知识梳理-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

优+密卷知识梳理 九年级·数学·上册，Q 第1章图形的相似 方法3：利用镜子的反射 第2章解直角三角形 原理：如图所示，根据光的反射定律，容易得∠AED= 1.平行线分线段成比圆 1,特殊角的三角比 ∠BEC,又因为∠DAE=∠CBE=90',所以△ADE 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 推论，平行于三角形的一边，并且与其他两边相安的直线，所 △E,所以能-记可以得最A证，AD有能，所 角度 30 45 三角比 “截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例， 2相似三角形的判定 以BC=AD·BE 正弦(sin AE 判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似， 判定定理2：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似， 余弦cm】 12 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似， 3相似三角形的应用 正切{tan 方法1：利用阳光下的影子求物高 原理：如图所示，从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗 4.相似三角形的性属 2.解直角三角形 杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形，即 对应线段的比=相似比 相似三角形 (1)角之间的关系：∠A+=0 △EAD∽△ABC,由于直立于旗杆影子顶端处的同学 面积的比=相似比的平方 的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，再根 5,位似图形的性质 (2)边之间的关系：a+2 后记可科以C品D代人测量数据即可求 EA (1)》是相似图形 (3)角与边之同的关系：nA-兰，%：冬m:云 出旗杆BC的高度， (2)对应点所在的直线交于一点 3.解直角三角形的应用 (3)对应边互相平行《或共线) (1)仰角与馆角 视线 (4)任意一对材应点到位似中心的距离等于相赋比 E 注意：由相似三角形性颜可以得出：物高与影长成正比。 水平线 6,位似围形的画法 方法2：利用标杆 视线 原理：如图所示，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛给好在一条 1)确定位似中，心 直线上时，因为人所在直线AD与标杆，旗杆都平行，过 (2)坡度（坡比） 眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于点G,交 2找关键点 依据位似比相似比)的值两出关键点图形 标杆EF于点H,于是得到△DHF△DGC, 的顶点成拐点)的对应点 因为可以量得AE,AB,观测者身高AD,标杆长EF, 且DH=AE,G=AB,由是-B兴得cC= 3阔图彩 (3)方位角 FH:DC,所以旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD. 7,图形的位似变换与坐标壶化 DH 如果多边形有一个顶点在坐标原点，有一条边在轴上，那 7 么将这个多边形的顶点坐标分别扩大（或缩小）相同的倍数， 所得到的图形与原图形是位似图形，坐标原点是它们的位似 中心 优计密卷知识梳理 (4)解决与直角三角形有关的实际问题的思路： 转化解直角角形同 扇形面积S=”矿 注意：当b一4ac=0时，必须把原方程的根写成x,=x1 有关实际何圈 ,正多边形与圆 之的形式，这样才能说明方程有两个根，面不是只有 正#边形的边长为a。,半径为r.,边心距为d 个根 问题答案 求出有关的边和角 -d+ (4)因式分解法： 一般步骤： 第3章对圆的进一步认识 第4章一元二次方程○ 1将方程的右边化为零 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧， 1.一元二次方程的一股形式 2,、弦、圆心角之的关系 ar2+br+e=0(a≠0) 2将方程的左边分第为两个一次因式的积 2.一元二次方程的解法 (1)定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条孤、两条弦 (1)直接开平方法： 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等， 一般步骤： 3令每个因式分别为零.得到两个一元一次方型 (2)圆心角的度数与它所对弧的度数相等。 :确定圆的条件 ①将方程化为-ua或a+护-≠0，c0的形式 ①解这两个元一次方程。它们的解就是原方程的解 不在同一直线上的三个点确定一个圆。 ,圆周角定理及推论 3.一元二次方程的求根公式 定理：圆周角等于它所对孤上的圆心角的一半 ②两边开方，附=±石或=-生E x=-b±D=aC(62-ac≥0) 推论1：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半. 2a 推论2：同弧或等孤上的圆周角相等：在同圆域等圆中 (2)配方法1 4.一元二次方程根的判别式 相等的圆周角所对的弧相等。 一般步骤： 40有两个不相等的实根 推论3：直径所对的侧周角是直角：90的圆周角所对的 将方化成一般形式并把次项系数化减 △一0有两个相等的实很 弦是直径 方型两边都除以二次项系数 △<0没有实根零 推论4：圆内接四边形的对角互补 5.一元二次方程根与系数的关系 $,直线与圆的位置关系 2移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项 如果一元二次方程r2+十bx十c=0的两个根是x1·:,那么 设⊙)的半径为r,圆心O到直线1的距离为d. 直线1和⊙0相交-→ 3配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方 直线（和⊙）相切一1= 6.列一元二次方程解应用逼的一般步 直线1和⊙0相离→1> ④原方程变为+的形式 A切些写打线长 (1)审一审道，要明确己知量和未知量及问圈中的等量关系 (1)切线的判定定理：过半径的外端并且垂直于半径的直线是 5如果方程右边是非负数，就可以用直接开平方法求方程 圆的切线 的解：如果方程右边是负数，说明原方程无实数根 (2)设一设出未知数，有直接设法和间接设法两种方法 (2》切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 (3)公式法： (3》切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 (3)列 一般步骤： 费曲大整装背提全部合又的一个相等天系 7,三角形的外接圆与内切圆 (1)外接圆的圆心是三角形的外心，即三角形的三条边的垂直 (把一元二次方程化为一般形式 (4)解一求出所列方程的酮 平分线的交点： (2)内切圆的圆心是三角形的内心，即三角形的三条角平分线 《5)验 检验方程的解是香正确，是杏符合实际意义 2确定年，6，的值 的交点. (6)答 写出正确答案 器，与面有关的公式 ③求出积4ac的值 圆的周长：C一2 州的面积：S=哥 长1- ④如果2-4a≥0，则把a,6,的植代入求根公式 求出，和，的值：如果一4c0,则方程无解