精品解析：广东省广州市南武中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键． 3. 下列关于x的方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A、，故原方程无实数解，不符合题意； B、，故原方程无实数解，不符合题意； C、，故原方程无实数解，不符合题意； D、，故原方程有两个不相等的实数解，符合题意； 故选：D． 4. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程化为的形式即可得到答案． 【详解】解：原方程化为一般式为， ∴，，． 故选D． 5. 已知一元二次方程，配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握完全平方公式和配方法的步骤并正确配方是关键．根据配方法的步骤进行即可． 详解】解：， ∴， ∴， ∴ 故选： B． 6. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，利用交点求不等式的解集．先观察图象确定抛物线的图象与x轴的交点，然后根据时，所对应的自变量x的变化范围． 【详解】解：∵二次函数的图象如图所示． ∴图象与x轴交在，， ∴当时，即图象在x轴下方的部分，此时x的取值范围是：． 故选：A． 7. 如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的性质以及勾股定理，根据中心对称图形的性质可得，根据勾股定理可得的长，进而得到的长．解题的关键是掌握中心对称图形的性质：①成中心对称的两个图形全等；②成中心对称的两个图形，其对称点所连线段都经过对称中心且被对称中心平分；③成中心对称的两个图形，其对应线段平行（或在同一条直线上）且相等． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵如图是一个中心对称图形，为对称中心， ∴与关于点对称， ∴， ∴， 即长为． 故选：D． 8. 已知a、c互为相反数，则关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为5 【答案】A 【解析】 【分析】由一元二次方程根判别式即可得到答案． 【详解】解：关于的方程根的判别式为， ∵、互为相反数 ∴ ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查从根的判别式判断方程根的情况，熟练掌握相关知识是解题的关键． 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据当时，，当时，，即可判定①②；由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴的位置判断b的符号即可判断③④． 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴，故①错误； 当时，则， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下，于y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线对称轴在直线和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故③正确，④错误； ∴正确结论的序号为②③． 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于，连接，构造直角三角形，运用勾股定理求得的长，进一步求得线段的长度． 【详解】解：∵， ∴点P在点B的右侧．如图，过点作于，连接，则． ∵，， ∴． 设， ∵， ∴． 则，． 在中，根据勾股定理知，，即， 解得． ∴． 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形的变化---旋转，特别注意在旋转的过程中的对应线段相等，能够用一个未知数表示同一个直角三角形的未知边，根据勾股定理列方程求解． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 平面直角坐标内，点，与点关于原点对称，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】两点关于原点对称，则横坐标数值互为相反数，纵坐标数值互为相反数，代入计算即可． 【详解】解：由题意得 故答案为： 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题关键． 12. 已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是：熟练掌握元二次方程根与系数的关系． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为m，n， ∴， 故答案为：． 13. 如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用．把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值． 【详解】解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为12， ∴小球飞行的最大高度是． 故答案为：12． 14. 若，是方程的两个实数根，则________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，利用根与系数的关系得到 ，并由方程根的定义得到，代入化简求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入，求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解． 【详解】解：把，，代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点，待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，求出E、F点坐标是解题关键． 设，依题意得，可设，，用待定系数法求得，，从而求得，，则，把代入，得，再代入计算即可求解． 【详解】解：设，依题意得，可设，， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得：， ， 当时， ∵点E在y轴负半轴上， ， 设直线的解析式为， 把，代入，得 ，解得： ∴， 当时， ∵点F在y轴负半轴上， ∴， ， 把代入，得， ， ， ， ． 故答案为：2． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 18. 已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【详解】证明：， ∵， ∴，即， ∴不论取何值，方程必有两个不相等的实数根． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； （2）画出、使与关于y轴对称； （3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）否 【解析】 【分析】本题考查网格作图−中心对称和旋转变换、轴对称，熟练掌握中心对称、轴对称的定义和旋转的性质是解题的关键． （1）利用网格的特点和旋转变换的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （2）利用网格的特点和轴对称的性质画出点A、B、C的对称点，依次连接即可； （3）依次连接交于一点，可得，即可解答． 小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，依次连接，可得，故与不成中心对称． 20. 某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率． 【答案】2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10% 【解析】 【分析】设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据2020年到2022年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据题意，得 解得 （不合题意，舍去） 答：2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． （1）若时，求点A，B的坐标． （2）若，求m的值及抛物线的对称轴． 【答案】（1） （2），直线 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数与x轴的交点坐标，求二次函数的对称轴，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出函数值为0时x的值即可得到答案； （2）令函数值为0得到，则，，根据得到，则可得方程，解方程求出m的值，进而求出对称轴即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为， 在中，当时，， 解得或， ∴； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的对称轴为直线． 22. 2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： （1）求该抛物线的解析式． （2）当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为 【解析】 【分析】（1）设出抛物线解析式的顶点式，再把的坐标代入解析式求出即可； （2）分别把和代入（1）解析式求出对应的，再作差即可． 【小问1详解】 解：抛物线的解析式为， 把代入解析式得：， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知，抛物线的对称轴为直线， 当时，； 令，则， 解得或（舍去）， ， 他继续滑行的水平距离为时，可以使他距滑雪台的高度为． 【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式． 23. 解决下列问题： （1）已知满足，，求的值． （2）结合方程组相关知识，解决问题：已知和是关于的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程综合问题，涉及一元二次方程根与系数关系、一元二次方程解法等知识，熟记一元二次方程相关知识点并灵活运用是解决问题的关键． （1）由一元二次方程根与系数关系得到，再将代数式恒等变形为，代值求解即可得到答案； （2）根据题意，先将，再由消去得，，利用一元二次方程根与系数关系得到，，代入得，解一元二次方程，验证即可得到答案． 【小问1详解】 解：满足，， 是一元二次方程的两个实数根， 则， ； 【小问2详解】 解：存在，理由如下， ∵和是关于的方程组的两个不相等的实数解， 、， ∴，， ， 由消去得，， 则是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， 即， 则， 或， 解得或， 当时，一元二次方程为， 则，无实数解，舍去； 当时，一元二次方程为， 则，有两个不相等的实数解，符合题意； 综上所述，． 24. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）若，请你求出的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2），理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【小问1详解】 绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； 【小问2详解】 ，理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； 【小问3详解】 设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在， （3）存在，点的坐标为：或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到答案； （2）作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示，数形结合，利用待定系数法确定直线解析式，联立求解即可得到答案； （3）由题意表示出点，点，再由菱形的性质分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：把 代入得： 解得 ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：直线上方的抛物线上存在点，使， 理由如下： 作关于轴的对称点，连接，过点作交抛物线于，如图所示： ， ， ， ， ， ， 设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：，解得， 直线解析式为， 联立，解得或， ； 【小问3详解】 解：设直线解析式为， 将代入可得，解得， 直线解析式为， 设， 又，由勾股定理得，解得：或，故点， 设直线的表达式为， 将代入可得，则直线的表达式为， 由，可得直线的表达式为 ， 设直线的表达式为：， 抛物线的对称轴为：， 点，点，而点； 要使以为顶点的四边形是菱形，则为等腰三角形． ①若，由对称性得， 由，解得， 此时，故； ②若，则， 解得：或， 当时，，此时， 当时，，此时； ③若 ，则， 解得：或， 当时，，，此时， 当时，，四边形不存在，舍去； 综上，点的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定函数解析式、求函数图象的交点方法、勾股定理、菱形性质、二次函数与特殊平行四边形综合等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合题型解法是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期广州市南武教育集团联合练习题 九年级数学 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于x方程一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 4. 用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c值，下列选项正确的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知一元二次方程，配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 如图所示的是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a、c互为相反数，则关于x的方程根的情况（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 有一根为5 9. 已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（，0），点C的坐标为（0，6），将矩形OABC绕O按顺时针方向旋转α度得到OA′B′C′，此时直线、直线分别与直线 相交于点P、Q．当，且时，线段的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 在平面直角坐标内，点，与点关于原点对称，那么___________． 12. 已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则______． 13. 如图，以40的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系．小球飞行过程中能达到的最大高度为________m． 14. 若，是方程的两个实数根，则________． 15. 二次函数的图象过点，，，，其中m，n为常数，则的值为______． 16. 如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为，点为抛物线上，且位于轴下方，直线，与轴分别交于，两点，当点运动时，_________． 三、解答题（9小题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的方程．求证：不论取何实数，此方程都有两个不相等的实数根． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点（小正方形的顶点）上，每个小正方形的边长均为1个单位长度． （1）将浇点O逆时针旋转、画出旋转后得到的； （2）画出、使与关于y轴对称； （3）与是否成中心对称？（答出“是”或“否”即可） 20. 某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率． 21. 已知抛物线，与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）． （1）若时，求点A，B坐标． （2）若，求m的值及抛物线的对称轴． 22. 2022年，在全球疫情蔓延的情况下，北京成功举办冬奥会，为世界人民交上了一份满意的答卷．其中，滑雪运动备受人们青睐．下面是某滑雪训练场滑雪运动中的一张截图，某滑雪人员在空中留下了一道完美的曲线，经研究该曲线呈抛物线形状．某数学兴趣小组对此做出了如下研究：滑雪人员在距滑雪台（与水平地面平行）高的P处腾空滑出，在距P点水平距离为的地方到达最高处，此时距滑雪台的高度为．以滑雪台所在直线为x轴，过点P作x轴的垂线为y轴建立平面直角坐标系．完成以下问题： （1）求该抛物线的解析式． （2）当滑雪人员距滑雪台高度为，则他继续滑行的水平距离为多少米时，可以使他距滑雪台的高度为． 23. 解决下列问题： （1）已知满足，，求的值． （2）结合方程组的相关知识，解决问题：已知和是关于的方程组的两个不相等的实数解．问：是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 24. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）若，请你求出的度数． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线解析式； （2）如图2，连接，直线上方的抛物线上是否存在点，使，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图3，连接，将绕着点顺时针旋转，记旋转过程中的为，点的对应点为点，点的对应点为点．当点刚好落在线段上时，将沿着直线平移，在平移过程中，直线与抛物线对称轴交于点，与轴交于点，设点是平面内任意一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $