精品解析：湖南省长沙市长郡集团2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季八年级期中限时检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a5 B. a+a=a2 C. （a2）3=a5 D. a2（a+1）=a3+1 【答案】A 【解析】 【详解】A．a2•a3=a5，故此选项正确；B．a+a=2a，故此选项错误； C．（a2）3=a6，故此选项错误；D．a2（a+1）=a3+a2，故此选项错误；故选A． 2. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，4，8 C. 5，4，10 D. 6，7，14 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系即可判断. 【详解】A. 2+3＞4，可构成三角形，符合题意； B. 4+4=8，不能构成三角形，不符合题意； C. 5+4＜10，不能构成三角形，不符合题意； D. 6+7＜14，不能构成三角形，不符合题意； 故选A． 【点睛】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边． 3. 下列结论正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形是全等形 B. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 C. 全等三角形的面积相等 D. 两个等边三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等图形的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、应为形状相同，大小相等的两个图形是全等形，故本选项错误； B、应为对应角相等，对应边相等的两个三角形是全等三角形，故本选项错误； C、全等三角形的面积相等，正确，故本选项正确； D、应为两个边长相等的等边三角形全等，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了全等图形的定义，以及全等三角形的性质，要注意从形状和大小两个方面考虑求解． 4. 在中，，，（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，理解并掌握三角形内角和的运算是解题的关键． 根据三角形的内角和为，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∵， ∴， 故选：． 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特征，熟练掌握关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题的关键． 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的对应角相等即可求解，找准对应角是解题的关键． 【详解】∵图中的两个三角形全等，是两边的夹角， ∴， 故选：． 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全等三角形的判定依次判断可求解． 【详解】A、添加，由“”可证，故选项A不符合题意； B、添加，由“”可证，故选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不符合题意； D、添加，不能证明，故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是本题的关键． 8. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：、，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知：、， ∴． 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，DC=DB，从而等量代换求解. 【详解】解：∵DE是BC的垂直平分线， ∴DC＝DB， ∴△ADC的周长＝AC+AD+DC＝AC+AD+DB＝AC+AB＝16， 故选D． 【点睛】利用垂直平分线的性质是本题的解题关键.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等. 10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】过点P作PD⊥AC于D，根据角平分线的判定定理和性质定理判断①；证明Rt△PAM≌Rt△PAD，根据全等三角形的性质得出∠APM＝∠APD，同理得出∠CPD＝∠CPN，可判断②；根据三角形的外角性质判断③；根据全等三角形的性质判断④． 【详解】解：①过点P作PD⊥AC于D， ∵PB平分∠ABC，PC平分∠FCA，PM⊥BE，PN⊥BF，PD⊥AC， ∴PM＝PN，PN＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴AP平分∠EAC，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， ， ∴Rt△PAM≌Rt△PAD（HL）， ∴∠APM＝∠APD， 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN（HL）， ∴∠CPD＝∠CPN， ∴∠MPN＝2∠APC， ∴∠ABC+2∠APC＝180°，②正确； ③∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC＝2∠PCN，∠PCN＝∠ABC+∠BPC， ∴ ∴∠BAC＝2∠BPC，③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD（HL），Rt△PCD≌Rt△PCN（HL） ∴S△APD＝S△APM，S△CPD＝S△CPN， ∴S△APM+S△CPN＝S△APC，故④正确， 故选：D 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若a+b=2，a－b=3，则a2－b2=__________． 【答案】6． 【解析】 【详解】试题分析：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）=2×3=6． 故答案是6． 考点：平方差公式． 12. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件：____________． 【答案】 【解析】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 13. 生活中处处有数学，起重机的底座、自行车的支架都是采用三角形结构，从数学角度来说，是因为三角形具有______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，三角形具有稳定性，这是初中数学中三角形的基本性质，适用于需要固定结构的应用． 【详解】解：三角形的稳定性是指当三角形的三边长度确定时，其形状和大小唯一确定，不会发生变形．而其他多边形（如四边形）则容易变形．起重机的底座和自行车的支架采用三角形结构，正是利用了三角形的这一性质来确保结构的牢固和稳定． 故答案为：稳定性． 14. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、2、3块玻璃不同时具备包括条一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第4块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故答案为：4． 15. 一个三角形的三边为3，6，，另一个三角形的三边为，3，7，若这两个三角形全等，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，两个三角形全等，则对应边相等．通过比较两个三角形的各边长度，从而求出x和y的值，则可得到答案． 【详解】解：由全等三角形的性质可得， ∴， 故答案为：1． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题16分，第18、19每题6分，第20、21、22题每题8分，第23、24每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可； （2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可；． （3）利用完全平方公式计算即可； （4）利用平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 【小问3详解】 解：原式 【小问4详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】﹣8x＋13，21 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】原式=4（x2-2x+1）-（4x2-9） =4x2-8x+4-4x2+9 =﹣8x+13， 当x=-1时，原式=8+13=21． 【点睛】此题考查了整式的混合运算-化简求值，涉及的知识有：平方差公式、完全平方公式、单项式乘以多项式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—轴对称： （1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此得到A、B、C对应点的坐标，描出并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； ∵与关于轴对称，， ∴． 【小问2详解】 解；由题意得，． 20. 若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【答案】（1）8； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式、熟练掌握运算法则，采用整体代入的思想是解此题的关键． （1）根据完全平方和公式，结合已知条件恒等变形，代值求解即可得到答案； （2）将两个已知等式相减求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：①，②， ①②得：， 则． 【小问2详解】 ①②得：， 即． 21. 如图，在中，，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）若，求度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和为． （1）根据，得，即可求证； （2）由，得到；即可求解． 小问1详解】 证明：， ， 在和中， （） 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 即的度数为． 22. 如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形，等边三角形的性质． （1）根据证明与全等即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，进而由直角三角形的性质解答即可． 【小问1详解】 ∵为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“麓山数”，即：若正整数（，为正整数，且），则称正整数为“麓山数”．例如：，，所以和都是“麓山数”． （1）根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______； （2）求证：除以外的所有正奇数都是“麓山数”； （3）将所有麓山数从小到大排列，请求出第个“麓山数”是多少． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了整数问题的综合运用，新定义运算问题，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意找出规律，从而得出答案． （1）根据“麓山数”的定义和规律即可解答； （2）设，根据“麓山数”的定义进行解答即可； （3）由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，再通过总结偶数中“麓山数”的特点，即可得解． 【小问1详解】 解：由平方差公式知，无法分解成整数的平方差形式，， ，均为正整数， 最小的“麓山数”是， ， 两位数中最大“麓山数”是； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设， ， ，符合定义， 又， ， 除以外的所有正奇数都是“麓山数”； 【小问3详解】 解：由（2）可知除以外的所有正奇数都是“麓山数”，又偶数中也存在“麓山数”，故讨论偶数是“麓山数”的特点． 设，且为偶数，则， 为偶数，故因式与为一奇一偶或两个偶数． 当与为一奇一偶时，奇偶奇数， ，为正整数， 为偶数，这与为奇数矛盾， 故与不可能为一奇一偶； 当与为两个偶数时，不妨设，， ， ，均为正整数，且， 且， 当为偶数时，除之外所有的倍数是“麓山数”． 以内（含）除掉有个奇数为“麓山数”， 以内（含）以外是的倍数的偶数共有个数为“麓山数”， 合计个“麓山数”， 第个“麓山数”是，第个“麓山数”是， 第个“麓山数”是． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点，是线段上的动点（，两点不重合），且．连接，过点作交于点，交直线于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）当时，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）1． 【解析】 【分析】（1）根据，，可得，，从而得证； （2）当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点，证明，得到，，再证明，得到，从而得到与的数量关系；当在点右边时，由，，可知，同理可证，有，则，同理可证，从而得到与的数量关系； （3）当在左侧时，先证明是等边三角形，，设，然后结合角所对的直角边等于斜边的一半，表示出，，，， 然后利用表示出，最后表示出；当在右侧时，此时，则，由（2）知，，故，那么，可推出，此时，与矛盾，故在右侧时不成立． 【小问1详解】 证明：由题得， ， 又， ， ． 【小问2详解】 解：，理由如下： ①如图1，当在点左边时，过点作于点，交的延长线于点， ， ，， ，， 又， ， ，， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， 又， ； ②如图2，当在点右边时，由，，可知， 同理可证， 有，则， 同理可证， ，又， ． 【小问3详解】 解：如图3，当在左侧时， 由（2）可知， 是等腰三角形， ， 又， 是等边三角形，． 设， ，， ， ，， ， 在中，， ，， ， 又， ， 同理在中，，， ， ； 如图4，当在右侧时，此时，则， 由（2）知，，故， ， 当时，， ， ，与矛盾，故在右侧时不成立， 综上，． 【点睛】本题考查了三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点并分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季八年级期中限时检测试卷 数学 注意事项： 1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号； 2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效； 3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示； 4．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 5．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸； 6．本学科试卷共24个小题，考试时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 下列计算正确的是（　　） A. a2•a3=a5 B. a+a=a2 C. （a2）3=a5 D. a2（a+1）=a3+1 2. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ） A 2，3，4 B. 4，4，8 C. 5，4，10 D. 6，7，14 3. 下列结论正确的是（ ） A. 形状相同的两个图形是全等形 B. 对应角相等的两个三角形是全等三角形 C. 全等三角形的面积相等 D. 两个等边三角形全等 4. 在中，，，（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 尺规作图中蕴含着丰富数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是： （ ） A. SAS B. ASA C. SSS D. AAS 9. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，则△ADC的周长等于（　　） A. 4 B. 6 C. 10 D. 16 10. 如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE于M，PN⊥BF于N，则下列结论：①AP平分∠EAC；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 若a+b=2，a－b=3，则a2－b2=__________． 12. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件：____________． 13. 生活中处处有数学，起重机的底座、自行车的支架都是采用三角形结构，从数学角度来说，是因为三角形具有______． 14. 小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 _____ 块． 15. 一个三角形的三边为3，6，，另一个三角形的三边为，3，7，若这两个三角形全等，则______． 16. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 三、解答题（本大题共8个小题，第17题16分，第18、19每题6分，第20、21、22题每题8分，第23、24每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知的三个顶点的坐标分别是． （1）画出与关于轴对称的，并写出点和点的坐标； （2）求的面积． 20. 若已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 21. 如图，在中，，点，分别在边，上，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，． （1）求证：； （2）求的长． 23. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“麓山数”，即：若正整数（，为正整数，且），则称正整数为“麓山数”．例如：，，所以和都是“麓山数”． （1）根据定义，请写出最小的“麓山数”是______，两位数中最大的“麓山数”是______； （2）求证：除以外的所有正奇数都是“麓山数”； （3）将所有麓山数从小到大排列，请求出第个“麓山数”是多少． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，，连接，点，是线段上的动点（，两点不重合），且．连接，过点作交于点，交直线于点，连接，交于点． （1）求证：； （2）试猜想与的数量关系，并说明理由； （3）当时，连接，求面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $