专项训练卷(三) 模型观念与推理能力&专项训练卷(四) 数学文化与跨学科-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

优密卷九年级上册数学·Q 6.如图所示，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE一2DE,连接CE交对角线BD于 点F,若BD=10,则DF的长为 专项训练卷（三） 模型观念与推理能力 三、解答题 7.已知关于x的一元二次方程(a+b)x2+2cx十(b-a)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边 的长. 一、选择题 (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 1.(泰安宁阳期中)如图所示，在长为32m,宽为20m的矩形地面上修筑同样宽的小路（图中 阴影部分)，余下部分种植草坪，要使小路的面积为100m,设小路的宽为xm,则下面所列 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由」 方程正确的是( (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. A.32×20-32x-20.x=100 B.32x+20x=100+x2 C.(32-x)(20-x)+x2=100 D.(32-x)(20-x)=100 2.(泰安岱岳区期中)如图所示为东西流向且河岸平行的一段河道，点A,B分别为两岸上一 点，且点B在点A正北方向，由点A向正东方向走a米到达点C,此时测得点B在点C的 北偏西55方向上，则河宽AB的长为() 8.阅读理解在△ABC中，∠C=90,BC,AC,AB三边的长分别为a,bc,则sinA-, A.atan55°米 B.a cos55米 an35米 C. tan55米 D. Cos A= c,tan A=4 2t 河岸 (I)试根据定义并结合勾股定理证明sin'A+cos'A=1,anA=snA cosA· (2)利用上面探索的结论解答下面问题： 河 4 第1题图 第2题图 第3题图 ①若∠A为锐角，sinA=5,求cosA, 3.(泰安东平期未)如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F, 连接OE,OF,∠C=90°，AC=6,BC=8,则阴影部分的面积为( ②犯加∠A为悦角，且mA=3求二A+细会的值 A. B.4-2r C.4-π D.1-4 4.(聊城东昌府区月考)一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA 单位：米 是水平线，BA与CA的夹角为日.现要在楼梯上铺一条地毯，已知 CA=4米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少是( A益0平方米 B.(4+4tan0)平方米 9.如图所示，某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m,拱顶高出水面8m(即 C3+平方米 D.3(4+4tan0)平方米 CD=8m),OC⊥AB. 二、填空题 (1)求出该圆弧形拱桥所在圆的半径. 5.(泰安泰山区期末)如图所示，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C,已知AC (2)现有一艘宽10m,船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座 3,BC=2,则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为 桥吗？ 第5题图 第6题图 -37- 优密卷九年级上册数学·Q (参考数据：sin80°≈0.9848，cos80°≈0.1736，tan80°≈5.6713,3≈1.732) 专项训练卷（四） 数学文化与跨学科 一、选择题 为“赠”，同“鉴 1.巴金的《海上日出》中，有这样一段描写“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红 第5题图 第6题图 是红得很，却没有亮光.太阳像负着什么重担似的，慢慢儿，一纵一纵地，使劲儿向上升.到 6.中国元代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”.“方田 了最后，它终于冲破了云霞，完全跳出了海面，颜色真红得可爱.”这段文字中的划线一句， 一段，一角圆池占之.”意思是说：“一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与 给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系() 正方形一角的两边均相切)”，如图所示 A.相离 B.相交 问题：此图中，正方形一条对角线AB与⊙O相交于点M,N(点N在点M的右上方)，若 C.相切 D.以上皆有可能 AB的长度为10丈，⊙O的半径为2丈，则BN的长度为丈 2.(深圳龙岗区模拟)桔棉俗称“吊杆”“称杆”，是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》， 三、解答题 是一种利用杠杆原理的取水器械.桔槔示意图如图所示，OM是垂直于水平地面的支撑杆， 7.如图①所示，中国古代的马车已经涉及很复杂的机械设计（相对当时的生产力），包含大量 OM=3米，AB是杠杆，AB=6米，OA:OB=2:1.当点A位于最高点时，∠AOM= 零部件和工艺，所彰显的智慧让人拜服.如图②所示是马车的侧面示意图，AB为车轮⊙O 120°，此时，点A到地面的距离为( 的直径，过圆心O的车架AC一端点C着地时，地面CD与车轮⊙O相切于点D,连接 A.(23+3)米B.5米 C.6米 D.7米 AD,BD. 3.如图所示是中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和平面直角坐标网格体系）的方法制作地 (1)慧慧猜想∠C+2∠BDC=90°，慧慧的猜想正确吗？请说明理由. 图时，会利用测杆，水准仪和照板来测量距离.在测量距离AB的示意图中，记照板“内芯”的高 度为EF,观测者的眼睛（图中用点C表示）与BF在同一水平线上，则下列结论正确的 (@者肥-BC二2米，求车轮的直径AB的长 是() A品 邵霜 CE EF CE EF C.AEAB D.CA AB 图中由左向右依次为测 杆，水准仪，照假 A “酒“ 8.(朔州右玉期末)【学科融合】如图①所示，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同 一个平面内：反射光线和人射光线分别位于法线两侧：反射角？等于人射角.这就是光的 地面 第2题图 第3题图 第4题图 反射定律 4.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋线”，白然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，如图所示 【问题解决】如图②所示，小亮在湖对面P处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），他站 是根据斐波那契数列1,1,2,3,5，…画出来的螺旋曲线，阴影部分内部是边长为1的正方 在C处通过平面镜恰好能看到塔的顶端A,此时测得小亮到平面镜的距离CP为4米.已知 形，黑色曲线就是斐波那契螺旋线，它是依次在以1,2,3,5为边长的正方形中画一个圆心 平面镜到塔底部中心的距离PB为247.5米，小亮眼睛到地面的距离DC为1.6米，C,P,B 角为90°的扇形，将其圆弧连接起来得到的.那么这一段斐波那契螺旋线的弧长为( 在同一水平直线上，且DC,AB均垂直于CB.请你帮小亮计算出长安塔的高度AB. 11 B.5x C. D.6x 人射光线法线 反射光线 二、填空题 反射面 5.(宁夏中考)如图①所示是三星堆遗址出土的陶蚕(hé)，图②是其示意图.已知管状短流 光的反射定律 AB=2cm,四边形BCDE是器身，BE∥CD,BC=DE=11cm,∠ABE=120°，∠CBE= ① 80°.器身底部CD距地面的高度为21.5cm,则该陶蚕管状短流口A距地面的高度约为 cm(结果精确到0.1cm). 388.B解析：：四边形ABCD为矩 (2)如图所示，连接AE 在R△AMC中，：um∠ACM-0 专项训练卷（三）模型观念与推理能力 形，∠BCD=90°，：∠PBC= 1B2.D ∠PCD,.∠PBC+∠PCB AM=CM·tan∠ACM=15·an30°=15x 3C解析：如图新示，连楼AO, 90,∴∠BPC=90,点P在以 55(m. B0,D0.CO,设⊙0半径为r BC为直径的⊙O上，速接OD交 .AB-AM+BM-5W3+210.65(m. ∠C=90°，AC=6,BC=8, ⊙0于P,连接OP,PD,如图新 BE=BD-DE=14-2=12(m). AB=10.:'△ABC的内切 示.PDOD一OP(多且仪当O,P,D共线时，取等号) ∠ADF-∠B,∠ADF-∠AEF, .AB<BE.放不需要封闭人行道DE 图⊙O与AB,BC,AC分别相 ∴∠AEF=∠B. 初于点D,E,F,AC⊥OF 即P点运动到P位置时，PD的值最小，最小值为DP :四边形AECF是⊙O的内接四边形， AB⊥OD,BC⊥OE,且OF= 的长 ∴.∠ECF+∠EAF=180 OD=OE=r,.SAA=SaAm+Sam十Sam· 在R△0CD中，0C=号c=4.cD=AB=3 :AB//CF, 30 2AB·r+2AC·r+令BC·r=2X6×8,r= ÷∠ECF+∠B-180', 6X8 ∴0D=3+4-5..Dp'-0D-0p'=5-4-1, ∴∠EAF=∠B, 6+8+10=2.“∠ACB=90',∠OFC=∠0EC=90,OF= ∠AEF-∠EAF ∴，线段PD的最小值为1. 19.解：(1)证明：：AB是⊙O的直径， OE,∴四边形OFCE是正方形，∠FOE=90°，.S。n ∴，AF=EF .∠ADB=90°， 9.4510.11.1或412.g-2 16.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6, 5a-54m-4-90mX4-4-元 ∴.∠DAB+∠ABD-90 360 1以.5X(侵)m舞折：正方移ABCD的点A的坐标为 ∴，∠ADB-∠ADC-90°， ,∠PAD=∠AED,∠AED=∠ABD, 4.D5.62.5 在Rt△ABD中， .∠PAD=∠ABD, 7.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： (1,0),点D的坐标为(0,2)，∴0A=1,0D=2,AD=√5， BD=√AB-AD=√I0-6=8 ∠DAB+∠PAD=90°，即∠PAB=90 当x=-1时，(a+b)-2+(b-a)=0 8胎-台：是长CB文x轴于点A,作盖方形 ,an∠ACB=l, AB⊥PA, ,6=c,六.△ABC是等腰三角形. CD-AD-6, “AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： A:B,C,C,可得△AA,BcO△DA0,A,B-】 C-BD+CD=B+6-14. (2)如图①所示，连接BE, 。 :方程有两个相等的实数根， (2):AE是BC边上的中线， :AB是⊙O的直径，∠AEB=90 ∴.△-(2c)2-4(a+十b)(b-a)=0, AD-AB-5, .CE-8C-1. AB平分∠BAD,∠DAE=∠BAE, a2+e2=b2,△ABC是直角三角形 DE-BE,∠DAE=∠BAE=∠DBE, (3)△ABC是等边三角形，∴4b=e, ∴A,B=25, DE-CE-CD-7-6-1. :AD⊥BC, .BE-DE-,tan∠DAE=tn∠BAE=tnn∠DBE ∴原方程可化为2ax2+2ar=0.片a≠0，.x2+x=0 x(x+1)=0,x1=0,x4=-1, “第2个正方形的面机为 在R△ADE中 即这个一元二次方程的根为x1=0,x:=一1， A,c-(5+25)-5×() AE-AD+DE-√6+T=√3， 8.解：(1)证明，在△ABC中，∠C=90°，.a十b=c, DE1/37 同理可得，第3个正方形的面积为 ∴im∠DAE-AE--37 六mA+oA-g+g-' 17.解：(1)如图所示，△O,A,B,即为所求。 ..sin'A+cos'A=1. A,c=(35+是×25)）=5×()， sin A … -amA=A 茅202个区方都的南颜为5m-5X(侵》 (2)①sin2A+cos2A=1, ①D 14.解：(1)证明，：在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D, (3)如图②所示，连接OE. 六Am不-√一(-是 ∠BAD=∠CAE, :OE=OA,.∠AFO-∠OAE ,∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE :∠OAE=∠DAE,∠AEO=∠DAE, ∠DAE=∠BAC.∴.△ABCn△ADE oEAD器器 (2)△ABCn△ADE, .解：(1)连接0A,如图所示 0c CE 又SAe1 SAADE=419, (2)如图所示，△OA:B即为所求 0A-0B-Bc0x-2.∴E-2 A(-2,4),B,(-6,2》 BC DE-213. (3)如图所示，△OA,B,和△OA,B,即为所求. DE-CE-2CD-CE+DE-3 :BC-6,.DE-9 18.解：如图所示，作CM⊥AB于点M,则四边形MBFC为矩 设BC=OB=OA=R, 15,证明：(1)AC-BC,∠BAC-∠B 形.∴BM=CF=2m,BF=CM :∠BDC=∠BAE,∠C=∠C, .△CBDO△CEA, DF∥BC,∴∠ADF=∠B, :骨水坡CD的坡度i-1:0,5, 又，∠BAC=∠CFD,∴.∠ADF=∠CFD 器-d-导DF=cp1m AB=24 m.OCLAB,:'AD=7AB-12 m. .AB/CF. .CM=BF=BD+DF=14+1=15(m). .R=2,.⊙O的半轻是2. 0A-OC-r m,CD-8 m.OD-(r-8)m 60 在R△AOD中，根勾股定理，得AD+OD=OA2, .1,6AB=4247,5, 即12+(r一8)2=r2,解得r=13 .AB=的米 四当C即与C是对应边时，瓷-是 ∴5r=7·BC·AD=2×45X5=105. 答：该圆纸形拱桥所在圆的半径为13米 答：长安塔的高度AB是99米， (2)》,r-13m,CD-8m 易错专项训练卷（一）相似三角形中的 后-行解得红一 综上所述，△ABC的面积是153或103 2.解：(1)由题意，得DC⊥CF,EDCB, :.OD=OC-CD=5 m. 分类讨论与动态问题 综上所述，经过4秒或秒时，△PQC和△ABC相似 ,∠EDB=∠DBC=56 如图所示，构造矩形MEFN,连接OM,MN交OC于点H. 7.解：(1)2(5-t) 在Rt△DCB中，BC-28米， 当EF=MN=10m时， 1.D ∴，CD=BC·tan56e28X1.48=41.44w41(米)， :OC⊥AB,∴OC⊥MN 2 2.C解析：极据△B'FC与△ABC相似时的对应情况，有两 (2)①当△0PQn△OAB时，则O6-OA,即5- -10 ∴，无人机的飞行高度CD约为41米 :.MH-7MN-5 m. 种情况： t=2.5. (2)∠EDB=56°，∠EDA=25°， Ds△FAC,器-货 CF 当△0P0n△0BA时，8-8即号-号 ,∠ADB=∠EDB-∠EDA=31 根据勾股定理，得OH一√/OM-MH-12m: 由题意，得∠ABF-34", ∴.DH=OH-0D=12-5=7(m). 周为AB=AC=6,BC-8,BF-BF, -1 +∠DBA-180°-∠DBC-∠ABF=90° :7<7.5,,此货船不能颗利通过这座桥 .当1=1或t=2.5时，△POQ与△AOB相似. 在R1△DCB中，BC一28米， 6 8 专项训练卷（四）数学文化与跨学科 8.解：(1)当PQ∥BC时，AP:AB=AQ:AC, @ABCP△BCA时，-器 AP=4r em,AQ=(30-3x)cm+ BD-G8*6-50米. 1.A2.B3.D 图为AB=AC=6,BC=8,B'F=BF, 在Rt△ABD中，AB=BD·tn31"w50×0,60-30(米) 4.C解析：这一段斐流哪契炼被线的丝长为90xX】 货-00“，解得红一号 180 所以8二即鳄解得那-4 ∴滑行跑道AB的长度约为30米。 90x×2490m×3490x×5- 即当-9时，PQ/BC. 3.(15VF十1)解析：如图所示，是长CD交EF于点G 180 180 180 2 数B那的长度是华或 (2)能. 5.34,1 AP AQ 6.(8一22)解析：如国所杀，澄正方形的一边与⊙0的切 3.（-9-2)或(32》解折：y-了十1与轴y轴分别 ①当△APQn△CQB时，有 CQ BC 点为C,连OC,则OC⊥AC,:四边形是正方形，AB是对 交于A,B两点，令工=0，得y=1:令y=0,得x=-3 即-303，解得=9， 角线，∠0AC-45,.OA-2OC-22(丈)，.BN ,点A和点B的坐标分别为（一3,0），(0,1).，△BOC与 20 AB-0A-0N-10-22-2-(8-2W2)女. △BOC是以点A为位银中心的位似困形，卫相似比为 40 (cm) :.AP-4-9 1280-吕-名0g-2A06当点B @当AAn0n△c时有能-8器 QA 油题意，得DBAC=FG=1m,CG⊥EF,DC=AB 在第一象限时，B的坐标为(3,2)：当点B在第三象限时， B的坐标为（一9，一2），B的坐标为(-9，-2)成(3,2) 博芳-0，解得-5或工-一10（会去 30m,∠EDG=60°，∠ECG=30° :∠EDG是△EDC的一个外角， 4.4或9 .PA=4x-20(cm). ∠DEC=∠EDG-∠ECG=30' 7.解：(1)慧慧的猜想正确.理由如下： 5.解：在R1△ABC中，∠C=90 综上所述，当AP-智m或0m时，△AFPQ与△COB相 ,∠DEC=∠ECD=30°，.ED=CD=30m 连接OD,如图所示 AB=10,AC-6, 在R△BGD中，BG-ED·m60=30x-15原(m, .BC=√AB-AC 易错专项训练卷（二）解直角三角形中的 2 CD与⊙)相相切，，0力CD .∠C+∠DOC=90°，∠ODB+∠BDC=90 √10-6=8. 分类讨论与实际问题 ∴EF=EG+FG=(155+1)m OB=OD,∴.∠ODB=∠OBD 如图所示，当DE1⊥AB时 ,流建筑物的高是(15厚+1)m :AB为⊙O的直轻，∠ADB=90°， △ADE,c△ABC, 1,解：作AD⊥BC交BC(或BC延长线)于点D. 4.解：如图所示，过点D作DH⊥BC于点H,设AE-xm ∴∠A+∠OBD=90°，∴∠A=∠BDC ①如图①所示，当AB,AC位于AD异侧时， 由圆周角定理，得∠DOC=2∠A, 在R△ABD中，∠B=30°，AB=10, .∠DOC=2∠BDC,.∠C+2∠BDC=90 DE,- 12 .AD-ABsin B-5,BD-ABcos B-53. 45 在R△ACD中，：AC=27 当DE:CB时，△ADE,△ACB,此时DE,-2BC-4 .CD-AC-AD-√2W7)-5-3, D 则BC=BD+CD=63, 斜坡BD的坡度i-1t3,∴，DHBH-1:3. 当DE,∥AB时，△CDE,△CAB,此时DE,-AB-5, (2)∠A=∠BDC,∠C=∠C, 在R1△BDH中，DH*+(3DH)3=400, ∴△CBD∽△CDA, 当∠CDE,=∠B时，△CDE,n△CBA ∴a-·BC·AD-×65X5-15 ∴DH=40W/10(m),则BH=120w/10(m). %贯肥品语 2 CD6 -需-…0,= 在R△ADE中，∠ADE=4S, .DE=AE-m. 解得CD-5米，AB-1米 棕上所运，满足条件的DE的值为号或4或5或 又：HC=ED,EC=DH,∴HC=xm,EC=40.16 m. 容，车轮的直径AB的长为1米 6.解：设经过x秒，△PQC和△ABC相似，则CP=AC 8.解：由光的反射定律得到：∠CPD=∠BPA, AP-(8-x)cm,CQ-=2x em, 在R△ABC中，an30°-AC-+0尽 2 BC120/10+x :DC,AB均垂直于CB, ②如图②所示，当AB,AC在AD的同侧时 解得x-40√30， ∴，∠DCP-∠ABP-90' ①当CP与CA是对应边时，-品 .△DCPO△ABP, 由①知，BD=55,CD=5, ∴.AC=AE+EC=(403+40/10)m. ∴DCAB=PC:PB 则BC=BD-CD=4月， 放山顶A到地面BC的高度AC是(40V3而+40√/10)m,