精品解析：浙江省浙江初中高质量发展协作共同体2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年（下）九年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 2. 若二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 6. 根据下表可知，方程的一个解的范围为（ ） …… …… …… …… A. B. C. D. 7. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，是的中点，是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 卷II 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11 如图，四边形内接于，若，则___________°． 12. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 05400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于_______（精确到0.01）． 13. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个． 14. 已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． 15. 如图，在中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF．若则DF的长为______． 16. 已知抛物线，当时，的取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是______________． 三、简答题（本大题有8个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 18. 某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． （1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） （2）求小亮和小华选到同一本书概率． 19. 在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用直尺完成以下作图． （1）画出圆的圆心． （2）在圆上找一点，使平分． 20. 若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标． （2）若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 21. 如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． （1）求的半径． （2）若，求的长． 22. 【背景材料】 在微项目实践课上，探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“”形尺按如图方式摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 建立模型】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： 0 1 2 3 ．．． 0 1 4 9 ．．． 猜想：与的关系式是___________ （2）探究小组又对多个二次函数的图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“”内打“√”）补全其推理过程．（根据需要，选用字母表示答案） ☐方法1 ☐方法2 如图，将二次函数图象平移，使顶点移到原点的位置，则． 所以点的坐标为___________， 将点的坐标代入， 得到与的关系式是_________． 如图，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为___________； 将点的坐标代入， 得到与的关系式是_________． 【应用模型】 （3）二次函数图象的顶点为，且经过，两点．若轴，，为等边三角形，求的值． 23. 已知关于的二次函数． （1）当时． ①求该函数表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． （2）若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 24. 如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． （1）连结，求证：． （2）若，求半径的长． （3）若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年（下）九年级数学学科期中学能诊断卷 考生须知： 1．全卷共三大题，24小题，满分为120分．考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式． 2．全卷分为卷I（选择题）和卷II（非选择题）两部分，全部在答题卡上作答．卷I的答案必须用2B铅笔填涂；卷Ⅱ的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔写在答题卡的相应位置上． 3．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上先填写姓名和准考证号． 4．本次考试不得使用计算器． 卷Ⅰ 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列成语所反映的事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 水中捞月 B. 一箭双雕 C. 旭日东升 D. 夕阳西下 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件、必然事件与不可能事件的概念辨析，解题的关键是明确“不可能事件是指在一定条件下一定不会发生的事件”． 先界定必然事件、随机事件、不可能事件的定义，再结合每个成语的实际含义，判断对应事件的类型，筛选出不可能事件． 【详解】解：A、“水中捞月”指在水中打捞月亮，一定不会发生，此事件是不可能事件，该选项符合题意； B、“一箭双雕”指一箭射中两只雕，有可能发生也有可能不发生，此事件是随机事件，该选项不符合题意； C、“旭日东升”指早晨太阳从东方升起，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； D、“夕阳西下”指傍晚太阳从西方落下，一定发生，此事件是必然事件，该选项不符合题意； 故选：A． 2. 若二次函数的图象经过点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是将点的横坐标代入函数解析式求解纵坐标． 将点的横坐标代入二次函数，计算对应的函数值即为的值． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴将代入解析式得，． 故选：C． 3. 已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】设点与圆心的距离d，已知点P在圆外，则d>r. 解：当点P是⊙O外一点时，OP>5cm，A、B、C均不符. 故选D. “点睛”本题考查了点与圆的位置关系，确定点与圆的位置关系，就是比较点与圆心的距离化为半径的大小关系. 4. 将二次函数的图象先向右平移4个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，解题的关键是掌握“左加右减、上加下减”的平移法则（针对函数顶点式，左右平移改变x的取值，上下平移改变常数项）． 根据二次函数平移法则，原函数为顶点式，向右平移4个单位需将x替换为，再向上平移3个单位需在解析式末尾加3，进而得到平移后的函数表达式． 【详解】解：二次函数图象平移遵循“左加右减、上加下减”法则， 原函数可化为顶点式， 向右平移4个单位后，解析式变为． 再向上平移3个单位后，解析式为． 故选：A． 5. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 6. 根据下表可知，方程的一个解的范围为（ ） …… …… …… …… A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确理解一元二次方程的解的概念是解题的关键．由时，，时，，可知在和之间有一个值能使的值为0，于是判断方程的一个解x的范围为． 【详解】时，，时，， 方程的一个解x的范围为． 故选C． 7. 如图，点在⊙O上，，弧的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理可求解∠AOB=2∠ACB，进而可求解弧AB的度数． 【详解】解：∵∠ACB=40°， ∴∠AOB=2∠ACB=80°， ∴弧AB的度数为80°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆周角定理，圆心角，弦，弧的关系，求解∠AOB的度数是解题的关键． 8. 地面上一个小球被推开后笔直滑行，滑行的距离s与时间t的函数关系如图中的部分抛物线所示（其中P是该抛物线的顶点），则下列说法正确的是（　　） A. 小球滑行12秒停止 B. 小球滑行6秒停止 C. 小球滑行6秒回到起点 D. 小球滑行12秒回到起点 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象结合s与t关系式得出答案． 【详解】解：如图所示：滑行的距离要s与时间t的函数关系可得， 当t=6秒时，滑行距离最大，即此时小球停止． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确数形结合分析是解题关键． 9. 已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质． 【详解】解：∵点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：B． 10. 如图，在正方形中，，是的中点，是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，则线段的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，证明，可得，由勾股定理可得的长，根据，即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，， ， ， 在与中， ， ， ， 正方形中，，是边的中点， ， ， ， ， ， 线段长的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，勾股定理．解题的关键是掌握图形旋转的性质． 卷II 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，四边形内接于，若，则___________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形，根据圆内接四边形，对角互补，得，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， 则 故答案为： 12. 某学习小组做抛掷一枚瓶盖的实验，整理的实验数据如表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.5600 0.5400 0.5300 0.5267 0.5280 0.5270 0.5280 0.5290 0.530 随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于_______（精确到0.01）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握频率估计概率的方法是解题关键．随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率，由此即可得． 【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近于， 故答案为：． 13. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个． 【答案】10 【解析】 【分析】先求出正五边形的外角为，则，进而得出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ∵正五边形的一个外角， ∴， ∴， ∴共需要正五边形的个数（个）， 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正多边形的外角，解题的关键是掌握正多边形的外角的求法． 14. 已知二次函数和正比例函数的图象如图所示，则方程的两根之和___________0（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知抛物线与x轴的交点与一元二次方程根的关系是解答此题的关键． 设的两根为，由二次函数的图象可知，；设方程的两根为m，n，再根据根与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：设的两根为， 对称轴在的负半轴， ，， ， ∴由二次函数的图象可知； 设方程的两根为m，n， 则 ∵ ∴， ∵ ∴ 即 故答案为： 15. 如图，在中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF．若则DF的长为______． 【答案】4 【解析】 【分析】连接DE，OD，OF，过点O作先证明是等边三角形，从而得结合垂径定理和三角函数即可求解． 【详解】解：连接DE，OD，OF，过点O作 ∵在中，直径AB⊥弦CD， ∴AB垂直平分CD， ∴ ∵以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∵ , 故答案为：4 【点睛】本题主要考查圆周角定理垂径定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，添加辅助线构造直角三角形是关键． 16. 已知抛物线，当时，取值范围是．若将该抛物线向右平移6个单位后经过点，则的值是______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、抛物线平移规律及因式分解，解题的关键是因式分解简化解析式，结合平移和取值范围求参数． 先因式分解抛物线解析式，利用平移规律得平移后解析式，代入已知点建立与关系；根据开口方向和取值范围，结合单调性求，进而得． 【详解】解：抛物线向右平移6个单位后解析式为． ∵过点，代入得， ，即，化简得． 将代入，得 ． ∴，开口向下，对称轴， ∵时，对称轴在区间内，顶点为最大值点． 顶点（最大值点）坐标为： ，， 给定取值范围 ，且最小值为 0，最大值为6． 由于开口向下，顶点为最大值：（因为，所以）： ∴， ∴． 故答案为：． 三、简答题（本大题有8个小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数经过点与． （1）求b，c的值． （2）求该二次函数图象的顶点坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将两点坐标代入二次函数解析式得到关于b与c的方程组，求出方程组的解即可得到b与c的值； （2）二次函数解析式化为顶点形式，即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：将代入二次函数解析式得：， 解得：； 【小问2详解】 二次函数解析式为， 则顶点坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 18. 某校趣味数学社团举办“读古算之书，承数理之魂”主题活动．活动现场，承载着千年智慧的《九章算术》（A）、《周髀算经》 （B）、《孙子算经》 （C）、《海岛算经》 （D）在屏幕上循环闪现．参与者小亮和小华需各自随机点击屏幕一次，抽取一个代码，并依此代码参与后续环节． （1）小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，共有几种不同的可能？（用列表法或树状图分析） （2）求小亮和小华选到同一本书的概率． 【答案】（1）16 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法或树状图法求解概率，掌握知识点是解题的关键． （1）先运用列表法，再确定共有16种等可能结果， （2）由（1）得共有16种等可能结果，其中小亮和小华选到同一本书有4种结果，继而用概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：依题意，所有可能的结果如下： A B C D A B C D ∴小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， 【小问2详解】 解：由（1）得，小亮和小华各自随机点击屏幕抽取一个代码，一共有16种等可能结果， 则小亮和小华选到同一本书的结果有4种， ∴， 即小亮和小华选到同一本书的概率为． 19. 在的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点都在格点上，圆经过的顶点，只用直尺完成以下作图． （1）画出圆的圆心． （2）在圆上找一点，使平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆的圆心（外心）作法、角平分线的直尺作图及圆的基本性质，解题的关键是掌握“外心是三角形三边垂直平分线的交点”和角平分线的定义，利用格点特征完成直尺作图． （1）根据外心性质，作任意两边的垂直平分线，两线交点即为圆心O； （2）依据“等弧所对的圆周角相等”、“等弦对等弧”、“线段垂直平分线上的一点到线段两端点的距离相等”，作的垂直平分线，与（优弧）交于点D，点D即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点O即为所求作的圆心． 作法：找适当的格点，并连接成两条直线，使这两条直线分别是的垂直平分线，两直线相交于点O． 【小问2详解】 如图，点D即为所求作的点． 作法：找适当的格点M与N，使直线垂直平分，作直线与优弧相交于点D，则平分． 20. 若二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧）． （1）求，两点的坐标． （2）若是抛物线上一点，且，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与x轴交点的求法、二次函数在指定区间内的取值范围，解题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程、二次函数的顶点性质及区间端点值的计算． （1）令二次函数值为0，解一元二次方程得到交点横坐标，根据点的左右位置确定A、B坐标； （2）将二次函数化为顶点式确定对称轴与顶点纵坐标，计算区间端点对应的函数值，通过比较得出n的取值范围． 【小问1详解】 解：令，则， 因式分解得， 解得，． ∵点A在点B左侧， ∴，． 【小问2详解】 解：， ∴抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的取值范围是． 21. 如图，矩形内接于，是上一动点，连接，若，． （1）求的半径． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）连接，根据矩形内接于，，得到是的直径，根据勾股定理求出，即可求解； （2）连接，过点作于点，得到，推出，得到，推出，设，则，在中，由勾股定理列方程求出，最后根据，即可求解． 小问1详解】 解：如图，连接， 矩形内接于，， 是的直径， ，， ， 的半径为； 【小问2详解】 解：连接，过点作于点， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， 中，由勾股定理得，即， 解得或（不合题意，舍去）， ， 的长为． 22. 【背景材料】 在微项目实践课上，探究小组用两个互相垂直的直尺制作了一个“T”形尺，并用它对二次函数图象的相关性质进行研究． 把“”形尺按如图方式摆放，水平宽的中点为，图象的顶点为，测得为厘米时，为厘米． 【建立模型】 （1）探究小组先对的图象进行多次测量，测得与的部分数据如表： 0 1 2 3 ．．． 0 1 4 9 ．．． 猜想：与的关系式是___________ （2）探究小组又对多个二次函数图象进行了测量研究，发现测得的与也存在类似的关系式，并针对二次函数的情况进行了推理验证．请从下表中任选一种方法（在“”内打“√”）补全其推理过程．（根据需要，选用字母表示答案） ☐方法1 ☐方法2 如图，将二次函数图象平移，使顶点移到原点的位置，则． 所以点的坐标为___________， 将点的坐标代入， 得到与的关系式是_________． 如图，顶点的横坐标加个单位，纵坐标加个单位得到点的坐标，所以点的坐标为___________； 将点的坐标代入， 得到与的关系式是_________． 【应用模型】 （3）二次函数图象的顶点为，且经过，两点．若轴，，为等边三角形，求的值． 【答案】（1）；（2）见详解；（3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数作图、方案探究等，理解题意，逐次求解是解题的关键． （1）根据表格数据即可求函数表达式； （2）方案一：；将点的坐标代入抛物线表达式即可求解；方案二：同方案一； （3）由题意知：，，为等边三角形，过点C作，则，由（2）知，对于抛物线，求出，，进而求解． 【详解】解：（1）由表格数据可猜测， 故答案为：； （2）方法一：点， 将点的坐标代入函数表达式得：； 则， 方法二：点， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：； （3）由题意知：，，为等边三角形， 过点C作， 则， 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 当时， 则， 由（2）知， 对于抛物线，可知，， 则， 解得：． 综上，或． 23. 已知关于的二次函数． （1）当时． ①求该函数的表达式． ②当时，该函数的最大值与最小值的差是3，求的值． （2）若和是抛物线上的两个点，且，求的取值范围． 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）①将代入解析式即可得出结果；②根据二次函数的增减性分类讨论进行求解即可； （2）求出抛物线的对称轴，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【小问1详解】 解：①当时，； ②∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， 当时： ①时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得或（舍去）； ②当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则，不符合题意； ③当时，当时，函数值最小为； 当时，函数值最大为，则， 解得，均不满足，故舍去； 综上：； 【小问2详解】 ∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越小， ∵和是抛物线上的两个点，且， ∴， 解得． 24. 如图，在中，直径于点，连结，以为边作菱形（点在线段上，与不重合），交于点，连结并延长，与射线交于点． （1）连结，求证：． （2）若，求半径的长． （3）若，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了圆的性质（直径所对圆周角为直角、垂径定理）、菱形的性质（对边平行、四边相等）、全等三角形的判定与性质、、勾股定理、锐角三角函数的应用及一元二次方程的求解，解题的关键是合理添加辅助线，利用图形性质建立边或角的等量关系，结合几何定理与代数运算求解． （1）连接，借助菱形对边平行的性质及直径所对圆周角为直角，转化角的等量关系，通过“”“”“”逐步推导，证明； （2）连接，利用垂径定理及勾股定理，在和中用r表示，建立关于半径r的方程，求解并舍去负根； （3）连接、，由及菱形性质得，判定、，设未知数表示相关线段，利用余弦函数的等量关系建立方程，求解得出比例值． 【小问1详解】 证明：连接， 则 由菱形可知，又， ∴，则 ∴， ∵， ∴， 由菱形对边平行知，， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：连接，则， 在与中，， ∴， 解得：（另一解为负值，舍去）， 【小问3详解】 解： 分别连接、， ∵， ∴ ∴是的直径，， ∵， ∴， 又， ∴，则， 又 ∴， ∴， 设， 则， 在与中，，则， 即，，解得（另一根为负值，舍去）， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $