精品解析：吉林省第二实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

吉林省第二实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证导填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答．在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示．共中凝固点最低的物质是（ ） 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：℃） 1535 0 A. 铁 B. 酒精 C. 液态氧 D. 水 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了有理数大小比较的应用，通过比较各物质的凝固点温度，找出最小值即可． 【详解】解：∵， ∴凝固点最低的物质是液态氧， 故选：C． 2. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法表示较大的数．根据题意，小行星与地球的最近距离为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离已知为，直接计算两者的乘积并用科学记数法表示即可． 【详解】解：月球远地点距离为，小行星的距离是该值的45倍，即： ． 故选：C 3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 【答案】D 【解析】 【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“红”字相对的面上的汉字是“化”． 故选：D． 【点睛】本题考查了正方体的展开图形，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，利用同底数幂除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意， B、，故此选项不符合题意， C、，故此选项不符合题意， D、，故此选项符合题意， 故选：D． 5. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，根据题意可得，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为， ∴， 故选：A． 6. 如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了圆周角定理，根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧．交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧．两弧相交于点．作射线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解题的关键．由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得，，由题意可知，平分，推出，，即可求解． 【详解】解：，， ， ， 由题意可知，平分， ， ， ，， ，， ， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征和全等三角形的判定与性质的综合运用，解一元二次方程，矩形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键； 过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N， 由等腰三角形的判定与性质得出，证出由证明，得出，，即可得出B点坐标，代入反比例函数，得到一元二次方程，解方程求解即可． 【详解】解：过A作轴于M，过B作轴于D，直线与交于点N，如图所示： 则， ∴四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， 把代入反比例函数的解析式得， ， 双曲线图象在第二象限， ， ，， ，，， ， ，， ， ， 双曲线经过B，则, ， 解得：（舍），， 故选D． 二、填空题（共6小题） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件以及解一元一次不等式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数要为非负数”得到不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 分解因式：_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取7，再利用平方差公式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确使用三角函数是解题的关键． 在中，由即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴在中，， 故答案为：． 12. 若，则__________0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变． 【详解】解：由，两边同时乘以3，得，即． 故答案为：． 13. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数，一元二次方程根的判别式的运用个，理解函数的平移，二次函数交点的含义是关键． 根据题意可得直线的解析式为，联立方程得，，整理得，，根据根的判别式得到，由二次函数与轴的交点可得当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即，由此即可求解． 【详解】解：线段，点和点的坐标分别为，， ∴直线的解析式为， 将线段向下平移个单位长度后得到的解析式为， ∵平移后与抛物线有两个交点， ∴联立方程得，，整理得，， ∴， 解得，， 在二次函数中，令，则， ∴当线段平移到二次函数与轴交点处仍有两个交点，即， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有__________．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】利用证明，可判断①正确；证明，得出，可判断②正确；根据，得出，根据四边形是矩形，，得出，，证明，根据相似三角形的性质列出方程求出，即可判断③；在上截取，连接．由（1）可知：，证明，得出．证明，得出为等腰直角三角形．从而得出，即可判断④． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ∵， ∴，故①正确； ∵四边形是矩形，， ∴， ， ， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ，， ， ， ， 解得：，故③错误； 在上截取，连接． 由（1）可知：， 又 ∵， ∴， ∴． 又 ∵， ∴，即：， ∴为等腰直角三角形． ∴，④正确； 综上，①②④正确． 故答案为：①②④． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 三、解答题（共10个小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质；连接，由切线的性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 相切于点， ， ， ， ， ． 17. 列方程或方程组解应用题 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，进一步求出长方形的面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，由题意和图可知： ，解得：， ∴每个小长方形的面积为． 18. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形； （2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：，， ， 四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求完成作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定格点，连结，使得； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使得； （3）在图③中作点关于直线的对称点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据网格特点作出图形即可； （2）取格点、，连接交于，则是等腰直角三角形，，然后根据平行线的性质即可得出． （3）取格点，连接，根据和分别和网格的对角线，可判断，取格点、，连接交于，根据结合平行线分线段成比例即可判断； 【小问1详解】 解：如图①，点、即为所求． 【小问2详解】 解：如图②，点即为所求． 【小问3详解】 解：如图③，点即为所求． 20. 通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株 B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株 D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 【答案】【调查与收集】B 【整理与描述】（1）；（2）见详解 【分析与应用】（3）见详解；（4） 【解析】 【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键． 【调查与收集】利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断； 【整理与描述】（1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率； （2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图； 【分析与应用】（3）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可； （4）根据样本估计总体，列式计算即可． 【详解】解：【调查与收集】为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，所以应该随机抽取株作为样本． 故选：B； 【整理与描述】（1）甲样本中组的频率是：， 故答案为：； （2）乙样本的总频数为， 组的频数为：， 补全乙样本的频数分布直方图如图所示， 【分析与应用】（3）甲样本各组中间值分别为：，，，，， ， 乙样本共个数据，中位数为第、个数据的平均值， 前两组频数的和为：，前三组频数的和为：， 第、个数据在组， 故乙样本中位数出现的组别在组， 填表如下： （4）甲样本中组的频数为，甲种葡萄树种植了株， 估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为：（株）． 答：估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数为株． 21. 甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______． （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米． 【答案】（1）；；（2）（3）货车出发小时或小时后两车相距千米 【解析】 【分析】（1）观察图象即可解决问题； （2）分别求出得、、的坐标，运用待定系数法解得即可； （3）根据题意列方程解答即可． 【详解】解：（1）车的速度是千米/小时；轿车的速度是：千米/小时；． 故答案为；；； （2）由题意可知：，，， 设直线的解析式为， ， 当时，， 设直线的解析式为， 把，代入得： ，解得， ， ； （3）设货车出发小时后两车相距千米，根据题意得： 或， 解得或． 答：货车出发小时或小时后两车相距千米． 【点睛】本题主要考查根据图象的信息来解答问题，关键在于函数的解析式的解答，这是这类题的一个难度，必须分段研究. 22. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可； （2）将绕点逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，得，设正方形边长为，则，在中由勾股定理可得，代入求解即可获得答案； （3）将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案． 【详解】解：（1）将绕点逆时针旋转得， ， ∴为等腰直角三角形， ． 故答案为：； （2）将绕点逆时针旋转得，如图， 由旋转的性质可得， ， ∴共线， ∵， ， ， ， ， ， ， 设正方形边长为，则， 在中，， 即， 解得：或（负值舍去）， ∴正方形的边长为； （3）如图，将绕逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质可得， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，旋转的性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解． 23. 如图①，在中，，动点从点出发，沿的线路以每秒1个单位长度匀速向终点运动，当点不与的顶点重合时，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结．设点的运动时间是(s)，解答下列问题： （1）__________，__________． （2）当的面积是的面积的8倍时，求t的值． （3）当点在边上时，如图②，作于点．求证：． （4）当点到的距离等于点到的距离时，直接写出的值． 【答案】（1），6 （2） （3）见详解 （4）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质和勾股定理即可求解； （2）根据（1）先求出，根据的面积是的面积的8倍，求出，分为两种情况：①当动点在上时，如图：过点作，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，根据题意可得，求出，表示出，列出方程求解即可．②当动点在上时，如图：过点作，同理求出，用表示出，列出方程求解即可． （2）根据旋转可得，根据题意可得，得出，即可证明． （4）根据点到的距离等于点到的距离，得出点在的角平分线上，分为①当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，四边形是矩形，得出，根据题意可得，根据旋转可得，得是等边三角形，点E在边上，则，求出，，表示出，列出方程即可解答．②当动点在上时，如图：作的角平分线，过点作，则，，根据旋转可得，证明是等边三角形，得出，证明．得出，再证明．得出，再根据，列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，， ∴， ∴， 故答案为：，6． 【小问2详解】 解：根据（1）可得， ∴， ①当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 根据题意可得， ∴， ∴， ∴， 解得：（负值已舍去）． ②当动点在上时，如图： 过点作， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴，， 根据题意可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 该方程无解． 综上，当的面积是的面积的8倍时，． 【小问3详解】 证明：根据旋转可得， 根据题意可得， ∴， 在和中 ， ∴． 【小问4详解】 解：∵点到的距离等于点到的距离， ∴点在的角平分线上， 当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则，四边形是矩形， ∴， 根据题意可得， 根据旋转可得， ∴是等边三角形，点E在边上， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：． ②当动点在上时，如图：作的角平分线， 过点作， 则， ∴， 根据旋转可得， ∴是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴． ∴， 根据题意可得， ∴， 解得：． 综上，当点到的距离等于点到的距离时，或． 【点睛】该题考查了全等三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，解直角三角形，勾股定理，解一元二次方程，等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，运用分类讨论思想解答． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线过点，点A、B是此抛物线上不重合的两个动点，其横坐标分别为、．点的横坐标为，且点的纵坐标与点的纵坐标相等．以、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）作直线，求证：直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变． （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当时，设的边与直线的两个交点分别为E、F．当的边与此抛物线有交点时（的顶点除外），设交点为．连结、，当的面积是面积的时，直接写出此时的值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或或 （4）或 【解析】 【分析】（1）代入到，求出的值即可解答； （2）利用二次函数的性质求出，，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点，则有，，再通过计算说明是定值即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质求出，进而推出是菱形，再结合二次函数的增减性找出临界点，结合题意即可得到的取值范围； （4）分2种情况讨论：①点在边上；②点在边上，根据面积公式得到，再利用待定系数法求出直线和的表达式，结合一次函数的性质列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：代入到，得， 解得， ∴该抛物线对应的函数表达式为； 【小问2详解】 证明：代入，则， 代入，则， ∴，， 过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，直线与交于点， 则，， ∴，， ∴， ∴的大小不变， ∵轴， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小等于的大小， ∴直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变． 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 由题意得，，，， 设点的坐标为， ∵， ∴，即， 解得， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴点与点关于直线对称， 当点与点重合时，点恰好在抛物线上，此时， 解得； 当点与点重合时，此时， 解得； 当点与点重合时，此时； 当线段经过点时， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， 代入得，， 解得（舍去），； ∵抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小， ∴的取值范围为或或； 【小问4详解】 解：①当点在边上时， 如图，连接、， 由（3）得，是菱形，直线的表达式为， ∴， ∴点到的距离为， 由菱形的对称性得，， 由（3）得，，，，， ∴，， ∴， 设点到直线的距离为， ∵的面积是菱形面积的， ∴， ∴， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴设直线的表达式为， 代入得，， 解得， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ②当点在边上时， 同理可得，， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为， ∵点在直线上， ∴， 解得，（舍去）； ∴综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、求角的正切值、平行四边形的性质、菱形的性质与判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键．本题属于二次函数综合题，综合要求较高，适合有能力解决压轴题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省第二实验学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证导填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答．在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（共8小题） 1. 在标准大气压下，四种物质的凝固点如表所示．共中凝固点最低的物质是（ ） 物质 铁 酒精 液态氧 水 凝固点（单位：℃） 1535 0 A. 铁 B. 酒精 C. 液态氧 D. 水 2. 2025年5月29日，行星探测工程天问二号探测器在西昌卫星发射中心成功发射，开启对近地小行星2016HO3的探测与采样返回之旅．已知该小行星与地球的最近距离约为月球远地点距离的45倍，月球远地点距离约为，则该小行星与地球的最近距离约为（ ） A. B. C. D. 3. 某同学学习了正方体的表面展开图后，在如图所示的正方体的表面展开图上写下了“传承红色文化”六个字，还原成正方体后，“红”的对面是（ ） A. 传 B. 承 C. 文 D. 化 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日长春市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，为的弦，连接，，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧．交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长度为半径作弧．两弧相交于点．作射线交于点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A、点B都在双曲线上，且点A在点B的右侧，点A的横坐标为，，则k的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_______． 10. 分解因式：_______． 11. 如图，为了测量树的高度，在水平地面上取一点，在处测得，，则树的高约为___________（结果精确到．参考数据：，）． 12. 若，则__________0．（填“”、“”或“”）． 13. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，，将线段向下平移个单位长度后与抛物线有两个交点，则的取值范围是______． 14. 如图，已知四边形是矩形，点在的延长线上，与相交于点，与相交于点，且，则下列结论正确的有__________．（把正确的结论序号填在横线上） ①；②；③如果，则；④． 三、解答题（共10个小题） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，是的弦，与相切于点．圆心在线段上．已知，求的大小． 17. 列方程或方程组解应用题 现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图2时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积． 18. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）若的面积等于2，求的面积． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C均在格点上，仅用无刻度的直尺按要求完成作图，保留作图痕迹． （1）在图①中确定格点，连结，使得； （2）在图②中的线段上找一点，连结，使得； （3）在图③中作点关于直线的对称点． 20. 通化葡萄酒品质优良，深受消费者青睐，为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查． 【调查与收集】甲、乙两种葡萄树各种植了株，计划从中各抽取株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是__________． A．依次抽取株 B．随机抽取株 C．在长势较好的葡萄树中随机抽取株 D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取株 【整理与描述】同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：），将所得数据整理描述如下： 甲样本的频数分布表 频数 根据以上信息，解答问题： （1）甲样本中组的频率是_________； （2）补全乙样本的频数分布直方图。 【分析与应用】 （3）填表： 样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差 甲 乙 （计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为） （4）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数． 21. 甲、乙两地间的直线公路长为千米．一辆轿车和一辆货车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发小时，途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶．小时后轿车故障被排除，此时接到通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）．最后两车同时到达甲地，已知两车距各自出发地的距离（千米）与轿车所用的时间（小时）的关系如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）货车的速度是_______千米/小时；轿车的速度是_______千米/小时；值为_______． （2）求轿车距其出发地的距离（千米）与所用时间（小时）之间的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）请直接写出货车出发多长时间两车相距千米． 22. 几何探究是培养几何直观、推理能力和创新意识的重要途径．解决几何探究问题，往往需要运用从特殊到一般、类比等数学思想方法． 【初步探究】如图1，将绕点逆时针旋转得到，连接，，则的度数为__________； 【类比探究】如图2，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，．求正方形的边长； 【拓展延伸】如图3，在四边形中，为对角线，且满足，若，直接写出的长． 23. 如图①，在中，，动点从点出发，沿的线路以每秒1个单位长度匀速向终点运动，当点不与的顶点重合时，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结．设点的运动时间是(s)，解答下列问题： （1）__________，__________． （2）当的面积是的面积的8倍时，求t的值． （3）当点在边上时，如图②，作于点．求证：． （4）当点到的距离等于点到的距离时，直接写出的值． 24. 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线过点，点A、B是此抛物线上不重合的两个动点，其横坐标分别为、．点的横坐标为，且点的纵坐标与点的纵坐标相等．以、为邻边构造． （1）求该抛物线对应的函数表达式． （2）作直线，求证：直线与横轴（轴）所夹锐角的大小不变． （3）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围． （4）当时，设的边与直线的两个交点分别为E、F．当的边与此抛物线有交点时（的顶点除外），设交点为．连结、，当的面积是面积的时，直接写出此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $