精品解析：山东省济南市长清区2025-2026学年九年级上学期数学期中试题

九年级阶段检测数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动．如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的俯视图，熟练掌握三视图的定义是解题的关键． 【详解】图（2）标注了正面，则人的视线为水平投影线，从上往下看，两个叠在一起的圆柱的俯视图应为一个圆环，且两个圆都能看见，为实线． 故选：A． 2. 反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据即可求解． 【详解】解：，故图象在第二、四象限． 故选：D． 3. 假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，熟记概率公式是解此题的关键．用黑色区域面积除以全面积即可求解， 【详解】解：把小正方形边长设为， 则黑色区域面积为，大正方形面积， ∴它最终停在黑色方砖上的概率为， 故选：C． 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】解： ，即， ， 解得： 故选：D． 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得， 即路灯的高为8米； 故选：C． 6. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是找到相似三角形中的对应关系．根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和等于，即可得出． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：C． 7. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，，将其代入中即可求出结论． 【详解】解：∵，分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， 则． 故选：A． 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的图象．根据k的正负讨论反比例函数和一次函数图象的位置即可判断． 【详解】解：若，则反比函数图象在第一、三象限，一次函数过第一、三、四象限； 若，则反比函数图象在第二、四象限，一次函数过第二、三、四象限，B选项符合； 故选：B． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 10. 已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查函数的图象及性质，将所给的函数与所学的反比例函数图象结合解题是关键．将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，通过观察函数图象，结合反比例函数的图象及性质进行分析即可． 【详解】解：将函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度得到函数的图象，如图， ①当时， ， , , , , 当时，， 故①不符合题意； ②当时， ， , , 故②符合题意； ③， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故③不符合题意； ④， ， 当时y随x值的增大而减小， ， ， 故④符合题意； 故选：B 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 已知，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． 根据，再将整体代入计算即可． 详解】解：由题意知：． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到白球的概率约为0.3，进而根据概率计算公式求出袋子中球的总数，即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3， ∴摸到白球的概率约为0.3， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球有个， 故答案为：． 13. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是首先理解没有实数根就是指， 根据题目意思可知，解即可求，从而易知应取的最大值是． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， 故的最大整数值是． 14. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的确定，设，则，，根据反比例函数的性质，列出方程计算即可． 【详解】解：点，的横坐标都是，，平行于轴，点在上，且其横坐标为， 设， ，， 反比例函数的图象经过点，， ， 解得， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 过点H作于点Q，则四边形是矩形，由纸片折叠，可证是等腰三角形，设，利用相似三角形的性质可用x表示相关线段，根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，过点H作于点Q，则四边形是矩形， 将矩形沿折叠，使得点A的对应点F落在的延长线上， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得（舍去）， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法的方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 17. 如图，在梯形中，，，对角线．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及相似三角形的性质的运用．根据已知条件推出，，得到，得，根据已知数据即可求解的长度． 【详解】解:∵ ， ∴ ， ∵，， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 【答案】（1） （2）见解析，3 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—位似，画位似图形，两点距离计算公式，熟知位似的相关知识是解题的关键． （1）根据两点距离计算公式可得的长，再根据位似图形的性质可推出，，则可得，据此可得答案； （2）把A、C的横纵坐标都缩小为原来的一半可得到的坐标，描出，再顺次连接，最后根据三角形面积计算公式求出对应的三角形面积即可； （3）把点M的横纵坐标都缩小为原来的一半即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， ∴， ∵与关于原点位似， ∴，， ∴ ∴与的相似比为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求，； 【小问3详解】 解：∵边上有一点， ∴在边上与点对应的点的坐标是． 19. 为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 A组 5 B组 12 C组 18 D组 m （1）一共抽取了__________名学生的成绩，m的值是__________，扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角的__________； （2）若规定学生成绩为“优秀”，估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有__________人； （3）“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 【答案】（1）50，15， （2）900 （3） 【解析】 【分析】（1）由组人数除以其占比可得总人数，由总人数减去组的人数可得的值，由组的占比乘以可得圆心角的大小； （2）由3000乘以优秀率即可； （3）利用例举法得到所有的等可能的结果数与符合条件的结果数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解： （名），，， 故A组所在扇形的圆心角的． 【小问2详解】 解：（人）， ∴全校3000名学生中成绩达到“优秀”有900人；． 【小问3详解】 解：派两名选手参加初赛有种等可能的结果， 其中李红和陈月同时被选上的结果有一种，则P（李红和陈月同时被选上）． 【点睛】本题考查的是统计表与扇形统计图，利用样本估计整体，求解扇形的圆心角，求解简单随机事件的概率，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 20. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 【答案】（1）； （2）; （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； 设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； 设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求 ． 【小问1详解】 解：米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； 【小问2详解】 解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； 【小问3详解】 解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求． 21. 草莓是云南多地盛产的一种水果．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求的值． 【答案】（1）与的函数解析式为，的取值范围为 （2）35 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数和一元二次方程的应用是解题关键． （1）设与的函数解析式为，将点和点代入计算即可得函数解析式，再根据试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元可得的取值范围； （2）根据利润销售量（销售单价成本单价）建立方程，解方程即可得． 【小问1详解】 解：由题意，设与的函数解析式为， 将点和点代入得：， 解得， 则与的函数解析式为， ∵试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元， ∴， 答：与的函数解析式为，的取值范围为． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：的值为35． 22. 综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由： 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 【答案】任务1：，理由见解析；任务2： 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． 任务1：连接，可证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可得到答案； 任务2：根据任务1所求结合所给数据计算求解即可． 【详解】解：任务1：，理由如下： 如图所示，连接， 由题意得，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴； 任务2：∵，，①号“”的测量距离， ∴， ∴． 23. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求的最小值； 解：令 ，的最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 【答案】题一：①；②最大值为；题二：米 【解析】 【分析】题一：①运用矩形的性质，证明△AEF∽△ABC，用相似三角形的相似比等于对应高的比列式计算即可； ②设矩形的面积为S，建立等式，转化为给出的方法计算即可． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米，则，转化为给出的方法计算即可． 【详解】（1）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵四边形EFPQ是矩形, ∴EQ=DH=PF，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， 有最大值，最大值为． 题二：设的长为米，则米，需要用的篱笆长为米， ， 整理，得， ， ， ∴ ， 需要用的篱笆最少是米． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，相似三角形的判定与性质，能准确理解新方法，并运用新方法是解题的关键． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，平行四边形的性质与判定，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中即可求出答案； （2）先求出点C的坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，进一步求出点D的纵坐标即可得到点D的坐标； （3）取，连接，可证明四边形是平行四边形，得到，则可证明当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∵点D在第二象限， ∴， 在中，当时，， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，取，连接， ∴轴， ∵，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴当B、F、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的值， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 25. 【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点作，交的延长线于点， 是三角形的角平分线， ， ， ， ， ___________①___________， ， ___________②___________， ， ； （1）请你帮龙龙完善证明过程：①___________②___________ （2）请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知，分别是中线和高线，若，，，求的值 （3） （4） ②如图4，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，点在的延长线上，若与相似，求线段的长． 【答案】（1）①，② （2）①，②的值为或． 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，根据角平分线的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）①过过点作交的延长线于点，证明，推出，，在中，由勾股定理得出方程求出的长，从而得出与的长，再将转化为即可得出结果； ②由，求出的长度，在中，利用勾股定理求出，进而求出，由，求出，，，再分和两种情况，由相似三角形的性质求出． 【小问1详解】 解：由题意得， 龙龙同学证明思路：如图2过点作，交的延长线于点，构造相似三角形可以证明：． ①， ②； 【小问2详解】 解：①如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 即， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵是与的高， ∴与都是直角三角形， ∴，， ∴； ②由（1）得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 若， ∴，即， 解得； 若， ∴，即， 解得； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等面积法，相似三角形的存在性问题，本题的关键是根据题意分类讨论解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级阶段检测数学试题 本试卷分第1卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分．本试题共8页，满分150分，考试时间为120分钟． 答卷前请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填在试卷规定的位置．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．） 1. 2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动．如图（1）为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成．由核心舱抽象出的几何体如图（2）所示，则这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象分布在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、三象限 D. 第二、四象限 3. 假如小蚂蚁在如下图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子的长是3米，则路灯的高为（ ） A 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 6. 如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（ ） A. 135° B. 90° C. 45° D. 22.5° 7. 设、分别为一元二次方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 1 D. 5 8. 在同一直角坐标系中，函数和的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，均在函数的图象上，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的个数是（    ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共110分） 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．） 11. 已知，那么的值为______． 12. 在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有___个． 13. 如果关于x的方程没有实数根，那么m的最大整数值是__________. 14. 在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，，点D在上，且其横坐标为1，若反比例函数的图象经过点B，D，则k的值是______． 15. 如图，在矩形中，，点E 在上，点 H 在上，将矩形 沿折叠，使点A 的对应点 F 落在的延长线上，交于点P，若，则折痕的长为___________． 三、解答题（本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解下列方程： （1） （2） 17. 如图，在梯形中，，，对角线．若，求长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别是，与关于原点位似，点的对应点分别为点，其中点的坐标是． （1）与的相似比是___________． （2）请在图中画出，并求出的面积为___________； （3）若边上有一点，则在边上与点对应的点的坐标是___________． 19. 为弘扬我国传统文化，增强文化自信，某校举办“传统文化月”系列活动．活动之一是组织全校学生进行经典名篇知识竞赛．为了解学生答题情况，老师从中随机抽取了n名学生的比赛成绩（满分100分），制作出如下不完整的统计表和统计图： 组别 分组 人数 A组 5 B组 12 C组 18 D组 m （1）一共抽取了__________名学生的成绩，m的值是__________，扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角的__________； （2）若规定学生成绩为“优秀”，估计全校3000名学生中成绩达到“优秀”有__________人； （3）“传统文化月”系列活动之二是经典朗诵比赛，每班需派两名选手参加初赛，七（1）班共有4名同学报名参赛，分别是李红、丁洋、孙飞、陈月，请求出李红和陈月同时被选上的概率． 20. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 21. 草莓是云南多地盛产的一种水果．今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元．经试销发现，销售量（千克）与销售单价（元）符合一次函数关系，下图是与的函数关系图象． （1）求与的函数解析式，请直接写出的取值范围； （2）若该水果销售店试销草莓获得的利润为4050元，求的值． 22. 综合与实践 视力表中蕴含的数学知识 素材1 用硬纸板复制视力表中所对应的“”，并依次编号①，②，放在水平桌面上．如图1所示，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“”测得的视力与在处用②号“”测得的视力相同． 任务1 探究图中与之间的关系，请说明理由： 任务2 若，，①号“”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“”的测量距离． 23. 材料：对于一个关于的二次三项式（），除了可以利用配方法求该多项式的取值范围外，爱思考的小宁同学还想到了利用根的判别式的方法，如下例： 例：求最小值； 解：令 ，最小值为． 请利用上述方法解决下列问题： 题一：如图1，在中，，高，矩形的一边在边上，、两点分别在、上，交于点．设． ①用含的代数式表示的长为________； ②求矩形的面积最大值． 题二：如图2，有一老板打算利用一些篱笆，一面利用墙，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．若要围成面积为平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？ 24. 如图1，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数交于点和点，点的坐标为，点的横坐标为5，一次函数与轴交于点． （1）求的值； （2）如图1，点是第二象限内反比例函数上一动点，连接，．当时，求点坐标； （3）如图2，在（2）问的条件下，点，均为轴上的动点，且点在点的左侧，．求的最小值； 25. 【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论： 如图1，已知是三角形的角平分线，可以得到．龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点作，交的延长线于点， 是三角形的角平分线， ， ， ， ， ___________①___________， ， ___________②___________， ， ； （1）请你帮龙龙完善证明过程：①___________②___________ （2）请应用（1）的结论解决下列问题： ①如图3，已知，分别是的中线和高线，若，，，求的值 （3） （4） ②如图4，在中，，平分交于点，，垂足为点．若，点在的延长线上，若与相似，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $