精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

山东省实验中学2025~2026学年第一学期期中 高二数学试题（选择性必修一检测） 2025.11 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5 2. 已知直线：与：平行，则m的值是（ ） A. B. 2或 C. 6 D. 或6 3. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 8. 已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的最短线段长为 D. 圆与圆有3条公共切线 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 11. 在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上运动时，恒有 B. 当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为 C. 若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为 D. 直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.） 12. 直线与圆交于两点，则________． 13. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为________． 14. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为_____. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 16. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 19. 已知正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； （3）在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学2025~2026学年第一学期期中 高二数学试题（选择性必修一检测） 2025.11 说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算及模长公式即可求解. 【详解】， 所以， 故选：C 2. 已知直线：与：平行，则m的值是（ ） A. B. 2或 C. 6 D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】利用两直线平行列方程，再求解并验证得解. 【详解】由直线，得,解得或， 当时，直线：与直线：平行， 当时，直线：与直线：平行， 所以m的值是或6. 故选：D 3. 已知曲线，设，曲线是焦点在坐标轴上的椭圆，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程表示焦点在坐标轴上的椭圆求出的取值范围，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可． 【详解】因为是焦点在坐标轴上的椭圆， 所以，解得：且， 所以“”是“曲线是焦点在坐标轴上的椭圆”的必要不充分条件． 故选：B． 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 5. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解. 【详解】因为实数满足，所以点在圆上， 圆心，半径. 设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点. 如下图所示： 所以圆心到直线的距离，即，解得， 则的取值范围为. 故选：A 6. 已知正方体的棱长为，点为体对角线的中点，点为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题转化为求点到平面的距离，利用等体积法，结合三棱锥体积公式可构造方程求得点到平面的距离，由此可求得结果. 【详解】 为中点，点到平面的距离为点到平面距离的一半； ，，， ， ， ，， 设点到平面的距离为， ，，即，解得：， 点到平面的距离为. 故选：B. 7. 已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用相关点法求出PA的中点的轨迹方程，由题意，圆与圆有公共点，利用两圆位置关系的判断方法即可求得参数a的范围. 【详解】设A的坐标为，PA的中点坐标为， 则有：， 由①，②可得， 代入③ ，可得， 即， 又线段PA中点也在圆O上，即两圆有公共点， 所以， 解得，即. 故选：A. 8. 已知A，B，C，D是椭圆上四个不同的点，且是线段的交点，且，若，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线、类似点差法建立等量关系式，由直线垂直斜率的关系求出直线l的斜率. 【详解】设，而， 因为，故， 即， 所以，则， 又都在椭圆上， 故①，且， 即②， ①②两式相减并化简得：， 即③， 同理可得：④， ④－③得：， 所以， 因为，所以直线l的斜率为. 故选：D 【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷. 二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.） 9. 已知直线与圆，下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 直线与圆恒相交 C. 直线被圆截得的最短线段长为 D. 圆与圆有3条公共切线 【答案】BC 【解析】 【分析】通过分析直线过定点、定点与圆的位置、弦长最值、两圆位置关系来判断各选项. 【详解】对于选项A，在直线中，令，得， 即直线过定点，故A错误. 对于选项B，圆整理为，圆心，半径. 定点到圆心的距离为，小于半径，故直线与圆恒相交，B正确. 对于选项C，当直线与定点和圆心的连线垂直时，弦长最短. 由勾股定理，最短弦长为，C正确. 对于选项D，圆圆心，半径. 两圆圆心距为， 因介于与之间，两圆相交，公共切线有条，D错误. 故选：BC 10. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，则（ ） A. 的最大值为2 B. 椭圆的离心率为 C. 椭圆上存在点，使得 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义，得到，结合基本不等式，可判定A正确；利用离心率的定义，可判定B错误；取椭圆的上顶点，利用向量的数量积的坐标计算公式，可判定C正确；设，求得，结合二次函数的性质，可判定D正确. 【详解】由椭圆，可得，则， 对于A，点是椭圆上一点，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，所以A正确； 对于B，由椭圆离心率的定义，可得，所以B不正确； 对于C，取椭圆的上顶点，且， 可得，则， 所以椭圆存在点，使得，所以C正确； 对于D中，由椭圆，可得，且， 设，其中，则， 所以 ， 当时，取得最小值，最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 11. 在棱长为的正方体中，点在侧面所在平面内运动，为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 当在线段上运动时，恒有 B. 当为正方形的中心时，与所成角的正弦值为 C. 若点满足，则平面截正方体所得的截面面积为 D. 直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断即可. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 对于A选项，如下图所示： 则、、、、， 设，其中，则， 所以，， 所以，故，A对； 对于B选项，当为正方形的中心时，则、， ，， 所以， 故， 故当为正方形的中心时，直线、所成角的正弦值为，B错； 对于C选项，如下图所示： 设平面交棱于点， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 故平面截正方体所得截面为梯形， 又因为，结合等角定理可得， 因为，故为等腰直角三角形，故， 易知点，，， 所以点到直线的距离为， 所以截面面积为，C对； 对于D选项，设点，，， 易知平面的一个法向量为， 由题意可得，即， 即，化简得， 故当直线和与平面所成的角相等时，动点的轨迹为圆，D对. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.） 12. 直线与圆交于两点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先将圆的方程化成标准方程，求出圆心，半径，再根据点到直线的距离公式以及弦长公式即可求出． 【详解】［方法一］：【通性通法】【最优解】弦长公式的应用 根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是， 弦心距，所以． 故答案为：. ［方法二］：距离公式的应用 由解得：或，不妨设， 所以． 故答案为：. ［方法三］：参数方程的应用 直线的参数方程为，将其代入，可得，化简得，从而，所以． 故答案为：. 【整体点评】方法一：利用圆的弦长公式直接求解，是本题的通性通法，也是最优解； 方法二：直接求出弦的端点坐标，再根据两点间的距离公式求出，是求解一般弦长的通性通法，有时计算偏麻烦； 方法三：直线参数方程中弦长公式的应用． 13. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点，在轴上，离心率为，过的直线交于，两点，且的周长为16，则椭圆的方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长公式、离心率公式以及椭圆中、、的关系来求解椭圆方程. 【详解】已知的周长为，可得. 因为离心率，可得. 根据椭圆中. 可得椭圆的方程为. 故答案为：. 14. 如图，在直三棱柱中，，，点是线段上一点，则四面体的外接球半径的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，设出球心坐标，利用两点间距离公式列方程求出球半径范围. 【详解】在直三棱柱中，，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，四面体的外接球球心，半径， 由，得， 因此， 整理得，则， ，解得， 所以四面体的外接球半径的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知点和圆：. （1）求经过点的圆的切线方程； （2）若是圆上一动点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）验证斜率不存在时是否符合题意，斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）设，则，根据是圆上一动点，可得直线与圆有公共点，根据圆心到直线的距离小于等于半径列不等式求解即可 【小问1详解】 圆的方程可化为，圆心，半径. 过点且斜率不存在的直线与圆相切， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，切线方程为， 所求切线方程为或. 【小问2详解】 设，则， 即， 因为是圆上一动点， 所以与有公共点， 所以，解得， 的取值范围 16. 已知，，，，，求： （1）的值； （2）与夹角的余弦值. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量平行及垂直的坐标表示即可求解； （2）由向量夹角的坐标公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 解得，， 所以， 又，则，即，得， 于是，则. 【小问2详解】 由（1）得， 设与的夹角为，所以， 所以与夹角的余弦值为. 17. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆相交于两个不同的点，且满足，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）假设圆心坐标和半径，可得圆方程为，结合圆上的点，直线与圆相切可构造方程组求得的值，进而得到圆标准方程； （2）将直线方程与圆的方程联立，由可得的一个范围及韦达定理的结论，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可构造不等式求得的范围，进而确定最终结果. 【小问1详解】 解：由题意可设圆的圆心，半径为， 则圆的方程为：， 圆过点，， 又圆与直线相切，， 由得：， 圆的标准方程为：. 【小问2详解】 解：设，. 由得：， ，解得：； ，， ，， ， ，解得：； 综上所述：实数的取值范围为. 18. 已知椭圆过点，且离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）设，直线l与椭圆C交于两点，且，当（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于的方程组，解出即可得方程； （2）分和进行讨论，当时，可设直线的方程为即，联立直线与椭圆方程可得一元二次方程，算出，算出到直线的距离和弦长，利用面积公式即可 【小问1详解】 因为椭圆过点，且离心率为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 显然，直线的斜率存在， ①当时，可设直线的方程为由可设， 则，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时直线的方程为； ②当时，可设直线的方程为即，， 联立，消去整理得， 由，得（*）， 则有， 于是可得的中点为即， 因为，所以，化简得，结合（*）可得解得， 又到直线的距离为 所以， 即， 所以，当时，取最大值， 此时由可得，直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知正方体的棱长为1． （1）证明：平面； （2）已知点为平面内一动点，且与所成角为，求线段所形成的曲面面积S； （3）在棱上分别取点（均不与端点重合），二面角，分别记为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 则 所以， ， 因为在平面内相交于点A， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以D为原点，分别以DA、DC、所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，空间向量垂直的坐标公式,然后利用线面垂直的判定即可得证； （2）首先得线段所形成的曲面是圆锥的侧面，求出半径和母线长即可得； （3）利用向量法求出二面角的余弦，然后利用均值不等式求出最值即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面中，连接交于点， 由（1）知平面， 因为 是正三角形，边长为，由， 即， 点为平面内一动点，且与所成角为，则， 所以点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 线段所形成的曲面是圆锥的侧面，曲面面积； 【小问3详解】 设， 平面DFG的法向量为，平面的法向量为，平面的法向量为， 设平面EFG的法向量为， 则， 所以，令，， 所以， 所以， ，， = ， ， ， ， ，当且仅当，即时取等号， 又， ， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $