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 67．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 68．如图，在中，是的中线，是的中线，，连接，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 69．如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 70．如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则 ． 71．如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为 ． 72．如图，在中，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 73．知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ． 74．如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 75．数学课上，小明学习了三角形的各种重要线段，他对顶点与对边中点相连的“中线”产生了浓厚的兴趣．经过一番认真的作图与演算，他发现了一个简洁而美妙的结论：三角形的任意一条中线都将三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， [探究] (1)如图2，在中，点是边的中点，若，则_____； (2)如图3，在中，点是边上的点，且，求的值． (3)如图4，现在有一块四边形土地，甲、乙两人要均分这块土地，请通过画图均分四边形的面积．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对画法进行说明，可利用带刻度的直尺） 【题型8 重心的概念】 76．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 77．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 78．如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 79．【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 80．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【题型9 三角形角平分线的定义】 81．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 82．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线 83．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 84．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 85．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有 （填序号）． 86．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 87．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 88．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 89．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【题型10 画三角形的高】 90．在下列四个图中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 91．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 92．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 93．下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 94．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 95．如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 96．如图，为的中线，为的中线． (1)作图：在中作出边上的高，边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【题型11 与三角形的高有关的计算问题】 97．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 98．如图，是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．中线、角平分线、高线 D．角平分线、中线、高线 99．在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 100．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 101．已知在中，，于点D．，，点P为边上的动点．点E为边上的动点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C． D． 102．如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是 ． 103．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 104．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有 个 105．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 106．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．则 ． 107．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 108．如图，已知、分别是的高和中线，，，，求： (1)的面积； (2)的长； (3)与的周长的差． 109．如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 【题型12 利用网格求三角形面积】 110.．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 111．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 112．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 113．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是 ． 114．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有 个． 115．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 116．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)直接写出的面积为 ． 117．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，，均在格点上，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作线段使其平分的面积； (2)如图2，过点作线段使其平分四边形的面积． 118．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： (1)画出关于轴的对称图形； (2)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1三角形中的线段和角题型专练 【12大题型 共计118题】 题型梳理 【题型1 三角形的识别与有关概念】...........................1 【题型2 三角形的个数问题】.................................5 【题型3 构成三角形的条件】.................................10 【题型4 确定第三边的取值范围】.............................15 【题型5 三角形三边关系的应用】............................ 21 【题型6 根据三角形中线求长度】.............................27 【题型7 根据三角形中线求面积】........................... 35 【题型8 重心的概念】.......................................46 【题型9 三角形角平分线的定义】.............................49 【题型10 画三角形的高】....................................57 【题型11 与三角形的高有关的计算问题】......................62 【题型12 利用网格求三角形面积】................................72 【题型1 三角形的识别与有关概念】 1．如图，用数字标注了3个三角形，其中表示的是（   ）    A．① B．② C．③ D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的概念，熟练掌握三角形的概念是解题的关键；根据题意及三角形的表示可进行求解． 【详解】解：表示的是①； 故选：A． 2．下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 3．同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②③所对应的图形分别是（   ）． A．平行四边形、长方形、三角形 B．三角形、平行四边形、长方形 C．长方形、平行四边形、三角形 D．长方形、三角形、平行四边形 【答案】C 【分析】题目主要考查基本图形的面积推导，理解基本图形的面积求解过程是解题关键． 根据图形之间的面积推导过程求解即可． 【详解】解：∵正方形和长方形的面积是通过画面积相等的小正方形，然后再数小正方形的个数推导出来的；圆的面积是把圆切割成若干面积相等的三角形，然后再拼成长方形，由长方形的面积推导出来的， ∴①是长方形； ∵平行四边形的面积是通过割补的方法，将其割补成长方形，由长方形的面积推导出来的； ∴②是平行四边形； ∵三角形与梯形的面积是由两个相同的图形拼成平行四边形，由平行四边形的面积推导出来的； ∴③是三角形； 故选：C． 4．如图，图中共有 个三角形，其中以为一边的三角形有 ，以为一个内角的三角形有 ． 【答案】 5 【分析】本题考查了三角形，主要利用了三角形的定义，三角形的角的对边，边的对角，熟记概念并准确识图是解题的关键．根据三角形的定义分别解答即可． 【详解】解：图中有：共5个； 以为一边的三角形有：， 以为一内角的三角形是：． 故答案为：． 5．如图，共有 个三角形；在中，所对的角是 ；在中，所对的边是 ；以为边的三角形有 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了与三角形有关的概念，理解这些概念是关键；由三角形相关概念即可完成． 【详解】解：图中共有3个三角形：； 在中，所对的角是；在中，所对的边是；以为边的三角形有； 故答案为：3；；；． 6．在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 7．如图，图中有 个三角形；其中以为边的三角形有 ；以为内角的三角形有 ；在中，的对角是 ，的对边是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查三角形的个数问题，三角形的边、角，根据三角形的有关概念逐项求解即可． 【详解】解：图中有8个三角形，分别为：，，； 其中以为边的三角形有：； 以为内角的三角形有：； 在中，的对角是：；的对边是：； 故答案为：8；；；；． 8．如图所示， (1)图中有几个三角形？ (2)说出的边和角． (3)是哪些三角形的边？.是哪些三角形的角？ 【答案】(1)5个 (2)的边：，角： (3)是的边，是的角 【分析】本题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的相关定义． （1）根据三角形的定义，观察图形可得； （2）根据三角形的边、角的定义，即可求解； （3）根据三角形的边、角的定义，即可求解． 【详解】（1）解：图中有：，共5个； （2）解：的边：，角：； （3）解：是的边， 是的角． 【题型2 三角形的个数问题】 .9．如图，以点为顶点的三角形有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的个数，根据图形解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，以点为顶点的三角形有、、、，共个， 故选：． 10．平面内的四个点最多可以组成不同的三角形个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查三角形的个数，根据三角形的定义，得到当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，进行判断即可． 【详解】解：设四个点分别为， 当四个点中任意三点都不共线，组成的三角形的个数最多，分别为，共4个； 故选B． 11．聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 12．图中，三角形的个数为 个． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的概念，根据三角形的概念数出三角形的个数即可得解． 【详解】解：三角形的个数为3个， 故答案为：3． 13．从大小判断，图中青蛙可以落在个三角形内，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形个数问题，在找三角形时，要做到不重不漏．根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即可． 【详解】解：所有三角形为：共个． 从大小判断，青蛙不能落在中，其它均可，即个． 故答案为：． 14．如图，图中共有 个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 15．如图，过五个点中任意三点画三角形． (1)以为一边画出一个三角形，其中以为一边可以画出__________个三角形； (2)以为顶点画出一个三角形，其中以为顶点可以画出__________个三角形． 【答案】(1)3 (2)6 【分析】本题考查了三角形的定义； （1）根据三角形定义，再选择一个点，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据三角形的定义，再、、、中任意选择两个点，然后顺次连接即可画出图形． 【详解】（1）解：其中以为一边可以画出3个三角形为： 故答案为：． （2）其中以为顶点可以画出6个三角形为：， 故答案为：． 16．[教材习题T1变式]如图所示： (1)图中一共有______个三角形，它们分别是______； (2)和的公共角是______，公共边是______； (3)在中，的对边是______； (4)在和中，是边______和______的对角． 【答案】(1)5，，，，， (2)， (3) (4)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的相关定义． （1）利用三角形的定义进行求解即可； （2）利用三角形的相关概念进行求解即可； （3）利用三角形的相关概念进行求解即可； （4）利用三角形的相关概念进行求解即可． 【详解】（1）解：图中一共有5个三角形，分别是： ，，，，， 故答案为：5，，，，，； （2）解：和的公共角是，公共边是， 故答案为：，； （3）解：的对边是， 故答案为：； （4）解：是边和的对边， 故答案为：，． 17．如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【答案】9个三角形，分别为，， 【分析】本题主要考查了三角形个数问题，不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a上取一个点，线段b上取两个点，这三个点可组成一个三角形或线段a上取两个点，线段b上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有，，，共9个三角形． 【题型3 构成三角形的条件】 18．下列各组线段中，能构成三角形的是（    ） A．4，5，6 B．9，3，5 C．2，5，7 D．4，5，10 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系定理，需严格满足任意两边之和大于第三边，注意等于或小于均不能构成三角形． 根据三角形的三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，此项符合题意； B、，不能构成三角形，此项不符合题意； C、，不能构成三角形，此项不符合题意； D、，不能构成三角形，此项不符合题意； 故选：A． 19．在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系确定第三边的范围，判断即可． 【详解】解：设第三边的长为， 则，即 四根木棒中，长度为的木棒，能与、长的两根木棒钉成一个三角形， 故选：C． 20．若长度是4，6，的三条线段能组成一个三角形，则的值可以是（   ） A．5 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：∵长度是4，6，的三条线段能组成一个三角形， ∴， ∴， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 21．若条长度均为整数厘米的线段，，满足，且这条线段中的任意条都不能构成三角形．若厘米，厘米，则能取的值是（　　） A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的三边关系，由题意可知：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，进而可知一定有厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，厘米，据此即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：若厘米，则后边的一个一定大于或等于前边的两个的和，由任意3条线段都不能构成三角形，可知须满足（）。当时，可构造一个各项取值最小的数列：取最小整数，后续项取，得到数列。由于此数列的第9项恰好为，与题干条件相符，且任何其他满足条件的数列都会导致，故该数列是唯一解。因此， 故选：． 22．根据下列已知条件，能唯一画出的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系和确定三角形的条件是解题的关键，根据三角形的三边关系对各项逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，此项错误，不符合题意； B、已知两角夹边，三角形即可确定，此项正确，符合题意； C、边边角不能确定三角形，此项错误，不符合题意； D、一角一边不能确定三角形，此项错误，不符合题意； 故选：B． 23．用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接围成一个三角形，这属于下列事件中的（    ） A．不可能事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不确定事件 【答案】A 【分析】首先根据三角形三边的关系，即可判定这三根木条首尾顺次相接能否围成一个三角形，再根据事件发生的可能性的大小，即可得到答案． 【详解】解：， 用三根长度分别为3cm，5cm，10cm的木条首尾顺次相接不能围成一个三角形， 这属于不可能事件， 故选：A． 24．如图，有甲、乙两根小棒，现用剪刀把其中一根小棒剪断，若得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形，则剪断的小棒是 （填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键 通过分别假设剪开甲、乙小棒，分析所得到的线段长度与另一根小棒长度之间是否满足三边关系来确定正确答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系， 假设剪开乙小棒，设乙小棒长度为，剪成两段长度分别为、，甲小棒长度为， ∵乙小棒的长度大于甲小棒，即， ∴， ∴剪开乙小棒得到的两根小棒与另一根小棒能组成三角形； 假设剪开甲小棒， ∵乙小棒的长度大于甲小棒， ∴同理可得，甲小棒剪成的两根小棒的和小于乙小棒，故围不成三角形，不符合题意； 综上所述，剪开的小棒是乙． 故答案为：乙 ． 25．现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 【答案】7/七 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 则， 即， ∴可取，，，，，，，有7种取法； 故答案为：7． 26．从1，2，3，…，2025中任选k个数，使得所选的k个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的k的最小值是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2025个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是， 故答案为：17． 27．（1）已知三条线段长度分别为、、，判断能否组成三角形． （2）在中，，，，请比较三角形三个内角的大小． 【答案】（1）能组成三角形；（2） 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的边角关系． （1）根据三角形三边关系判断即可； （2）根据大边对大角判断即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴能组成三角形； （2）解：∵， ∴． 28．在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成三角形吗?通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图           … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗? (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形?请画出它们的示意图． 【答案】(1)4根火柴不能搭成三角形 (2)12根火柴能搭成三种不同的三角形，示意图见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系为解题关键． （1）把4分成3个正整数，只能分成1，1，2，再根据三角形的三边关系进行分析； （2）12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形，进而画出示意图． 【详解】（1）解：把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， 根火柴不能搭成三角形； （2）12根火柴能搭成三种不同的三角形， 第一种边长分别为：4，4，4； 第二种边长分别为：5，5，2； 第三种边长分别为：3，4，5， 示意图如下： 【题型4 确定第三边的取值范围】 29．三角形的三边长分别为3、4、x，则x的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系定理是解答本题的关键．根据三角形三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，列出不等式，由此得到答案． 【详解】解：三角形的三边长分别为3、4、x， ，即， 故选：． 30．若一个三角形的两边长分别为，则该三角形第三边的长度在以下选项中只能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的取值范围，进行判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的两边长分别为， ∴第三边，即：第三边， 故满足题意，只有选项B； 故选B． 31．中国是风筝的故乡，风筝制作历史悠久．小梦有两根长度分别是和的竹篾（miè），她想搭一个三角形风筝的骨架，桌上有下列长度的几根竹篾，她应该选择的竹篾长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得，第三边的长度大于，小于， ∴符合题意， 故选：C． 32．苏老师在“数学综合实践”活动中组织学生用木棍摆三角形，木棍的长度有，，和四种规格，小明同学已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．先设第三根木棒的长为，再根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出不符合条件的x的值即可． 【详解】解：设第三根木棒的长为， ∵已经取和两根木棍， ∴，即． ∴四个选项中只有D不在其范围内，符合题意． 故选：D． 33．如图所示，为估计池塘岸边、的距离，在池塘的一侧选取一点，测得米，米，设米，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 根据三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：根据三角形三边之间的关系可得：， ∵，， ∴， ∴， 即． 故选：D． 34．三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（   ） A．2 B．3或5 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，设第三根小棒的长度是，根据题意，可得，再由图中挡板高度进一步确定，结合选项即可得到答案．熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：有图可知，一根小棒的长度为，一根小棒的长度为， 设第三根小棒的长度是，若三根小棒可以围成三角形， 则由三角形三边关系可知， 即， 再由图中挡板高度为，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5， 故选：C． 35．如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 36．一个三角形的三边长分别为2、5、，则的取值可以是 （写出一个即可）． 【答案】6 【分析】本题考查三角形三边关系定理，掌握相关知识是解决问题的关键．利用三边关系定理求出第三边的取值范围，然后取满足条件的一个数即可． 【详解】解：一个三角形的三边长分别为2、5、， 则， 故答案可为：6（答案不唯一）． 37．如图，是凸四边形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，从三边关系出发，三角形中的任一边大于两边的差而小于两边之和．连接，在中得到关系式，再在中得到关系式从而解得． 【详解】解：如图，连接 在中，， ∴， 即； 中，， ∴，即． ∴． 故答案为：． 38．已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 39．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 40.．已知的三边分别为a，b，c，且． (1)求c的取值范围； (2)若c的长为大于6的偶数，求的周长． 【答案】(1)； (2)的周长为． 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形的周长，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据构成三角形的条件得到，求解即可； （2）根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴； （2）解：∵，c的长为大于6的偶数， ∴， ∴的周长． 【题型5 三角形三边关系的应用】’ 41．用9根相同的火柴棒拼成一个三角形，火柴棒不允许剩余，重叠和折断，则不同的摆法有（   ） A．4种 B．3种 C．2种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据题意可知三角形三条边的长度之和必须是9，且每条边至少用1根火柴棒，边长为正整数，从而得出不同的摆放方法，再利用三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：火柴棒总数为9根， 三角形三条边的长度之和必须是9，且每条边至少用1根火柴棒，边长为正整数， 可能的组合有：1，1，7；1，2，6；1，3，5；1，4，4；2，2，5；2，3，4；3，3，3； ，，，不能组成三角形， 1，4，4；2，3，4；3，3，3；三种不同的摆放方法，符合题意， 故选：B． 42．一个三角形的两条边长分别是和，则另一条边最长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系，注意第三边必须满足严格不等式，不能取等号； 根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 【详解】解：设第三边长为 ∵ 三角形两边之和大于第三边， ∴ ∴ 又∵ 两边之差小于第三边， ∴ ∴ ∴ 的取值范围为 因此， 最大小于 13，故最长边为 故选：C. 43．如图，点为内一点，的周长为12，，则的值可能是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系．延长交于点，根据三角形的三边关系求得，推出，再根据题意求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长为12，， ∴， ∵点为内一点， ∴， ∴的值可能是6， 故选：C． 44．把一条长的铁丝截成小段，每段长度不小于，若不论怎样的截法，总存在三小段，以它们为边可以组成三角形，则a的最小值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，能够根据三角形的三边关系解决生活中的实际问题，设其中最小的两段都是根据三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，则若要至少拼成一个三角形的话，最小的两边的和要大于等于第三边长，从而确定a的取值范围，即可求解． 【详解】解：先假设截取的上都从短到长排列依次是； 每一段不小于， ，不与前两段组成三角形的话，，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即，不与前三段的任意两段构成三角形的话，必须大于任意两段之和，即，即， 此时剩下的， 实际上，那么前面四段中必有两段与组成三角形． 的最小值为6． 故选：D． 45．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，三角形三边关系的应用，先解方程得到一个解为，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根，且，再进一步解答即可． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，则， 当时，结合题意可得方程有两个不相等的正实数根， ∴，，， 解得：， ∵方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长， ∴， ∴， ∴， 解得：， 综上：， 故选：C 46．设a，b，c表示一个三角形的三边的长，且它们都是自然数，其中，若，则满足此条件的三角形共有 个． 【答案】6 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系是解题关键，先得出或2或3，再分情况求出c的值． 【详解】解：∵a，b，c表示一个三角形的三边的长，且它们都是自然数，， ， 或2或3， 当时，，则； 当时，，则；或； 当时，，则；或；或； 则满足此条件的三角形共有6个， 故答案为：6． 47．若一个三角形的两边长分别是3和7，且第三边的长为偶数，则这个三角形的周长是 ． 【答案】16或18 【分析】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是根据三边关系确定第三边的取值范围，再结合偶数条件求出第三边的可能值，进而计算周长． 先利用三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”确定第三边的范围，再在范围内找出偶数，最后分别计算周长． 【详解】解：根据三角形三边关系，设第三边的长为，则，即， 因为第三边的长为偶数，所以可以是6或8， 当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为． 故答案为：16或18． 48．已知两条线段a、b，其长度分别为与．另有长度分别为和的5条线段，其中能与线段a、b一起组成三角形的有 条． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关系．根据三角形的三边关系，确定第三边的取值范围，进而可得结果． 【详解】解：两条线段a、b，其长度分别为与 ∴， ∴能与a、b一起组成三角形的第三边c满足， ∴可选、，共有2条， 故答案为：2． 49．如图，加油站A和商店B在马路的同一侧，点A到的距离大于点B到MN的距离，米．一个行人P在马路上行走，若点P到点A的距离与点P到点B的距离之差最大，这个差 （填“大于”“小于”或“等于”）1500米． 【答案】等于 【分析】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时距离之差最大．当、 、 构成三角形时，与的差小于第三边，所以、、在同一直线上时，与的差最大，算出这个最大值即可． 【详解】解：当、、三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形， ∵两边与的差小于第三边， 、、在同一直线上，到的距离与到的距离之差最大， ∵此时， ， ∴当到的距离与到的距离之差最大时，这个差等于1500米， 故答案为：等于． 50．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫作“倍长三角形”．若是“倍长三角形”，较短的两条边长分别为2和3，则第三条边的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．根据“倍长三角形”的定义求出第三边的长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：当第三条边的长是2的2倍时，第三条边的长为4， 2，3，4能组成三角形； 当第三条边的长是3的2倍时，第三条边的长为6， ∵， ∴长为2，3，6的三条线段不能组成三角形， ∴第三条边的长为4， 故答案为：4． 51．如图，A，B两点都在直线的上方，，点A到直线的距离，点B到直线的距离，点P在直线上运动，则的最大值等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，正确作出辅助线，并理解当点P运动到点时，最大，即为的长是解题关键．延长交于点，由题意可知，即说明当点P运动到点时，最大，即为的长． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵， ∴当点P运动到点时，最大，即为的长． ∵， ∴的最大值等于5． 故答案为：5． 【题型6 根据三角形中线求长度】 52．如图，是的中线，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了与三角形中线有关的问题，根据是的中线得出，计算即可得解，熟练掌握三角形中线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵是的中线，且， ∴， 故选：B． 53．如图，在中，为中线，则与的周长之差为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的定义．根据三角形中线的定义，可得，进而计算与的周长即可求得答案． 【详解】解：∵为中线， ∴， ∵， ∴与的周长之差为 ． 故选： B ． 54．如图，在中，交于点E，垂足为D，F为的中点，连接交AD于点G．有下列四个结论：①是的角平分线；②是的边上的中线；③是的边上的高；④是的边上的高．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高等相关知识， 根据三角形的角平分线、三角形的中线、三角形的高的概念进行一一判断即可得出答案． 【详解】解：①∵， ∴平分． ∴是的角平分线，故①正确； ②F为的中点，但F不是的边对边的顶点， ∴不是的边上的中线；故②错误； ③④根据三角形的高的概念可知不是的边上的高，是的边上的高．故③错误，④正确， 综上所述，正确的个数是2个． 故选B． 55．如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（    ） A．是的角平分线 B．为边上的高 C．是边上的中线 D．为的高线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，熟记它们的定义是解题的关键．根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵， ∴是的角平分线，故本选项结论正确，不符合题意； B．∵， ∴为边上的高，故本选项结论正确，不符合题意； C．∵G为的中点， ∴是边上的中线，故原说法不正确，符合题意； D．∵， ∴为的高线，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 56．如图，D、E是边的三等分点，则是三角形 的中线． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟记概念并准确识图是解题的关键． 根据三角形中线的定义分别填空即可． 【详解】解：D、E是边的三等分点， ， 是三角形的中线． 故答案为：． 57．在中，，是中线，若周长与的周长相差，则 ． 【答案】 3或7 【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟记概念并分情况讨论是解题的关键． 由三角形的中线定义可得，分别表示出周长和的周长，再分两种情况求解即可． 【详解】解：∵是中线， ∴， ∴周长为；的周长为； 由于周长与的周长相差，故分两种情况求解； ①当时，解得，； ②当时，解得，； 综上所述，3或7； 故答案为：3或7． 58．如图，是的中线，点在上，若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线的性质，设到的距离为，由是的中线，则，求出，然后由即可求解，熟练掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：设到的距离为， ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 59．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 60．如图，在中，是中线，． (1)求与的周长差． (2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查三角形中线的相关计算，理解图示，掌握周长的计算是关键． （1）根据中线得到，由周长的计算公式及周长的计算得到周长差为，代入计算即可； （2）根据周长的计算，结合题意得到，根据，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴， ∵的周长为，的周长为，是中线， ∴ ； （2）解：的周长为，四边形的周长为， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 61．如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少？ 【答案】 【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算即可得到答案．本题主要考查三角形的中线，熟练掌握“三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线”是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， ∴比长． 62．如图，在中（），，边上的中线把的周长分成和两部分，求边和的长．（提示：设） 【答案】，． 【分析】本题考查了三角形中线的定义． 设，根据中线的定义结合已知求出，再根据边上的中线把的周长分成和两部分列式计算即可． 【详解】解：设， ∵中线把的周长分成和两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【题型7 根据三角形的中线求面积】 63． 如图，在中，点D，E，F分别是的中点，若的面积为32，则阴影部分的面积是（   ）‘ A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故选：A． 64．如图，，分别是，的中线，，垂足为F．若，，则的长为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的中线与面积的关系，熟练掌握三角形的中线把面积分成相等的两部分是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据面积公式可进行求解． 【详解】解：∵，分别是，的中线，， ∴，， ∵，， ∴； 故选C． 65．如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线． 先根据三角形的中线、求得、，设，进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故选：A． 66．如图，是的中线，是的中点，连接，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线及面积计算，解题的关键是掌握：三角形的中线平分三角形的面积． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴． 故选：B． 67．在梯形中，，点P为对角线的中点，记，则有（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的中线，根据三角形的中线平分三角形的面积，得到，，再根据，即可得出结果． 【详解】解：∵点P为对角线的中点， ∴，， ∵， ∴； 故选C． 68．如图，在中，是的中线，是的中线，，连接，若的面积为6，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，关键是找到所求三角形面积与已知三角形面积的数量关系．根据三角形中线的性质得到，，又根据，可得，进而求得答案． 【详解】解：连接CE， ∵是的中线， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选： B． 69．如图，D是△的边上任意一点，E、F分别是线段的中点，且的面积为，则的面积是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积可得，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：∵点E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 故答案为：5． 70．如图，在中，是上一点，，点是的中点，设，，的面积分别是，，，且，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键． 利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点D是的中点则，则，然后利用即可得到答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ． 故答案为：4． 71．如图，在中，已知分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为7，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与中线有关的三角形面积的计算． 由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案． 【详解】解：是的中点， ， 是的中点， ，， ， ， ， 故答案为：． 72．如图，在中，是边上的中线，点是边上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中线与面积，垂线段最短，三角形的面积公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据是边上的中线，得出，结合面积公式得，再根据垂线段最短进行分析，即可作答． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 过点D作，如图所示： ∵， ∴， 解得， ∵点是边上的一个动点，连接， 则的最小值为的长度， ∴的最小值为， 故答案为： 73．知识储备：三角形的三条边的中线交于一点，该点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．如图，点为直线外一动点，，连接、，点、分别是、的中点，连接、交于点，当四边形的面积为5时，线段长度的最小值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形中线的性质，垂线段最短．如图：连接，过点C作于点H，根据三角形中线的性质求得，从而求得，利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：如图：连接，过点C作于点H， ∵点D、E分别是的中点， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵垂线段最短， ∴， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 74．如图，学校有一处三角形试验田，其中是边上的中线，是的中点，连接、，学校计划在图中阴影处栽种蔬菜．若三角形试验田的面积为，求栽种蔬菜的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两个部分是解题的关键．根据三角形中线可知，，，，即可得解． 【详解】解：是边上的中线， ， 三角形试验田的面积为， ， 是的中点， ，， 栽种蔬菜的面积为． 75．数学课上，小明学习了三角形的各种重要线段，他对顶点与对边中点相连的“中线”产生了浓厚的兴趣．经过一番认真的作图与演算，他发现了一个简洁而美妙的结论：三角形的任意一条中线都将三角形分成面积相等的两部分． 已知：如图1，在中，点是边的中点，连接． 求证：． 证明：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， [探究] (1)如图2，在中，点是边的中点，若，则_____； (2)如图3，在中，点是边上的点，且，求的值． (3)如图4，现在有一块四边形土地，甲、乙两人要均分这块土地，请通过画图均分四边形的面积．（要求：用不超过三条的线段画出平分方法，并对画法进行说明，可利用带刻度的直尺） 【答案】(1)4 (2) (3)见详解 【分析】本题考查了三角形中线的性质：三角形中线平分三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）过点作于点,根据即可求解； （2）过点作于点,根据，从而得，由此可求得结果； （3）连接，取中点E，连接，，则，与（2）同理，得，，故，即． 【详解】（1）解：过点作于点． 点是边的中点， ． ，， ， ∵， ∴； （2）解：过点作于点，如图所示： ， ． ，， ∴， ， ∴； （3）解：连接，取中点E，连接，， 则， 与（2）同理，得，， ∴， 即， ∴四边形被平均分． 【题型8 重心的概念】 76．如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，若，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点是解题的关键；由题意易得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点O是的重心， ∴是的中线， ∴； 故选B． 77．已知：如图，点O是的重心，连接并延长交于点D，则下列命题中正确的是（　　） A．是的平分线 B．是边上的高 C．是边上的中线 D．是边上的中垂线 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的重心的定义．根据三角形重心的定义直接判断即可． 【详解】解：∵点是的重心，连接并延长交于点， 是边上的中线． 故选：C． 78．如图O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识，理解重心的概念，三角形中线平分面积是关键． 三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故选：B ． 79．【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】若的面积为m，求的面积．（用含m的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算，结合图形求解是解题关键． 根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出． 【详解】解：∵点为的重心， ∴，，分别是，，边上的中点， ，， ， ． 80．在如图所示的平面直角坐标系中，，， (1)作在边上的中线； (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)在图中标出的重心G（保留画图痕迹），并写出重心的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【分析】本题考查了三角形的中线，重心，熟知相关概念是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义； （2）利用三角形面积公式即可解答； （3）根据重心的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：，，， ，边上的高为， ； （3）解：如图，取的中点，连接交于点， 此时点． 【题型9 三角形角平分线的定义】 81．下列说法正确的是（   ） A．三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的重心 B．三角形的中线是射线 C．三角形的三条高一定交于三角形内部一点 D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 根据三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．三角形的三条中线相交于一点，这个点叫作三角形的重心，故选项错误； B．三角形的中线是线段，故选项错误； C．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形的边上，故选项错误； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项正确． 故选：D． 82．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l，则l是的（    ） A．中线 B．对角线 C．高线 D．角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，角平分线的定义．由折叠的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图，设折痕l交于点D， 由折叠的性质得：， ∴l是的角平分线． 故选：D． 83．如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：，，分别是的高、角平分线、中线， 则，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 84．下列语句： ①三条线段组成的图形叫三角形； ②三角形的角平分线是射线； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内． 其中正确的有________个．（   ） A．3 B．2 C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了三角形及与三角形有关的概念，掌握这些概念是解题的关键；根据三角形及其相关概念判断即可． 【详解】解：①不在同一直线上的三条线段首尾相接组成的图形叫三角形，故原说法错误； ②三角形的角平分线是一条线段，角的平分线才是射线，故原说法错误； ③三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外，直角三角形的高在三角形的直角顶点处，故原说法错误； ④三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，原说法正确； 故正确的只有④， 故选：D． 85．下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部．其中正确的有 （填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了三角形的角平分线、高线、中线的定义与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据三角形的角平分线、高线、中线对各说法分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误； ②三角形的中线、角平分线、高都是线段，故说法正确； ③一个三角形有三条角平分线和三条中线，故说法正确； ④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误； ⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误． 故答案为：②③． 86．如图，折扇扇骨的A，B两点与扇钉C构成了，交扇骨和于D，E两点，，分别是，的角平分线，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形的角平分线的含义，根据三角形的角平分线的含义可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，分别是，的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 87．中，，是边上的高，是的角平分线，若，则为 度． 【答案】或/15或65 【分析】本题考查了三角形高、角平分线，正确的画出图形，是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解． 先由角平分线得到，再分两种情况讨论，画出图形，根据角的和差计算求解． 【详解】解：当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴； 当点在延长线上时，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴或， 故答案为：或． 88．如图，在中，，分别是边，上的点，且，，连接、交于点的平分线交于点，且，若的面积为16，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题的关键． 连接，根据角平分线的性质，可得点G到和的距离相等，则可得的面积，再根据，得到，进而求得的面积，根据求得和的面积，再根据即可求得的面积，最后求得的面积，即可求得的面积， 【详解】解：由题意得是的平分线，且， 设点G到的距离为，到的距离为，则， ∵，， 又∵且， ∴， ∴的面积为：， 连接，如下图， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 89．【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度数的4倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为的三角形是“完美三角形”．    【简单应用】如图①，，在射线上找一点A，过点A作交射线于点B，以A为端点作射线，交线段于点C（点C不与点O，B重合）． （1）______°，______°，______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若，求证：是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点在的边上，连接平分，．若是“完美三角形”，请直接写出的度数． 【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析 [应用拓展]或 【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可； （3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出，然后分两种情况进行讨论，根据“完美三角形”的定义求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； ； ∵， ∴是“完美三角形”； 故答案为：18，72，是； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴是“完美三角形”； （3）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据“完美三角形”的定义得， 当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴的度数为或． 【点睛】本题主要考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握以上性质，并理解新定义． 【题型10 画三角形的高】 90．在下列四个图中，线段是的高的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形高线的定义，熟记三角形高线的概念并灵活判断是解题的关键； 首先熟悉高线的概念：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段就是三角形的高线，根据高线的概念，判断选项中线段是否为的高，即可得到答案． 【详解】解：根据三角形高的定义可知，选项B中是的高． 故选：B． 91．如图在中，若，，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的中线 B．是的高线 C．是的角平分线 D．是的角平分线 【答案】C 【分析】本题考查三角形中线、高线、角平分线的判断，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴是的角平分线 故选：C． 92．如图，，垂足分别为C，E，则下列说法不正确的是（　　）    A．是的高 B．是的高 C．是的高 D．是的高 【答案】D 【分析】本题考查三角形高的定义，根据三角形的高的定义判断即可，记住从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，观察图象可知：是的高，是的高，是的高， ∴符合题意是D选项， 故选：D． 93．下图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图（折叠后点C落到点处）． (1)折出的是边上的中线的是______； (2)折出的是边上的高的是______； (3)折出的是的平分线的是______． 【答案】(1)丙 (2)甲 (3)乙 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的高，中线和角平分线的定义，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据三角形中线的定义求解即可； （2）根据三角形高的定义求解即可； （3）根据三角形角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据折叠得，甲和乙中，丙中， ∴折出的是边上的中线的是丙； （2）解：根据折叠得，甲中，乙和丙中， ∴折出的是边上的高的是甲； （3）解：根据折叠得，乙中，甲和丙中， ∴折出的是边上的平分线的是乙． 94．如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 95．如图，是的中线，是的中线． (1)在中作边上的高； (2)若的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的高，三角形中线的性质，三角形面积公式，掌握三角形中线平分三角形面积是解题关键． （1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作图即可； （2）由三角形中线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：为的中线，为中线， ， ， ， ， ， ． 96．如图，为的中线，为的中线． (1)作图：在中作出边上的高，边上的高； (2)若的面积为40，，则中边上的高为多少？ 【答案】(1)见解析 (2)中边上的高为4 【分析】本题考查三角形的高线，三角形的中线，掌握三角形中线的性质是解题的关键． （1）根据高线的定义，画高即可； （2）根据中线平分三角形的面积以及三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，EF、DG即为所求作； （2）解：∵为的中线，为的中线， ∴，， ∴， ∵的面积为40，， ∴， ∴， 即中边上的高为4． 【题型11 与三角形的高有关的计算问题】 97．如图，是的中线，是的高线，，，，则到的距离是（    ） A．11 B． C． D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形． 过点D作于F，根据是的中线得到，根据面积公式求出，即可解答． 【详解】解：过点D作于F， ∵是的中线， ∴ ∴ 即， ∴， ∴点D到的距离为． 故选：B． 98．如图，是三位同学的折纸示意图，则依次是的（    ） A．角平分线、高线、中线 B．高线、中线、角平分线 C．中线、角平分线、高线 D．角平分线、中线、高线 【答案】A 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的角平分线、高线、中线，理解三角形的角平分线、高线、中线的定义是解题的关键．根据翻折的性质和三角形的角平分线、高线、中线的定义，逐个图形分析即可得出答案． 【详解】解：由图①得，， ∴是的角平分线； 由图②得，， ∵，即， ∴， ∴是的高线； 由图③得，， ∴是的中线； ∴综上所述，依次是的角平分线、高线、中线． 故选：A． 99．在中，，，是边上的两点，且，下列四个推断中错误的是（   ） A．若是的高，则可能是的中线 B．若是的中线，则不可能是的高 C．若是的角平分线，则可能是的中线 D．若是的高，则不可能是的角平分线 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高线，中线，角平分线的定义，掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的高线，中线，角平分线的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴A、若是的高，则可能是的中线，故本选项不符合题意； B、若是的中线，则不可能是的高，故本选项不符合题意； C、若是的角平分线，则可能是的中线，故本选项不符合题意； D、若是的高，则可能是的角平分线，故本选项符合题意； 故选：D 100．如图，在中，，点沿自点向点运动（点与点，不重合），作于点，的延长线于点，在点的运动过程中，（   ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．不变 D．先变大后变小 【答案】B 【分析】本题考查三角形相关知识解决问题，理解题意，将转化为三角形面积关系是解决问题的关键． 利用三角形面积关系，将转化为分析即可得到答案． 【详解】解：，，在中，， ， 的值固定不变，在点沿自点向点运动（点与点，不重合）过程中，的长度逐渐变小， 在点的运动过程中，的值逐渐变大， 故选：B． 101．已知在中，，于点D．，，点P为边上的动点．点E为边上的动点，则的最小值是（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一得出，说垂直平分，根据垂直平分线性质得出，说明，得出当最小时，最小，过点C作与点F，交于点Q，根据垂线段最短，得出当点P与点Q重合，点E与点F重合时，最小，即的长，利用等积法求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当最小时，最小， 过点C作与点F，交于点Q，如图所示：    ∵垂线段最短， ∴当点P与点Q重合，点E与点F重合时，最小，即的长， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，垂线段最短，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的性质，证明． 102．如图，为的中线，为的中线，作的边上的高，若的面积为32，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，根据三角形中线平分三角形面积可推出的面积，再根据三角形面积计算公式即可求出答案． 【详解】解：∵为的中线，的面积为32， ∴， ∵为的中线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 103．如图，，分别是的高和中线，已知，，则的面积等于 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 故答案为：10． 104．如图，、、分别是的高线、角平分线、中线，则下列结论：①；②；③；④．正确的说法有 个 【答案】3 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线、中线和高等知识点．根据三角形角平分线、中线和高的定义，逐一判断即可． 【详解】解：∵分别是的高线、角平分线、中线， ∴，，，，不一定相等， 故，④错误①②③正确，共3个． 故答案为：3． 105．如图，在中，，，，，为直线上一动点，连接，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，三角形面积的计算．根据垂线段最短，得出当时，最小，利用等积法求出最小值即可． 【详解】解：∵垂线段最短， ∴当时，最小， ∵此时， ∴． 故答案为：． 106．如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足分别为E、F．则 ． 【答案】/ 【分析】连接，过点A作于G，利用勾股定理列式求出，再利用三角形的面积求出，然后根据的面积求出即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点A作于G， ，， ，， 即， 解得： ， 在矩形中，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形的面积，根据三角形面积公式推出是解题的关键． 107．如图，，分别是的中线和高，已知，，求的面积． 【答案】10 【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键．先根据三角形面积公式求出，再根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：是的高，，， ， ∵是的中线， ∴． 108．如图，已知、分别是的高和中线，，，，求： (1)的面积； (2)的长； (3)与的周长的差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的面积公式，以及三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，熟练掌握相关的性质与公式是解决此题的关键． （1）先根据三角形面积公式进行列式，计算出，即可作答； （2）利用面积法得到，即可求出的长； （3）由的周长－的周长=，即可求得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：，是上的高， ， ； （3）解：是边上的中线， ， 的周长－的周长 ， 即和的周长差是． 109．如图，在中，是射线上一点，过点作，，垂足分别为，过点作，垂足为，连接． (1)如图1，点在边上，写出线段，，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】该题考查了三角形面积公式． （1）根据题意得，，结合，即可证明． （2）根据，，得出，结合，得出．结合，即可求解． 【详解】（1）解：． 理由：． ， ， ． ， ． （2）解：． ， ， ． ， ． ， ， 解得， ． 【题型12 利用网格求三角形面积】 110.．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则下列关于的面积与的面积的大小说法正确的是（   ）    A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．分别求出的面积和的面积，即可求解． 【详解】解：， ， ． 故选：B． 111．如图，的顶点都在以边长为1的小正方形组成的网格格点上，则边上的高等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，三角形的面积计算．利用等积法求解是解题关键．由图可知，且其边上的高为，即可求出．由勾股定理可求出，设边上的高为x，结合三角形面积公式可列出关于x的方程，解出x的值即可． 【详解】解：由图可知，且其边上的高为2， ∴． 由图可知， 设边上的高为x， ∴， ∴， 解得：， ∴边上的高是． 故选：B． 112．如图，方格纸中小正方形的边长为1．A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得的面积为2．满足条件的点C的个数为（   ） A．4个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积，掌握三角形面积计算公式是解题的关键．根据三角形面积公式解答即可． 【详解】解：满足条件的点C的个数为6个，如图所示： ， ， 故选：B． 113．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，，恰好在网格图中的格点上，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了借助网格求三角形的面积，把放在的矩形中，用矩形的面积减去三个小直角三角形的面积即为的面积． 【详解】解：如下图所示，把放在的矩形中， 则. 故答案为： ． 114．如图，每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，任意三个格点组成的三角形的面积如果不小于1则称三角形为“离心三角形”，而如果该三角形的面积恰好等于1则称为“环绕三角形”．A、B是网格图形中的两个格点，点C是异于这两点的另一格点，且满足是“离心三角形”，那么是“环绕三角形”的有 个． 【答案】5 【分析】本题考查正方形格框中三角形面积的计算．根据题意找出使面积为1的点的个数即可得到答案． 【详解】如图， 当C取的点时，的面积均为， 当C取这5个格点时，的面积均为1， 当C取这些点时，的面积大于1， ∴是“环绕三角形”的有一共有5个， 故答案为：5． 115．如图，边长为的三个正方形顺次排列，则三角形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求阴影部分面积，由，然后代入即可求解，掌握三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图， 由 ， 故答案为：． 116．如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上． (1)画出的边上的高； (2)画出的边上的中线； (3)直接写出的面积为 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)3 【分析】本题考查画高线，中线，与三角形的高有关的计算，三角形的中线平分面积，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据高线的定义和网格特点，画出即可； （2）取的中点，连接即可； （3）求出的面积，根据中线平分面积，求出的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）由图可知：； ∵为的中线， ∴的面积． 117．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，，，，均在格点上，请用无刻度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，过点作线段使其平分的面积； (2)如图2，过点作线段使其平分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了中位线的性质和利用网格算面积，解决此题的关键是熟练的运用网格； （1）根据中线的性质即可得到答案； （2）根据四边形的面积一共是14，平分分开每边是7即可得到答案； 【详解】（1）解，如图所示： 根据中线的性质即可画出； （2）解：如图所示： 通过数网格可知四边形的面积为14，所以用分开，每边7个即可； 118．在直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示： (1)画出关于轴的对称图形； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，作轴对称图形，利用网格求三角形的面积，解题的关键是掌握轴对称的性质． （1）利用网格和轴对称的性质作出轴对称图形即可； （2）利用网格和割补法求三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：的面积为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $