期末综合能力检测卷(三)-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

.(3x-2)2-(2x-1)2=0, 则甲船从C处迪赶上乙船的时问是60÷15一2=2（小时）. [(3x-2)+(2x-1)][(3x-2)-(2x-10]=0, (2)由(1)知，∠B=30°，AB=60千米. 23.解：任务一 5m-3=0成x-1=0. BD-AB·cos30°-303千米， 冬至14 任务二 .BC-CD十BD=(30+303)千米. 水面 水流方向 如图所示，过点E作EF⊥AB于点F,则∠AFE=90°， 18.解：制步运用 故甲船追赶乙船的速度是(30+30,3)+2一(15+15√3) EF=54米，BF=DE, (1)证明：△AQPn△BCP,∠AQP=∠ACB. (千米/时). CA=CB,∠C=30',∴∠ABC=75 又∠A=∠A,∴.△APQn△ABC. 20解：(4)x十三 (2):△AQP∽△BCP,∠CBP-∠A 图路(+z+)广-要=之 AG是⊙0的直径，，∠ABG-g0°， .∠CBG-15 又∠C∠C, (2)方程变形为：x(x十b)=c, :BCGH,∴∠BGH=∠CBG=15°， △BPCAABC,÷-e 根据赵爽的解法可构造方程为(.x十x十b)2=4c十b, b>0,e>0, AGM-45,0M-0c-x4-2gm 设CP-x,AP-BC-y .2x+b=±√c+6, ,简车在水面下的最大深度为4一2反≈1,2(m), AF 在R△AFE中，ana一EF, y(其中负值舍去)， 六x=宁(c+6-b会去负值. 23.解：(1)证明：C是BD的中点， 2 ∴，AF=EF·tan1454X0.25=13.5(米) :.CD-BC..∠EAC-∠BAC AB=11×3.3-36.3(米)， 原方程的一个正数解为x=之（√4十万-b). AB是⊙O的直径，∴，∠ACB-90 DE=BF=AB-AF=36.3-13,5=22.8(米) 拓腰提升 CE⊥AE,∴，∠AEC=90, 21.解：(1)(51-3x) 22.8÷3.3=7(层). 如图所示，过点B作∠CBP=∠A,使BP交AC于P:过 ∠AEC=∠ACB,∴.△ACEn△ABC (2)依题意，得(51-3x)x-210 答：乙楼中？层（含7层）以下不能安装该品牌太阳酸热 点P作∠APQ=∠BPC,使PQ交AB的延长线于Q, (2)证明：连接OC,如图所示. 水器 整理，得x3-17x+70=0 ,OA=OC,.∠OAC=∠OCA 解得1=7，x1=10, 由(1D知：∠EAC=∠BAC, 期末综合能力检测卷（三】 当x=7时，AB=51一3x=30>25,不符合题意，舍去 ∠EAC-∠OCA,∴.OC∥AE 1.A2.A3.A4.B5.D6.C7.D8.A 4 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合题意， CELAE,∴OC⊥CE 9.C10.C11.1(答案不唯一)12.5 △AQPn△BCPn△ACB, 答：橱栏BC的长为10米 :0C为⊙0的半径，∴CE是⊙0的切线， 13.60解折：点A(1,0),P(-1.0),OP-0A-1 (3)不可能，理由如下， (3)连接OD,过点O作OF⊥AD于点F,如图所示， ,AP=OP+OA=2.:⊙P过原点O, 依题意，得(51一3x)x=240, 则AF-FD-2AD, OP为⊙P的半径：AB⊙P的切线，∴PB⊥AB, 罗-是，18”-8 整理，得x一17x+80-0. 4=(-17)4X1×80=31<0, :AD=2CE,∴AF=CE PB-OP-1,在Rt△ABP中，BP-1,AP-2,inA 解得CP-8,AQ-15, PB 1 Ap-2·∠BAP-30,∠BPA-60,∴∠CPD- ”方程没有实数根， OF⊥AD,CE⊥AE,OC⊥CE. PQ=PA=AC-CP=18-8=10.BQ=AQ AB ,矩形周栏ABCD的面积不可能达到240平方米。 :四边形EFOC为矩形， 60°，文：PC=PD,六△CPD为等速三角形， 15-12-3. ∴OF=CE,OF=AF, 19.解：(1)如图所示，过A作 22,解：(1)证明：如图①所示，连接A0,并延长交⊙0于G,连 ∠PCD=60°，肿∠BCD的度数为60. 则△AFO为等最直角三角形 AD⊥BC于点D,作CG∥AE 接BG, 14215顶-116号 交AD于点G ∠FA0=45,AF=F0=号OA=1. 17.解：6整理，得红--是。 :乙船沿东北方向前进。 OA=OD,∠ODA=∠FAO-45 ∴∠HAB=45. .∠AOD=90 -1士受 ,∠CAH=80°， 水流方向 aao-20A0n-专×E×E-1. .∠CAB-60°+45°-105 =7=- CG∥EA,∴∠GCA-∠EAC-30 .∠ACB-∠AGB. S0n-90xX(2 360 (2)配方，得x2-2x十1=4十1， ∠FCD-75, :AG是⊙0的直径，.∠ABG=90 即(x-1)2-5,.x-1-士后， ∴，∠BCG=15°，∠BCA=15°+30°=45°， ”阴影部分的面积=S角4D一S△4D= ∠BAG+∠AGB-90. x1-1+5,1-1-5 ∴∠B=180°-∠BCA-∠CAB=30. (3)移明，得2x(x一3)+(x-3)-0, 在R△4CD中，∠ACD=45,AC-2×152-30W2(千米) AD-DCD,品船 因式分解，得(x一3)(2x十1)=0， ÷AD=AC·血45=30×=30(千米)， ,∠ADB=∠CDA.∴△DABn△DCA x-3=0或2x+1=0, ∠DAB=∠ACB,∴∠DAB=∠AGB, (CD=AC·cs45°-30千米， .∠DAB+∠BAG=90°，∴，AD⊥AO. 在Rt△ABD中，∠B=30, :OA是⊙O的举径，.AD为⊙O的切线 (4)(3x-2)2=4x2-4x+1, 则AB=2AD=60千米. (2)如图②所示，当水面到GH时，作OM⊥GH于M.。优密卷九年级上册数学·0 期末综合能力检测卷（三） 中回时间：120分钟道满分：120分 题号 二 三 总分 得分 第6题图 第7题图 7.应用意识如图所示，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B之间 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求） 的距离为20海里，渔船将险情报告给位于A处的救授船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠 1.(聊城临清二模)将方程3x一9x十2=0配方成(x十m)2=n的形式为( 近，同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行.20分钟后，救援船在海岛C处 Ak-引-8 Ba-3-号 恰好追上渔船，那么数援船航行的速度为() ca+3r-侣 nk+》- A.103海里/时 B.30海里/时 C.203海里/时 D.303海里/时 侧 2.关于x的一元二次方程x2一6x十m=0有两个不相等的实数根，则m的值可能是( ) 8.如图所示，已知⊙O的周长等于6π，则它的内接正六边形ABCDEF的面积是() A.8 B.9 C.10 D.11 3.几何直观如图所示，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm,弦AB与小圆相切于点C, 4.273 2 B273 C.9/ D.273 4 封 则AB的长为() A.8 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm 4.如图所示，把一个矩形划分成三个全等的小矩形，若要使每一个小矩形与原矩形相似，则原 矩形的长和宽之比为() 第8题图 第9题图 A.3t1 B.3:1 C.21 D.√2：1 9.空间观念如图所示，将半径为2cm的圆形纸片翻折，使得AB,BC恰好都经过圆心O,折 痕为AB,BC.则阴影部分的面积为( ) 线 子rem B.πcm2 的 C.cm! 5. D.em 第3题图 第4题图 第5题图 5.运算能力如图所示，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，AB=18cm,杯中水面 10.推理能力如图所示，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10,AC=CD=DB,点E是点D关 与CD的交点为E,当水杯底面BC与水平面的夹角为30时，杯中水的最大深度为( 于AB的对称点，M是AB上的一动点.下列结论：①∠BOE=60,②∠CED=2∠DOB: A.9 cm B.15 cm C.6,√3cm D.9√3cm ③DM⊥CE:④CM+DM的最小值是10.其中正确的结论有() 6.(泰州兴化期末)欧几里得的《几何原本》中记载了形如x2-2px十4q2=0(p>2q>0)的方 程根的图形解法：如图所示，画Rt△ABC,使∠ACB=90°，AC=2q,AB=力，以B为圆心 孙 BC为半径画圆，交射线AB于点D,E.则该方程较大的根是( A.CE的长度 B.CD的长度 C.AE的长度 D.DE的长度 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 49 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11,结论开放关于x的一元二次方程x2一4x十2a=0有实数根，则a的值可以是 17.(本小题满分8分)运算能力解下列方程： (写出一个即可). (1)4(x-1)2-9=0: 12.如图所示，PA,PB分别切⊙O于A,B,并与⊙O的切线分别相交于C,D,已知△PCD 的周长等于10cm,则PA= cm. (2)x2-2x=4: 13.如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0),P(一1,0)，⊙P过原点O,且与x轴交 于另一点D,AB为⊙P的切线，B为切点，BC是⊙P的直径，则∠BCD的度数 为 41 (3)2.x(x-3)=3-x 14.(青岛中考)如图所示，某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使 花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m, 16m 优汁密卷 2 花坛 15,空间观念如何求22,5°角的正切值，小明想了一个办法：把一张正方形纸片（正方形 (4)(3x-2)2=4x2-4x+1. ABCD)按如图所示的方式折叠，使顶点B恰好落在对角线AC上，折痕为EC.根据小明 的操作，通过计算可以得到tan22.5°=.（保留根号） 第15题图 第16题图 16.如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，F是AC的中点，过AC上一点D作DE∥AB,交 BF的延长线于点E,AG⊥BE,垂足是G,连接BD,AE.若AF=5,AB=8, 则FG= -50 18.(本小题满分10分)几何直观如图①所示，在△ABC中，点P在最长边AC上，点Q在 20,(本小题满分10分)（济南章丘区期末）【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方 射线AB上，连接BP,PQ,若△AQP∽△BCP,则称点P,Q为AC,AB边上一对“相 图注》中记载了一元二次方程的儿何解法，例如x+2x一35=0，可变形为x(x十2)=35. 似点” 如图①所示，构造一个长为x十2，宽为x,面积为35的矩形：如图②所示，将4个矩形构造 初步运用 成一个边长为(x十x+2)的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形.大正方形的 (1)如图①所示，在△ABC中，点P,Q为AC,AB边上一对“相似点”.求证： 面积可表示为(x十x十2)2，也可表示为4×35十22，由此可得新方程：(x十x十2)=144， △APQ∽△ABC. 易得这个方程的正数解为x=5.注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！ (2如图所示，在△ABC中，点P,Q为AC,AB边上一对*相似点”，若AP-BC,求架 (1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程2x2十3x一2=0，请将其解答过程补充完整： 的值. 第一步：将原方程变为x+ 2x-1=0,即x=1 拓展提升 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形：（在画图区画出示意图，标明各边长） 如图②所示，在等腰△ABC中，AB=BC=12,AC=18,在线段AC上找出一点P,在射线 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： :解得原方程的一个根为 AB找出一点Q,使点P,Q为AC,AB边上一对“相似点”.画出图形并求PQ和BQ (2)【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程x十bx=c(b>0,c>0)的正数 的长。 解（用含b,c的代数式表示）. +2 x+2 图区 19.(本小题满分10分)（菏泽邪城二摸）如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼， 尤汁密卷 甲船以15√2千米/时的速度沿北偏西60°方向前进，乙船以15千米/时的速度沿东北方向 21.(本小题满分12分)（菏泽牡丹区月考）如图所示，利用一面墙（墙长25米），用总长度 前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船加快速度（匀 49米的韧栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留两个1米的小门，设 速)沿北偏东75的方向追赶乙船，结果两船在B处相遇. 栅栏BC长为x米. (1)甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？ (1)AB=米（用含x的代数式表示）. (2)求甲船追赶乙船时的速度.（结果保留根号） (2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求栅栏BC的长， (3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值：若 不可能，则说明理由。 一51 22.(本小题满分10分)（临沂一模）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，车轮缚以竹 23.(本小题满分12分)（内江中考）如图所示，AB是⊙0的直径，C是BD的中点，过点C作 筒，旋转时低则屑水，高则泻水，如图所示，水力驱动筒车按逆时针方向转动，竹筒把水引 AD的垂线，垂足为点E. 至A处，水沿射线AD方向泻至水渠DE,水渠DE所在直线与水面PQ平行：设筒车为 (1)求证：△ACE∽△ABC ⊙O,⊙O与直线PQ交于P,Q两点，与直线DE交于B,C两点，恰有AD2=BD·CD, (2)求证：CE是⊙O的切线 连接AB,AC. (3)若AD=2CE,OA=2,求阴影部分的面积. (1)求证：AD为⊙O的切线 (2)简车的半径为4m,AC=BC,∠C=30°.当水面上升，A,O,Q三点恰好共线时，求筒 车在水面下的最大深度.（精确到0.1m,参考值：√2≈1.4,3≈1.7） 水产 流方问 C优计密卷 -52