专项训练卷(二) 空间观念与几何直观-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（青岛版2012）

解得y1=12,y1=48, PD-2..PH-1.DH=5, .CD=CF+DF=6+10=16, 又要让利于顾客，y=48 .BC=2CD=32. 05-196,第得DF-=号10-cm 答：每平方米草莓平均利前下调48元 AH-√AD-D用-/1，.AP-1+13. ∠ADP=∠BDA,∠DAP=∠ABP, 20,架：(1)证明：连接OD,如图所示 SBE DF-7.5. 专项训练卷（一）运算能力 1.A2.D3.A4.C5.A6.C ADPABDA品-器-是 AB4 “号10-)1=15，解得1=5. 7.C解析：如图斯示，连接O1A,0:A,O1B,O,B0:C AB=2+2/3 答：t为5秒时，△BDE的而积为7.5cm 0,C,00,010,0201,则△01A0,△01B01 17.解：(1)6tnn30°-5im60°-2sin45 △O,C0,△0,0,01是边美为1的正三角形，所以， 360 -6x⑨-唇x号-x号 :AB为⊙0的直径， ∴.∠ACB-∠BCG-90 CG=CB,∴△BCG为等厦直角三角形 (2)存在.理由如下： ∴.∠G=∠CBG=45 ①当BE=DE时，△BDE△BCA, ×号-1++2+-2 CD//GB, .∠ACD=∠G=45,∠BCD=∠CBG=45, 脂品即品-19后解得-碧 .∠AOD=2∠ACD=90 ②当BD-DE时，△BDEn△BAC, 第7题图 第8题图 18解：1在R△ABC中，∠C=90,amB-子AB-5, :DEAB,∴∠ODE=∠AOD=90 8.A解析：如图所，正三角形、正方形、正五形、正六 ∴，可设AC=3x,BC=4x 边形的每个内角相等且分别为60°，90°，108,120°， 即OD⊥DE. AC'+BC-AB' .∠AOE-∠1+∠2+∠3+∠DOE-120°，∠DOE-60 又点D在⊙0上，OD为⊙0的半径， 答：存在时间：为曾支器时，使得△BDE与△ABC相敏 ∠2=∠B0E-∠C0E=108-90°=18，.∠1+∠2+ .(3x)2+(4x)2=5 ∴DE为⊙O的切线，即，DE与⊙O相切， ∠3=60°，∴，∠3+∠1-∠2=∠1+∠2+∠3-2∠2 解得x=一1（含去）或x=1, (2)由(1)可知：∠ACB=90',∠ACD=∠BCD=45, 专项训练卷（二）空间观念与几何直观 60°-2×18°=24 ∴，AC=3,BC=4. ∠AOD=90 1.C2.D3.D4.D 9,B解析：如图示，连接CD,在△AEB和△DEC中 BD=1,CD=3, 5.B解析：如围所永，分别过 ∠A-∠D, 在R△ABC中，AC=4.BC-2, ,AD=√CD+AC=3w2. 点M,N作x轴的垂线，过 AE=ED. ,.△AEB2△DEC(ASA),.EB= 由勾股定理，得AB=AC+BC=25, (2)过点D作DE⊥AB于点E,如图所示 点A作AB⊥MN,连接 ∠AEB=∠DEC, .0A=OB=OD-5. EC.:BC-CE,.BE-CE=BC,∴.△EBC为等边三角 AN,则BM=BN.设⊙A的 CD∥GB,AC=4,BC-CG-2, 形，∠ACB-60,如图所示，作BM⊥AC于点M 年径为r,则AN=r,AB=2, BF AF-CG AC-214-112. OF1AC,AF=CF,△EBC为等边三角形， BM-BN-4-r ,∠GEF=60,.∠EGF=30°.EG=2,EF=1 设BF=友，AF=2k, 在Rt△ABN中，根搭句胶定理，得2十(4一r)一r,解得 AE-ED-3.CF-AF-4.AC-8.EC-5. 六AB=AF+BF=3张=25，k-2 r=2.5,.BN=4一2.5=1.5，则N到y轴的矩离为A0 3 BC=5.∠BCM=60,∠MBc=30,CM=吾， BN=2.5一1,5=1.义点N在第三象限，点N的坐标为 在R△BED中，mB-是， (-1.-2). BM-SCM-55 AM-AC-CM-4 AB- 6.A ∴可设DE=3y,则BE=4y. a=4=5 7.A解析：如图所帝，在y上取点B'(0,一3)，连楼BC, BE+DE'=BD, .OF=AF-0A= 3 B'A. (3y)+(4y)=1, 在R△0DF中，0D-5,0F-5. 点B(0,3),B(0,-3), 解得y=子会)y 点A(4,0) 由定得DF-O0F-6号 0B=0B'=3,0A-4, DE.是.E ∴BA-OA+B'O- D呢-gma-那-26 :CDGB,DE∥AB, √/0+16=5. 19.解：(1)证明：AB-AC,AD是BC边上的高线， 六四边形DEBF为平行四边形，BE=DF=5 ,点P是BC的中点 3 .BD-DC,∠1-∠CAD .BP-PC. 10.B11.612,-2 :∠1=∠2，∴∠CAD-∠2， 21.解：(1)如图所示，分别过点D,A作DF⊥BC,AGLBC, OB-OB',BP-PC, 13.a≤6且m≠214.-215.(6-2a,-2b) 垂足分别为F,G, .B'C-2OP. 16.2+2/13解析：△ABC是￥边三 .AD//EF. D 台点C在线段B'A上时，B'C的 角形，∠ACB=60°，∠APD 2:AD/ER孺-贯 ∴DFAc器-0 长度最小值为5-2=3， ∠ACB-60°，过点D作DH⊥AP于 CE1AB-35,Cp-6,品- .AB=AC=10 cm.BC=16 cm. 当点C在战段BA的延长线上时，C的长度最大值为 点H,如图所杀，∠AHD .BG-8 cm.'.AG=6 cm. ∠DHP=90°. 解得FD=10, AD=BE=tcm,∴，BD=(10-t)cm, 5+2=1,∴≤0P≤ 8.B解析：：四边形ABCD为矩 (2)如图所示，连接AE 在R△AMC中，：um∠ACM-0 专项训练卷（三）模型观念与推理能力 形，∠BCD=90°，：∠PBC= 1B2.D ∠PCD,.∠PBC+∠PCB AM=CM·tan∠ACM=15·an30°=15x 3C解析：如图新示，连楼AO, 90,∴∠BPC=90,点P在以 55(m. B0,D0.CO,设⊙0半径为r BC为直径的⊙O上，速接OD交 .AB-AM+BM-5W3+210.65(m. ∠C=90°，AC=6,BC=8, ⊙0于P,连接OP,PD,如图新 BE=BD-DE=14-2=12(m). AB=10.:'△ABC的内切 示.PDOD一OP(多且仪当O,P,D共线时，取等号) ∠ADF-∠B,∠ADF-∠AEF, .AB<BE.放不需要封闭人行道DE 图⊙O与AB,BC,AC分别相 ∴∠AEF=∠B. 初于点D,E,F,AC⊥OF 即P点运动到P位置时，PD的值最小，最小值为DP :四边形AECF是⊙O的内接四边形， AB⊥OD,BC⊥OE,且OF= 的长 ∴.∠ECF+∠EAF=180 OD=OE=r,.SAA=SaAm+Sam十Sam· 在R△0CD中，0C=号c=4.cD=AB=3 :AB//CF, 30 2AB·r+2AC·r+令BC·r=2X6×8,r= ÷∠ECF+∠B-180', 6X8 ∴0D=3+4-5..Dp'-0D-0p'=5-4-1, ∴∠EAF=∠B, 6+8+10=2.“∠ACB=90',∠OFC=∠0EC=90,OF= ∠AEF-∠EAF ∴，线段PD的最小值为1. 19.解：(1)证明：：AB是⊙O的直径， OE,∴四边形OFCE是正方形，∠FOE=90°，.S。n ∴，AF=EF .∠ADB=90°， 9.4510.11.1或412.g-2 16.解：(1)AD⊥BC,AB=10,AD=6, 5a-54m-4-90mX4-4-元 ∴.∠DAB+∠ABD-90 360 1以.5X(侵)m舞折：正方移ABCD的点A的坐标为 ∴，∠ADB-∠ADC-90°， ,∠PAD=∠AED,∠AED=∠ABD, 4.D5.62.5 在Rt△ABD中， .∠PAD=∠ABD, 7.解：(1)△ABC是等腰三角形.理由如下： (1,0),点D的坐标为(0,2)，∴0A=1,0D=2,AD=√5， BD=√AB-AD=√I0-6=8 ∠DAB+∠PAD=90°，即∠PAB=90 当x=-1时，(a+b)-2+(b-a)=0 8胎-台：是长CB文x轴于点A,作盖方形 ,an∠ACB=l, AB⊥PA, ,6=c,六.△ABC是等腰三角形. CD-AD-6, “AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线. (2)△ABC是直角三角形.理由如下： A:B,C,C,可得△AA,BcO△DA0,A,B-】 C-BD+CD=B+6-14. (2)如图①所示，连接BE, 。 :方程有两个相等的实数根， (2):AE是BC边上的中线， :AB是⊙O的直径，∠AEB=90 ∴.△-(2c)2-4(a+十b)(b-a)=0, AD-AB-5, .CE-8C-1. AB平分∠BAD,∠DAE=∠BAE, a2+e2=b2,△ABC是直角三角形 DE-BE,∠DAE=∠BAE=∠DBE, (3)△ABC是等边三角形，∴4b=e, ∴A,B=25, DE-CE-CD-7-6-1. :AD⊥BC, .BE-DE-,tan∠DAE=tn∠BAE=tnn∠DBE ∴原方程可化为2ax2+2ar=0.片a≠0，.x2+x=0 x(x+1)=0,x1=0,x4=-1, “第2个正方形的面机为 在R△ADE中 即这个一元二次方程的根为x1=0,x:=一1， A,c-(5+25)-5×() AE-AD+DE-√6+T=√3， 8.解：(1)证明，在△ABC中，∠C=90°，.a十b=c, DE1/37 同理可得，第3个正方形的面积为 ∴im∠DAE-AE--37 六mA+oA-g+g-' 17.解：(1)如图所示，△O,A,B,即为所求。 ..sin'A+cos'A=1. A,c=(35+是×25)）=5×()， sin A … -amA=A 茅202个区方都的南颜为5m-5X(侵》 (2)①sin2A+cos2A=1, ①D 14.解：(1)证明，：在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D, (3)如图②所示，连接OE. 六Am不-√一(-是 ∠BAD=∠CAE, :OE=OA,.∠AFO-∠OAE ,∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE :∠OAE=∠DAE,∠AEO=∠DAE, ∠DAE=∠BAC.∴.△ABCn△ADE oEAD器器 (2)△ABCn△ADE, .解：(1)连接0A,如图所示 0c CE 又SAe1 SAADE=419, (2)如图所示，△OA:B即为所求 0A-0B-Bc0x-2.∴E-2 A(-2,4),B,(-6,2》 BC DE-213. (3)如图所示，△OA,B,和△OA,B,即为所求. DE-CE-2CD-CE+DE-3 :BC-6,.DE-9 18.解：如图所示，作CM⊥AB于点M,则四边形MBFC为矩 设BC=OB=OA=R, 15,证明：(1)AC-BC,∠BAC-∠B 形.∴BM=CF=2m,BF=CM :∠BDC=∠BAE,∠C=∠C, .△CBDO△CEA, DF∥BC,∴∠ADF=∠B, :骨水坡CD的坡度i-1:0,5, 又，∠BAC=∠CFD,∴.∠ADF=∠CFD 器-d-导DF=cp1m AB=24 m.OCLAB,:'AD=7AB-12 m. .AB/CF. .CM=BF=BD+DF=14+1=15(m). .R=2,.⊙O的半轻是2. 0A-OC-r m,CD-8 m.OD-(r-8)m 60优密卷九年级上册数学·Q 6.(部坊品邑二模)如图所示，将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线 1与弧AB交于点C,连接AC.若OA=3,则图中阴影部分的面积是() 专项训练卷（二） 空间观念与几何直观 A警5 R警 c5晋 n受 7.(泰安泰山区三模)如图所示，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为(4,0)， 一、选择题 y轴上有点B(0,3),点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP长的范围是() 1.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,F是CD上一点，且DF=BC,连接CF并延长交 B.2≤OP≤4 AD的延长线于点E,连接AC.若∠ABC=105°，∠BAC=25°，则∠E的度数为() A<OP<号 c<op<号 D.3≤OP≤4 A.60° B.55° C.50 D.45 2.(聊城冠县期中)如图所示，某商场准备将自动扶梯改造成斜坡式.已知商场的层高AB为 6m,∠ACB为45°，改造后扶梯AD的坡比是1t2,则改造后扶梯AD相比改造前AC增 加的长度是( A.6m B.(12-6,2)m C.(6√2-4,3)m D.(65-62)m 第7题图 第8题图 8.如图所示，在矩形ABCD中，AB=3,BC=8,点P为矩形内一动点，且满足∠PBC= ∠PCD,则线段PD的最小值为( 封 A.5 B.1 C.2 D.3 二、填空题 9.如图所示，点O为四边形ABCD与四边形A,B,C1D1的位似中心，AA1=2OA.若四边形 第1题图 第2题图 第3题图 ABCD的面积为5，则四边形AB,C,D1的面积为 3.如图所示，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6,in∠DAC=5 ,则边AB的长为 A.22 B.42 C.35 D.62 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC=5,BC=8,以点A为圆心作一个半径为2的圆，下列结 线 论中正确的是() A.点B在⊙A内 B.点C在⊙A上 第9题图 第10题图 C.直线BC与⊙A相切 D.直线BC与⊙A相离 10.(菏泽巨野模拟)如图所示，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC, 声 5.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交⊙A于 BC分别交于D,E两点，则劣孤DE的长为 M,N两点，若点M的坐标是（一4，一2），则点N的坐标为() 1L.如图所示，在△ABC中，AB=10,AC=5,点M在边AB上，且AM=2,点N在AC边 A.(1,-2) B.(-1,-2) 上.当AN= 时，△AMN与原三角形相似 C.(-1.5,-2) D.(1.5,-2) 第11题图 第12题图 12.(菏泽东明三模)如图所示，以AB为直径的半圆O,绕点A顺时针旋转45°，点B的对应 第4题图 第5题图 第6题图 点为点C,AC交半圆O于点D.若AB=2√2，则图中阴影部分的面积为 13.在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A (2)将△OAB绕点O顺时针旋转90°，画出所得的△OAzB:,并写出点A2,B2的坐标. 的坐标为(1,0)，点D的坐标为(0,2).延长CB交x轴于点 (3)以点O为位似中心，位似比为1：2，将△OAB缩小，画出缩小后的三角形. A1,作第2个正方形A1B,C,C,延长C1B1交x轴于点A,作 第3个正方形A:BCC1,…,按这样的规律进行下去，第 2024个正方形的面积为 三、解答题 14.如图所示，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D,∠BAD=∠CAE. (1)求证：△ABC∽△ADE. (2)若SAAC:SAADE=4￥9，BC=6,求DE的长. 18.(静坊青州模拟)城市规划期间，欲拆除一电线杆AB,如图所示，已知距电线杆AB的水平 距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度i-1:0.5,坝高C℉为2m,在坝顶点C 处测得电线杆顶点A的仰角为30°，DE之间是宽为2m的人行道，试问在拆除电线杆 AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上？（提示：在地面上，以点B为圆心，以 AB为半径的圆形区域为危险区域)（参考数据：√31.73） 15.(菏泽曹县期中)如图所示，在△ABC中，AC=BC,D为AB上一点，⊙O经过点A,C,D, 交BC于点E,过点D作DF∥BC,交⊙O于点F,连接AF,CF,EF, 求证：(1)AB∥CF.(2)AF=EF, 19.(泰安东平二模)如图所示，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD= ∠AED,且DE=,2,AE平分∠BAD,AE与BD交于点F. 16.(浙江中考)如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,AE是BC边上的中线，AB=10,AD=6 (1)求证：PA是⊙O的切线， tan∠ACB=1. (1)求BC的长. (②若an∠DAE-受求EF的长 (2)求sin∠DAE的值. (3)延长DE,AB交于点C,若OB=BC,求⊙O的半径. 17.(湖坊期末)如图所示，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立 如图所示的平面直角坐标系，△OAB的顶点都在格点上，已知点A(一4，一2)，B(一2，一6). (1)将△OAB向右平移4个单位长度得到△O1A1B1,请画出△O,A1B:. 36