四川省泸州市龙马潭区2025-2026学年高二上学期期中联合考试数学试题

高2024级高二上期期中联合考试 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 2．考生必须保持答题卡的整洁。 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二600人，高三800人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是 A．24 B．26 C．30 D．36 2．过两点的直线的倾斜角是 A． B． C． D． 3．某中学有教职工140人，其中35岁及以上的有40人，从这140名教职工中随机抽取一人，则抽到35岁以下教职工的概率为 A． B． C． D． 4．在空间中，若向量，，共面，则 A．4 B．2 C． D．6 5．已知样本数据为，去掉一个最大值和一个最小值后的数据与原来的数据相比，下列数字特征一定不变的是 A．极差 B．方差 C．平均数 D．中位数 6．将颜色分别为红、白、蓝的3个小球随机分给甲、乙、丙3个人，每人1个，则与事件“甲分得红球”互为对立事件的是 A．乙分得红球 B．丙分得红球 C．甲分得白球或蓝球 D．乙分得白球或蓝球 7．如图，在三棱锥中，为中点，，，，则等于 A． B． C． D． 8．已知A、B、C、D是球O上不共面的四点，且，，，则球O的体积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。 9．下列说法错误的是（    ） A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B．直线的倾斜角的取值范围是 C．过两点的所有直线，其方程均可写为 D．已知，若直线与线段有公共点，则 10．已知事件两两互斥，若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（    ） A．点的轨迹的长度为. B．直线与平面所成的角为定值． C．点到平面的距离的最小值为. D．的最小值为-2． 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4，4，6，7，7，8，9，9，10，10的分位数为 . 13．已知点，则向量在上的投影向量的坐标是 ． 14．若不等式的解集为，且，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 16．（15分） 已知经过点的圆C的圆心在x轴上，且与y轴相切． (1)求圆C的方程； (2)若，，点M在圆C上，求的取值范围． 17．（15分） 如图，在三棱锥中，，，，点D，E，F满足，，. (1)求线段的长； (2)求直线与所成的角. 18．（17分） 某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（单位：分，得分取正整数，）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为六组（如图）：    (1)求的值； (2)如果用按比例分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取6人，再从6人中选2人，求2人中有来自组的学生的概率； (3)学校在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的成绩：，已知这10个成绩的平均数，标准差，若剔除其中的94和86两个成绩，求剩余8个成绩的平均数与方差. 19．（17分） 如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： (3)若为线段上的动点，求到直线距离的最小值. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $高2024级高二上期期中联合考试 数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 > 8 0 10 答案 3 ⊙ B 风 D C Y A ACD BCD 题号 11 答案 BC 12.9 13. 14.2+V2 15.解：(1)设与直线3x-2y+3=0平行的直线方程为3x-2y+a=0, 由于过点(1,2)，代入3×1-2×2+a=0, 解得a=1,可得3x-2y+1=0, 所以所求的方程为3x-2y+1=0;…… …4分 (2)设与直线3x-y+2=0垂直的直线方程为x+3y+b=0: 由于过点(-1,2)，代入-1+3×2+b=0,解得b=-5, 可得x+3y-5=0, 所以所求的直线方程为x+3y-5=0;· …8分 (3)当直线过原点时，设直线方程为y=x, 代入点(1，-2)，-2=k,可得y=-2x, 当直线不过原点时，设直线方程为x+y=c, 代入点(1，-2)，c=-2+1=-1,可得x+y=-1, 综上，所求直线方程为2x+y=0或x+y+1=0.… …13分 16.解：(1)设圆C:（x-a2+y2=r2(r>0), a=r a=3 由题意得 3-a2+9=2,解得-3 …………4分 所以圆C的方程为(x-3+y2=9. …6分 (2)设M(x,y),-3≤y≤3，由x-3)+y2=9,得x2-6x+y2=0,…7分 则MA+MB2=(x-2)2+(y-12+(x-42+(y-1)2=2(x2-6x+y2）-4y+22=-4y+22.…9分 当y=3时，M4+MB取得最小值，最小值为10：…11分 当y=-3时，M4+MB取得最大值，最大值为34.……13分 第1页，共2页 故MA+MB的取值范围为10,34].· …15分 17.解：(1)由PD=DB,AF=FC,则D、F分别为PB、CA中点， DF-3DC+DA-(PC-PD)+(PA-PD) -PC-1PB+-P4-1PB-PC+PA-IPB,........ ……3分 则or-传c+a-四 …5分 PC++P+Pcos60-2PCcos60-2Pcos90 4+4+4+4-4=V5… ……7分 (2)由PE=2E,则CE=PE-PC=PA-PC,…。 划aE.r-i-c}c+m-丽 …11分 =3 PPCcos60+5P网-3P网P列eos0°-2PC …12分 PCcos60+PCcos60- 2+4-2-1+1=0,… 33 …14分 故CE⊥DF,即直线CE与DF所成的角为90°.· ………15分 18.解：(1)由图可知：10×0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005=1,解得a=0.030,…3分 (2)样本成绩位于60,70利70,80的比例为0015x10=, 。。……··…………。。。·…。…。。·4分 0.030×102' 故所抽取的6个人中，来自60,70)的人数为6×=2，设这两个人为1,2， 来自70,80)的人数为6×名=4，设这4个人为a,b,cd, 则从6个人中随机抽取2个人的所有情况有： (12),(1a),(1b),(1c),(1a),(2a),(2b),(2c),(2d),(ab),(ac),(ad),(bc),(bd,(cd), 2人中有来自[60,70)组情况有12)，1a,(1b),(1c,1d),2a),2b),2c,2d 故2人中有来自[60,70)组的学生的概率为〉=？， 55·……8分 (3)由元=90，可得x+x2+x3+…+x0=90×10=900, 则剔除其中的94和86两个分数，剩余8个数平均数为900-94-86=90，…10分 8 第1页，共2页 又标准差=5，=[-列+(3-+…+。-到门 [G+号+写++)-2++…+n+10] =0[+巧+写++-10]+写+写++)-产 故=(+写+写++)-90=5， 则x2+x号+x好+…+x=81250,…15分 则剩余的8个数的方差为81250-942-86)-902=27.25.…17分 19.解：(1)由直四棱柱ABCD-AB,CD,知，AA⊥底面ABCD, 因为ACc平面ABCD,所以AA,⊥AC, 又AB⊥AC,AA,∩AB=A,AA,ABC平面AAB,B, 所以AC⊥平面AAB,B,因为BEC平面AA,BB,所以AC⊥BE.…3分 因为4B=1,4C=4=2,E-444. 所指} ,∠EAB=∠ABB,=90, 所以△ABE-△BBA,所以∠ABE=∠AB,B,…5分 因为∠B,AB+∠AB,B=90°，所以∠BAB+∠ABE=90°，所以BE⊥AB, 又AC∩AB,=A,AC,AB,C平面ACB,所以BE⊥平面ACB.…6分 (2)因为AA,⊥底面ABCD,AB,ACC平面ABCD, 所以AA⊥AB,AA,⊥AC,因为AB⊥AC,所以AA,AB,AC两两垂直， 所以以A为原点，AA,AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， Z B B 第1页，共2页 则40.001，Bo1.01,c2.00,D1.-2.0,DL-22.E00》 由0如历-01》为平面4C的-个法向量… …8分 设平面D,AC的一个法向量为n=(x,y,z), 因为AD=(1,-2,2,AC=(2,0,0), AD=x-2y+2z=0 则 ，令z=1,则y=1,x=0, AC=2x=0 平面D,AC的一个法向量为n=(0,1,1).… …9分 1 所以cos元，EB= i.EB 1- V10 EB 10 ……10分 V1+4x2 所以平面D,AC与平面B,AC夹角的余弦值为0 …………11分 10 (3)设C℉=1CD=(-元，-22,0)，0≤λ≤1， 则F2-,-2.0.F2--2以，》 …13分 设F到直线BE的距离为d, EB.EF 则d=EFV1-cos2EB,EF EF ………14分 EB 2-刘+42+1 2*1月 4 982,25 ,…………………16分 4 1 5 所以当元=8时，d。=,即F到直线E距离的最小值为 9 3 第1页，共2页