易错专项训练卷(一) 相似三角形中的分类讨论与动态问题&易错专项训练卷(二)-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

在R△AOD中，根勾股定理，得AD+OD=OA2, .1,6AB=4247,5, 即12+(r一8)2=r2,解得r=13 .AB=的米 四当C即与C是对应边时，瓷-是 ∴5r=7·BC·AD=2×45X5=105. 答：该圆纸形拱桥所在圆的半径为13米 答：长安塔的高度AB是99米， (2)》,r-13m,CD-8m 易错专项训练卷（一）相似三角形中的 后-行解得红一 综上所述，△ABC的面积是153或103 2.解：(1)由题意，得DC⊥CF,EDCB, :.OD=OC-CD=5 m. 分类讨论与动态问题 综上所述，经过4秒或秒时，△PQC和△ABC相似 ,∠EDB=∠DBC=56 如图所示，构造矩形MEFN,连接OM,MN交OC于点H. 7.解：(1)2(5-t) 在Rt△DCB中，BC-28米， 当EF=MN=10m时， 1.D ∴，CD=BC·tan56e28X1.48=41.44w41(米)， :OC⊥AB,∴OC⊥MN 2 2.C解析：极据△B'FC与△ABC相似时的对应情况，有两 (2)①当△0PQn△OAB时，则O6-OA,即5- -10 ∴，无人机的飞行高度CD约为41米 :.MH-7MN-5 m. 种情况： t=2.5. (2)∠EDB=56°，∠EDA=25°， Ds△FAC,器-货 CF 当△0P0n△0BA时，8-8即号-号 ,∠ADB=∠EDB-∠EDA=31 根据勾股定理，得OH一√/OM-MH-12m: 由题意，得∠ABF-34", ∴.DH=OH-0D=12-5=7(m). 周为AB=AC=6,BC-8,BF-BF, -1 +∠DBA-180°-∠DBC-∠ABF=90° :7<7.5,,此货船不能颗利通过这座桥 .当1=1或t=2.5时，△POQ与△AOB相似. 在R1△DCB中，BC一28米， 6 8 专项训练卷（四）数学文化与跨学科 8.解：(1)当PQ∥BC时，AP:AB=AQ:AC, @ABCP△BCA时，-器 AP=4r em,AQ=(30-3x)cm+ BD-G8*6-50米. 1.A2.B3.D 图为AB=AC=6,BC=8,B'F=BF, 在Rt△ABD中，AB=BD·tn31"w50×0,60-30(米) 4.C解析：这一段斐流哪契炼被线的丝长为90xX】 货-00“，解得红一号 180 所以8二即鳄解得那-4 ∴滑行跑道AB的长度约为30米。 90x×2490m×3490x×5- 即当-9时，PQ/BC. 3.(15VF十1)解析：如图所示，是长CD交EF于点G 180 180 180 2 数B那的长度是华或 (2)能. 5.34,1 AP AQ 6.(8一22)解析：如国所杀，澄正方形的一边与⊙0的切 3.（-9-2)或(32》解折：y-了十1与轴y轴分别 ①当△APQn△CQB时，有 CQ BC 点为C,连OC,则OC⊥AC,:四边形是正方形，AB是对 交于A,B两点，令工=0，得y=1:令y=0,得x=-3 即-303，解得=9， 角线，∠0AC-45,.OA-2OC-22(丈)，.BN ,点A和点B的坐标分别为（一3,0），(0,1).，△BOC与 20 AB-0A-0N-10-22-2-(8-2W2)女. △BOC是以点A为位银中心的位似困形，卫相似比为 40 (cm) :.AP-4-9 1280-吕-名0g-2A06当点B @当AAn0n△c时有能-8器 QA 油题意，得DBAC=FG=1m,CG⊥EF,DC=AB 在第一象限时，B的坐标为(3,2)：当点B在第三象限时， B的坐标为（一9，一2），B的坐标为(-9，-2)成(3,2) 博芳-0，解得-5或工-一10（会去 30m,∠EDG=60°，∠ECG=30° :∠EDG是△EDC的一个外角， 4.4或9 .PA=4x-20(cm). ∠DEC=∠EDG-∠ECG=30' 7.解：(1)慧慧的猜想正确.理由如下： 5.解：在R1△ABC中，∠C=90 综上所述，当AP-智m或0m时，△AFPQ与△COB相 ,∠DEC=∠ECD=30°，.ED=CD=30m 连接OD,如图所示 AB=10,AC-6, 在R△BGD中，BG-ED·m60=30x-15原(m, .BC=√AB-AC 易错专项训练卷（二）解直角三角形中的 2 CD与⊙)相相切，，0力CD .∠C+∠DOC=90°，∠ODB+∠BDC=90 √10-6=8. 分类讨论与实际问题 ∴EF=EG+FG=(155+1)m OB=OD,∴.∠ODB=∠OBD 如图所示，当DE1⊥AB时 ,流建筑物的高是(15厚+1)m :AB为⊙O的直轻，∠ADB=90°， △ADE,c△ABC, 1,解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D. 4.解：如图所示，过点D作DH⊥BC于点H,设AE-xm ∴∠A+∠OBD=90°，∴∠A=∠BDC ①如图①所示，当AB,AC位于AD异侧时， 由圆周角定理，得∠DOC=2∠A, 在R△ABD中，∠B=30°，AB=10, .∠DOC=2∠BDC,.∠C+2∠BDC=90 DE,- 12 .AD-ABsin B-5,BD-ABcos B-53. 45 在R△ACD中，：AC=27 当DE:CB时，△ADE,△ACB,此时DE,-2BC-4 .CD-AC-AD-√2W7)-5-3, D 则BC=BD+CD=63, 斜坡BD的坡度i-1t3,∴，DHBH-1:3. 当DE,∥AB时，△CDE,△CAB,此时DE,-AB-5, (2)∠A=∠BDC,∠C=∠C, 在R1△BDH中，DH*+(3DH)3=400, ∴△CBD∽△CDA, 当∠CDE,=∠B时，△CDE,n△CBA ∴a-·BC·AD-×65X5-15 ∴DH=40W/10(m),则BH=120w/10(m). %贯肥品语 2 CD6 -需-…0,= 在R△ADE中，∠ADE=4S, .DE=AE-m. 解得CD-5米，AB-1米 棕上所运，满足条件的DE的值为号或4或5或 又：HC=ED,EC=DH,∴HC=xm,EC=40.16 m. 容，车轮的直径AB的长为1米 6.解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，则CP=AC 8.解：由光的反射定律得到：∠CPD=∠BPA, AP-(8-x)cm,CQ-=2x em, 在R△ABC中，an30°-AC-+0尽 2 BC120/10+x :DC,AB均垂直于CB, ②如图②所示，当AB,AC在AD的同侧时 解得x-40√30， ∴，∠DCP-∠ABP-90' ①当CP与CA是对应边时，-品 .△DCPO△ABP, 由①知，BD=55,CD=5, ∴.AC=AE+EC=(403+40/10)m. ∴DCAB=PC:PB 则BC=BD-CD=4月， 放山顶A到地面BC的高度AC是(40V3而+40√/10)m, 5.解：(1)如图所示，过点P作PD⊥AB于D点， ∴.BC-BD+CD-(3+,√5)km. AF∥BE,.S△ar=S△aw, ∠BDP=∠ADP=90 .DE/F.ADE△Mc-铝 ∴检雀点B和C之间的距离为(3十√)km 在Rt△PBD中，∠PBD=0°一45°=45°，BP=20海里， -言AB=15,AD=3BD=2 六图中阴影部分的面积为S一60·X4-8红 360 ∴Dp-Bp,血45-20×停-10v反海里. 期末综合能力检测卷（一】 22.解：(1)如图所示，延长EC交MN于点H,由题意，得四边 1.B2.C3.A4.B a器-铝专品是 形ABHN是矩形， =102（海里） 5.A解析：连接OP,OQ,作OP'⊥AB于P',如图所示， :四边形BFED是平行四边形， :PQ是⊙0的切战，∴OQ⊥PQ,∴，PQ=√OP-OQ= 在Rt△PAD中，∠PAD-90°-60°-30， DEBF,BD∥EF, a3010,2 OP-I,岁OP最小时，线段PQ .∠ADE=∠B=∠EFC,∠AED=∠C, AD=DP 106(海里)， 的长度最小，当OP⊥AB时，OP最 .△ADECO△EFC, 小，在Rt△AOB中，∠A-30°， 459 .AB=BD+AD=(102+106)海里， 2 =6, :△ADE的面积为3，.SAx=48. ,观测站A,B之间的距离为(102+10√6)海里 :△ADE△ABC, ∠MHE=∠BHN=90 ∠MEC=45.∴∠EMN=90°-∠MEC=45. 在Rt△AOP'中，∠A=30° (2),四边形ABHN是矩形，.HN=AB=1.5米 0P'-z0A=3 平行四边形BFED的而积=75一48-3=24， 设EH=x米，则BH=EH+BE=(x十3)米 在R△MHE中，MH-EH·tmn∠MEH=x米， ∴线段PQ长度的最小值为√3I-22 19,解：(1)设自行车车橱的垂直于墙的一边长为x米，测平行 在R△MHB中，MH-BH·tn∠MBHO,65(x十3》米， 于墙的一边长为(38-2x)米 6.C .0.65(x十3)=x,解得x5.6,∴.MH则5.8米 7.B解析：设x十y2=x,则原方程换元为x一2x一8=0， 根若题意，得x(38一2x)一180， ,MN=MH+HNe7米 (2》补给船能在83分钟之内到达C处， (x-40(+2)=0,解得1=4,4=-2，x+y2=4 整理，得x2一19x十90一0. 电池板离地面的高度MN的长约为7米 理由如下，过点B作BF⊥AC,垂足为F, 解得x:=10,x1-9. 或x2十y-2(不合题意，會去)，∴x2十y2=4 23.解：任务1：设该工作实验室从7月份到9月份生产零部件 ∠AFB=∠CFB=90 当x=10时，38-2x=18:当x=9时，38-2x=20. 8.A解析：加国所示，连楼OB 数量的平均增长率为x, 由题意，得∠ABC=90°+15°=105，∠PAD=90° OA,作OM⊥AB于点M,则 :可利用的境长是18米，则长为20米不符合题意，舍去。 根据题意，得500(1+x)2-720 60°=30°. .若围成的自行车车腰的面积为180平方米，则自行车 解得x1=0,2一20%，x1=一2.2（不符合题意，舍去）， ,∠C=180°-∠ABC-∠PAD=45 OM- 车棚的宽为10米，长为18米」 答：该工作实验室从7月份到9月份生产零部件数量的平 在R△ABF中，∠BAF=30°， (2)不能围成面积为200平方米的自行车车朝. BF-壹AB-5E+56)海里 ∠A0B-360 均增长率为20%. =80°，A0=OB 理由：假设能围成面积为200平方米的自行车车摄，则根 任务2：设该零都件的实际售价定为y元，易得当零部件 据题意，得x(38-2x)一200，整理，得=19x+100-0. 销售量为900时，y=40. 在R△BCF中，∠C=45, :B0=AB=A0,AM=号AB= 4=(-19)2-4×1X100=-39<0 当y>40时，每个零部件的销售利为(y一30)元，月销 “iC-BF-5E+56 .方程x(38一2x)=200无实数根 sin 45* =(10+105)海里 A0,0M=9A0=(信A0)'+(）A0=1, ,不能国成面积为200平扩米的自行车车橱。 量为800+02之×20-1300-10y个， 20.解：(1)证明：：AD-CD,∴AD-DC 根据题意，得(y一30)(1300-10y)-13500, :补给船从B到C处的款行时为10+10,5×60=30+ :B0-AB-A0-1.:S-AB XOM- 21 ,四边形ABCD内接于⊙O,,∠BAD+∠BCD=180, 整理，得y2一160y+5250=0, 20 ∠ECD+∠BCD=180',∴∠BAD=∠ECD. 解得y1=80一5√46，y,=80+5√46（不符合题意，舍 30√381.9（分钟）<83分钟， -:5四 60xX11 360 石心阴彩事分面积是 AD-DC. 去)： :补给船能在83分钟之内到达C处 在△ABD和△CED中，{∠BAD-∠ECD 当y≤40时，每个零部件的销售利为(y一30十5)元，月 销售量为(1300=10w)个， 6.解：(1)由题意，得∠NAC-0°，∠BAS-25 (信-9）x6-5 2 AB=CE, ,∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75° △ABD2△CED(SAS),∴BD=ED 根据题意，得(y-30+5)(1300-10y)一13500， c1a.c1.202012.13213.号 14.7 (2)10 整理得y2-155y+4600=0, :∠ABC=45',∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°， 21.解：(1)证明：如图所示，连接OF,AO 解得y=40,3y4=115(不符合题意，舍去) ∴.行进路线C和CA所在直线的夹角∠BCA的度数 15.12816.(4,60) 在正六边形ABCDEP中， 又：要尽可能让车企得到实惠，增加社会普及，y=40. 为60 17.解：(1)(x-3)一x+3-0 答：该零部件的实际售价应定为40元。 (2)过点A作AD⊥BC,垂足为D, AB=AF=EF, (x-3)2-(x-3》=0. 如图所示。 ∴AB-AF-EF 期末综合能力检测卷（二】 ∴，(x-3)[(x-3)-1]=0, 在R1△ABD中，AB=3√2km, x-3=0或x-4-0, ∠ABF-∠AFB=∠EBF=30 1.C2.B3.B4.D5.D6.C7.D8.D9.A ∠ABC=45, OB=OF. x1=3,x=4. 10.D11.202412.15x(10-x)-360 AD-AB·in45”-32X 2 .∠OBF=∠BFO=30°， (2):3x2=-2x+4, 13.35解析：如图所乐，缝接A0并 ∴.∠ABF=∠OFB,∴，ABOF 延长变⊙O于点D,连耧BD 3x2十2x-4-0, 3(km), :FG⊥BA,∴OF⊥FG,OF是⊙O的半径， :AD是⊙O的直径，.∠ABD 4-2-4×3×(-4)-52>0, BD-AB·c0s45°-32× .FG是⊙O的切线. 90°.∠ACB=60,∴∠ADB -3(km). At= -2士2 (2)AB=AF=EF,∠AOF=60 ∠ACB=60'.在Rt△ABD中 2×3 在R△ADC中，∠ACB-60°， AD-6cm.∴.AB=AD·sin60= OA=OF,∴，△AOF是等边三角形， AD CD-taB 60 后(km. “x,=1+ 3 x4=1g 3 ,:∠AF0=60,+∠AFG=30 6x号-3vem. 18.解：(1)：四边形BFED是平行四边形， FG=23,AF=4,A0=4.优密卷九年级上册数学·Q 易围点2不会表示涉及动点问题中的线段或考虑不全致错 易错专项训练卷（一）相似三角 6.如图所示，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C 形中的分类讨论与动态问题 以1厘米/秒的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2厘米/秒的速度运动」 如果P与Q同时出发，那么经过几秒△PQC和△ABC相似？ 锡语点1忽视分类讨论导致丢解 1.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在原点，边OA在x轴上，OC在 y轴上，如果△OA'B'与△OAB关于点O位似，且△OA'B'的面积等于△OAB面积的} 那么点B'的坐标为( A(层 (侵或-多 7.如图所示，在平面直角坐标系中，已知OA=10cm,OB=5cm,点P从点O开始沿OA边 C.(3,2) D.(3,2)或(-3，-2) 向点A以2cm/s的速度移动：点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动.如 2.(聊城莘县月考)将三角形纸片△ABC按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为 果P,Q同时出发，用t(s)表示移动的时间(0≤1≤5). 点B',折痕为EF.已知AB=AC=6,BC=8,若以点B',F,C为顶点的三角形与△ABC (1)用含t的代数式表示：线段PO=cm:OQ= cm. 相似，则BF的长度是() (2)当△POQ与△AOB相似时，求出t的值， A. B号 41 D.号或4 3.如图所示，直线y=3十1与x轴y轴分别交于A,B两点，△BOC与△BO'C是以点A 为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B'的坐标为 0 8.(聊城东品府区月考)如图所示，在△ABC中，BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从点A 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速 4.(聊城东阿月考)如图所示，在△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12, 度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs. AC=8,AD=6,当AP的长度为时，△ADP和△ABC相似. (1)当PQ∥BC时，求x的值. 5.运算能力如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,点D是AC边的中点， (2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长，若不能，请说明理由 过点D作一条射线与△ABC的一边交于点E,若射线DE截△ABC所得的小三角形与原 △ABC相似，求线段DE的所有可能的长度. 39 优密卷九年级上期数学·Q 地面BC的高度AC是多少米？ 易错专项训练卷（二）解直角 三角形中的分类讨论与实际问题 45 锡语赢1解直角三角形时忽视分类讨论致错 3 1.已知△ABC中，AB=10,AC=27,∠B=30°，求△ABC的面积. 易错点5对方向角的概念理解错误 5.应用意识如图所示，在一笔直的海岸线1上有A,B两个观测站，A在B的正东方向.有 一艘渔船在点P处，从A处测得渔船在北偏西60°的方向，从B处测得渔船在其东北方 向，且测得B,P两点之间的距离为20海里. 错点2对仰角、俯角的概念理解不清致错 (1)求观测站A,B之间的距离（结果保留根号）. 2.新情境某数学兴趣小组借助无人机，测量坡角为34°的滑行跑道斜坡部分AB的长度.如 (2)渔船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处等待补给，此时，从B测得 图所示，水平飞行的无人机在点D处测得跑道斜坡的顶端A处的俯角∠EDA=25°，底端 渔船在北偏西15的方向.在渔船到达C处的同时，一艘补给船从点B出发，以每小时20海 点B处的俯角∠EDB=56°，点C,B,F在同一条水平直线上，BC=28米. 里的速度前往C处，请问补给船能否在83分钟之内到达C处？（参考数据：3≈1.73） (1)求无人机的飞行高度CD. 北 (2)求滑行跑道AB的长度.（所有计算结果精确到1米，参考数据：sin56°≈0.83， cos56≈0.56，tan56°≈1.48，tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，c0s31°≈0.86) 易错点6构造直角三角形时作错高 6.为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动.如图所示，A点为出 发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A·BC·A.B点在A点 易错点3忽略测角仪的高度致错 的南偏东25°方向3√2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直 3.运算能力某数学活动小组要测量一建筑物的高度，如图所示，他 线的夹角∠ABC为45， 们在建筑物前的平地上选择一点A,在点A和建筑物之间选择 (1)求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数. 一点B,测得AB=30m,用高1m(AC=1m)的测角仪在A处 (2)求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）. 测得建筑物顶部E的仰角为30°，在B处测得建筑物顶部E的 仰角为60°，则该建筑物的高是m. 易错点4对坡度、坡角的概念不理解 4.(菏泽一模)如图所示，一座山的一段斜坡BD的长度为400米，且这段斜坡的坡度i=1·3 (沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比).已知在地面B处测得山顶A 的仰角（即∠ABC)为30°，在斜坡D处测得山顶A的仰角（即∠ADE)为45°.求山顶A到 -40-