第二十六章 解直角三角形 达标检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（冀教版2012）

优密卷九年级上册数学·N 5.如图所示，在边长为1的正方形网格中，连接格点D,N和E,C,DN和EC相交于点P, tan∠CPN为() 第二十六章达标检测卷 ·@时间：120分钟☑情分：120分· 题号 二 三 总分 A.1 B.2 C.3 D.5 得分 6如图所示，在等膜三角形ABC中，AB=AC,BD是AC边上的商，血∠CBD-号则△BCD与 一、选择题（本大题共12个小题，每个小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一 △ABD的面积比是() 项是符合题目要求的) 1.(张家口宣化区期末)如图所示，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则cosC的值 为() A.13 B.2￥7 C.2￥9 D.2:11 7,(承德月考)手机导航极大方便了人们的出行，如图所示，嘉琪一家自驾到风景区C游玩，到 达A地后，导航显示车辆应沿北偏西45方向行驶4千米至B地，再沿北偏东60方向行驶 封 A.10 号 c D 一段距离到达风景区C,嘉琪发现风景区C在A地的北偏东15°方向，那么B,C两地之间 的距离为() 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，sinA= BC=12.则AC=() 0 线 A.3 B.9 C.10 D.15 A.26千米B.(22+3)千米 C.32千米 D.5千米 3.数学文化如图所示是源于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一8，如图所示，海中有一个小岛A.一艘轮船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60方 个小正方形拼成的大正方形.若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中 向上；航行12 n mile到达C点，这时测得小岛A在北偏东30方向上.小岛A到航线BC的 除 较小的锐角为a,则cosa的值为( 距离是( )n mile.(31.73,结果用四舍五入法精确到0.1) A B号 c A.10 B.10.4 C.10.5 D.10.6 4.在等腰三角形ABC中，AB=8,BC=10,则cosB等于() B号 9,若a,9是一个三角形的两个锐角，且满足sm口一十 十(3一tan)3=0,则此三角形的形 c号号 状是() A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 21 10.如图所示，在△ABC中，AD平分∠CAB交BC于点E.若∠BDA=90°，E是AD的中点，15.几何直观，有一处斜坡如图所示，分为MO=NO=8m的两段，MO段的坡度为1：1，NO DE=2,AB=5,则AC的长为() 段的坡度为1：√3，则∠MON= 。,若将两段斜坡建造成台阶，且每一级台阶的高 度不超过15Cm,则这一处斜坡最少可以建造的台阶数为级.（参考数据：2 1.41,3≈1.73) A.1 3 C.2 n 11.如图所示，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C处测得石碑顶A点的仰角 为30°，她朝石碑前行5米到达点D处，又测得石碑顶A点的仰角为60°，那么石碑的高度 AB的长为() 16.如图②，图③所示是某公共汽车双开门的俯视示意图，ME,EF,FN是门轴的滑动轨道， ∠E=∠F=90°，两门AB,CD的门轴A,B,C,D都在滑动轨道上，两门关闭时（如图②所 示)，A,D分别在E,F处，门缝忽略不计（即B,C重合）：两门同时开启，A,D分别沿E→ M,F→N的方向匀速滑动，带动B,C滑动，B到达E时，C恰好到达F,此时两门完全开 0 启，已知AB=50cm,CD=40cm. A.5米 B.2米 C.23米 (1)如图③所示，当∠ABE=30时，BC= cm. (2)在(1)的基础上，当A向M方向继续滑动15cm时，四边形ABCD的面积为 12.如图①所示是一台手机支架，如图②所示是其侧面示意图，AB,BC可分别绕点A,B转动， cm 测量知BC=8cm,AB=16cm.当AB,BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50时，点C到 AE的距离为( )(结果保留小数点后一位，参考数据：si70°≈0.94,5≈1.73) 三、解答题（本大題共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)运算能力)在Rt△ABC中，∠C=90° A.6 cm B.6.2 cm C.6.3 cm D.6.5 cm (1)已知c=25,b=15,求a. 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题3分，共12分） (2)已知a=√6，∠A=60°，求b,c. 13.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=3,AB=4,AD⊥BC,则∠DAC的余弦值 为· 14.新情境如图所示，将45的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O与尺下沿 的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm,若按相同 的方式将22.5°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数 为cm. 569 -22 18.(8分)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在AC,AB上，BD平分∠ABC,20.(8分)已知在锐角△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,边角总满足关系式 3 DE⊥AB,AE=6,cosA= sin A sin B sin C (1)求DE,CD的长. (1)如图①所示，若a=6,∠B=45°，∠C=75°，求b的值 (2)求tan∠DBC的值. (2)某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC中建一座小型景观桥CD(如图②所示)， 若CD.LAB,-AC=14米，AB=10米，in∠ACB=求录观桥CD的长度 21.(9分)东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼 应.如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向 1200m处.在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31 19.(8分)如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AB=12,AC=10,cos∠CAB 方向（点A,B,C,P四点在同一平面内），求明珠大刚院到龙堤BC的距离.（结果精确到 (1)求△ABC的周长. 1m)(参考数据：sin68.2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈ (2)求∠DAB的余弦值， 0.832,c0s56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50) 5631 -23 22.(9分)如图所示，小河的对岸有一座小山，小明和同学们想知道山坡AB的坡度，但由于山24.(12分)新视野)我们知道良好的坐姿有利于青少年骨酪生长，有利于身体健康，那么首先 坡AB前有小河阻碍，无法直接从山脚B处测得山顶A的仰角，于是小明和同学们在保证 要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放， 没有安全隐患的前提下展开了如下的测量： 胸膛挺起，理想状态下，如图①所示，将图①中的眼睛记为点A,腹记为点B,笔尖记为点 第一步：从小河边的C处测得山顶A的仰角为37°； D,且BD与桌沿的交点记为点C.(结果精确到1cm,参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈ 第二步：从C处后退30米，在D处测得山顶A的仰角为26,6°： 0.60,tan53°≈1.33,2≈1.41，√3≈1.73) 第三步：测得小河宽BC为33米。 (1)若∠ADB=53°，∠B=60°，求A到BD的距离及C,D两点间的距离. 已知点B,C,D在同一水平线上，请根据小明测量的数据求山坡AB的坡度. (2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图②的点E,点E正好在CD的垂直平 (参考数据：sin26.6°≈0.45，c0s26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.5，sin37°≈0.6，c0s37°≈0.8， 分线上，且∠BDE=60°，于是要求其纠正为正确的姿势.求眼睛所在的位置应上升的距离. tan37°≈0.75) 眼距笔尖30m 一头正 腹距桌沿12em 双白然 区与可苑 23.(10分)速度滑雪运动受到许多年轻人的喜爱.如图所示，四边形BCDG是某速度滑雪场馆 优计密卷 建造的滑台，已知CD∥EG,滑台DG的高为5米，且坡面BC的坡度为1：1.后来为了提 高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面AC的坡度为1：√3 (1)求新坡面AC的坡角及AC的长. (2)原坡面底部BG的正前方10米处(EB=10米)是护墙EF,为保证安全，体育管理部门 规定，坡面底部至少距护墙7米.请问新的设计方案能否通过？试说明理由.（参考数据： 3≈1.73) -24解得AP=6. ∠CPF=180°， .AB=6 cm, ∠EDN= ∠BDP, 22.解：(1)如图所示，△AB1C1即为所求 .∠BPE+∠CPF=135° PN-号AB-号X6-2(cm. ∠BPD= ∠END, (2)如图所示，△A:B,C2即为所求. ∴.∠BEP=∠CPF ∠GMK=∠BMQ, 又∠B=∠C, 19.解：(1)，四边形BFED是平行四边形， ∠BQM=∠GKM, .∴.△BPE∽△CFP .DE∥BF,即DE∥BC, DP=MQ=AC, (3)在(2)的条件下，△BPE与△PFE不 △DEABC,÷品B是- DN=CF.MK-CH 相似.当动点P运动到BC中点位置时， ∴.△DEN∽△DBP,△GMK∽△BMQ, △BPE与△PFE相似. AB-8.AD-1AB-2. 理由：同(2)，可证△BPEn△CFP, ∴.CP:BE=PF:PE (2),△ADE∽△ABC, AC AB-0.8 AC 又而CP=BP, -(- 22.4-0.82+1.61 AB=8.8米，.树AB的高度为8.8米 ..PB:BE=PF PE 23.解：(1)（二）（一） (3)1:4 又∠EBP=∠EPF, △ADE的面积为1， ∴.△BPE∽△PFE ,.△ABC的面积是16. (2)乙同学的说法更合理，理由：平均数容 23.解：(1)证明：，四边形ABCD为正方形 ,四边形BFED是平行四边形， 易受极端值的影响，众数和中位数则是反 .AD∥BC,AD=AB,∠B=90, 期中综合能力检测卷 .EF∥AB,DE=BF, 映一组数据集中发展趋势和集中水平，因 ∴.∠AMB=∠MAD.,EF⊥AM, BF 1 .CF 此用众数、中位数进行分析比较客观.因为 ,'.∠AFE=90°，∴.Rt△ABM∽Rt△EFA, 1.D2.A3.B4.B5.C6.A7.A “△EFCn△ABC,BC-ACB 4 (二)班的众数、中位数都比（一）班的要高， ∴AB·EF=AM AE,即AD·EF= 8.D9.C10.C11.A12.C 所以（二）班阅读水平更好些，所以乙同学 AM:AE,∴.AD·AE=AM·EF. 4 S△ABC 的推断比较合理，更客观些.（合理即可） 13.17 14.≤1或215.3m (2)在Rt△ABM中，AM=√5+122=13. :平行四边形BFED的面积=16一9一 24.解：(1)40 16.(1)2(2 2 1=6. (2)若BD=AD,,AD是△ABC的完美 F是AM的中点，AF=AM= 3-7 20.解：(1)80÷40%=200（人），故n的值 分割线，.△DACC△ABC 2 17.解：(1)：关于x的一元二次方程x2 为200. .∠CAD=∠B=42° BM AM ,Rt△ABM∽Rt△EFA,. (2m+1)x十m2一2=0有两个不相等的实 (2)200-80-30-50=40(人). ,AD=BD,.∠ABD=∠BAD=42, AF AE ∴.∠BAC=∠BAD+∠CAD=84°. 即5、13 数根， AEAE=169 ×1800=90(人) 若AB=BD,则∠BAD=∠BDA=69 10 .[-(2m+1)]2-4(m2-2)>0, 解得m>一9 做估计该校1800名学生中喜欢C项目的 ,AD是△ABC的完美分割线， 2 .△DACc∽△ABC, 学生比喜欢B项目的学生多90人 169 49 .∠CAD=∠B=42°， “DE=AE-AD=10-12=10 9 21.解：(1)设超市销售一台A型微波炉可获 :m的取值范围是m>一 利x元，依题意，得(700一x)×40%=x, ,.∠BAC=∠BAD+∠CAD=69°+ 24.解：(1)证明：，在△ABC中，∠BAC 解得x=200. 42°=111° (2)根据题意，得2m十1=0， 若AB=AD,则∠B=∠ADB=42 90°，AB=AC, 答：超市销售一台A型微波炉可获利 1 ,AD是△ABC的完美分割线， .∠B=∠C=45 解得m=一2' 200元. .△DAC∽△ABC, ,'∠B+∠BPE+∠BEP=180°， (2)设每台微波炉降价5y元，则每天可销 .∠BPE+∠BEP=135 故题的值为一子 售(10十y)台，每台获利为(200十20 .∠CAD=∠B=42 5y)元， ,∠ADB=∠DAC+∠C=42°+ :∠EPF=45°，∠BPE+∠EPF+ 18.解：：AB=AC,AD⊥BC, 依题意，得(200+20-5y)(10+y) ∠C≠42°， ∠CPF=180°， .BD=DC. 3600, ∴.不存在AB=AD.综上所述，∠BAC的 ∴.∠BPE+∠CPF=135°， 又DNCP 整理，得y2-34y十280=0， 度数为84°或111° '.∠BEP=∠CPF」 x肥1 解得y1一14，y2■20. 第二十六章达标检测卷 又∠B=∠C, 为了尽量增加销售量， .△BPEc∽△CFP ..BN=NP. .y=20, 1.B2.B3.D4.C5.B6.B7.A (2)△BPE△CFP.理由： 点M是线段AD的中点，DNCP, .700-5y=600. 8.B9.C10.D11.D12.C ,在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠B=∠C=45」 识0 答：超市在元旦当天销售A型微波炉的价 格为每台600元 13.号14.(22+2)15.16565 ∠B+∠BPE+∠BEP=180°， ..AP=PN, 22.解：如图所示，过点D作DP⊥AB于点16.(1)(90-453)(2)2256 .∠BPE+∠BEP=135. P,交EF于点N,过点M作MQ⊥AB于 17.解：(1)根据勾股定理，可得a=√252一15 :∠EPF=45°，∠BPE十∠EPF+ ∴PN=AB. 点Q,交GH于点K,由题意，可得 20. (2):在Rt△ABC中，∠C=90°， ,DF⊥AB,CE⊥AB, 解得x≈800， ∠A=60°， .CE∥DF, ,.PD=800m, "an∠CAH= 3 ∠B=30°，.c=2b.根据勾股定理，可 .DF是Rt△CEB的中位线 .'.PE=PD+DE=800+520=1320(m). ∴.AH=3CH=53米， 得a2+b2=c2,即6+b2=(2b)3,解得b= 答：明珠大副院到龙堤BC的距离约为 ∴.AB=(5√3-5)米，∴.AE=EB一AB= 2(负值舍去)，则c=22. 六DF=2CE=3,EF=2BE=2, 1320m 18.解：(1)在Rt△ADE中，由AE=6, ,AF=AE+EF=8+2=10. 10-(5√3-5)=15-53≈6.35（米）. mA-铝-号得AD-10 在Rt△AFD中，AD=√AF+DF= 68.2 ,6.35米<7米，∴.新的设计方案不能 通过. 102+32=√/109， 24.解：(1)如图所示，过点A作AH⊥BD于 由勾股定理，得DE=√AD一AE= /102-62=8. :cos∠DAB=AD-1o9 AF1010109 点H,则∠AHD=∠AHB=90°.，AD= 109 30cm,∠ADB=53,.AH=AD·sin53°≈ ,BD平分∠ABC,DE⊥AB,∠C=90, 20.解：(1)∠B=45°，∠C=75°， 30×0.80=24(cm),DH=AD·c0s53°≈ .CD=DE-8. ∠A=60. 22.解：如图所示，过点A作AH⊥DC,交DC 30×0.60=18(cm) (2)方法一：由(1)AD=10,DC=8,得 b 的延长线于点H, ∠B=60°， AC=AD+DC=18. sin A sin B sin C' 在Rt△ADH中，∠ADH=26.6° ..BH-AH _24 在△ADE与△ABC,∠A=∠A,∠AED ≈13.8(cm), 6 b ∠ACB, 六6in60-sin45' a∠ADH- 33 .BD=BH+DH≈ △MDEn△MC小瓷-能与是 ∴.b=26. AH 31.8cm. ..DH= AB AC 10 14 BC=12cm,∴.CD=31.8-12≈ 18BC=24, (2)”sn∠ACB sin B tan∠ADH≈2AH. 53 sin B' 在Rt△ACH中，∠ACH=37 20(cm). nDc名- 14 :tan∠ACH2A, 答：A到BD的距离为24cm,C,D两点间 的距离为20cm. 3 CH .'sin B= AC ∠B=60, AH 4 (2)如图所示，过点E作EG⊥CD于点G, .CH= 方法二：由(1)，得AC=18.又cosA= 过点A作AF⊥EG交GE的延长线于点F, AB :.tan B-BD D tan∠ACH3AH. =3, .DC=DH-CH, 则四边形AFGH是矩形，∴.FG=AH 音AB=0 24cm. 由勾股定理，得BC=24,.tan∠DBC BD=3 CD.AC-CD'+AD', 2AH-AH-80, ",“点E正好在CD的垂直平分线上， 解得AH=45米， CD 1 BC 3 196=cD+(10-cD八. ∴DG-2CD≈10cm CH=号AH=60米， ∠EDC=60°，∴.EG=5DG=105≈ 19.解：(1)如图所示，过点C作CE⊥AB于 ∴.CD=83,CD=-33(舍去)， ∴.BH=CH-CB=60-33=27(米)， 17.3(cm),∴.EF=FG-EG≈7cm. 点E, ∴.CD的长度为85米 答：限睛所在的位置应上升的距离为 .山坡AB的坡度为45：27=1· 21.解：如图所示，过点P作PE⊥BC于点E 7 cm. 过点A作AD⊥PE于点D,则四边形 第二十七章达标检测卷 ADEB是矩形， .△AEC为直角三角形，∴.cos∠CAB .'DE=AB=520 m. 1.C2.B3.B4.B5.B6.C7.D 怎-专即侣-专解得AB-8, 8.B9.D10.D11.D12.D AE 4 设PD=xm, 在Rt△APD中，∠PAD=68.2°， 23.解：(1)如图所示，过点C作CH⊥BG,垂13.-814.(2,2√2) PD 由勾股定理，得CE=√AC一AE= .AD= 足为点H.新坡面AC的坡度为1t3,15.一1<y<0x≤-5或x>0 √10-8=6. ∴.BE=AB-AE=12-8=4, BE=AD-是m, n<CAH-后-停i∠CaH=30. 16.(1)(4,15)(2)4 17.解：)：反比例函数y-二的图像经过 ∴.在Rt△CEB中，由勾股定理得BC= ∴.PE=PD+DE=(x十520)m,CE= 即新坡面AC的坡角为30°，∴·AC= 2CH-10米. 第一、三象限。 CE2+BE2=√62+4=2√13， Bc-BE-120-2）m (2)新的设计方案不 .k-4>0 ,.△ABC的周长=AB+BC+AC=12+ 能通过.理由：坡 解得k>4. 213+10=22+2√13. 在R1△PCE中，anC-tan56.31°-PE 面BC的坡度为 ,k的取值范围是>4. (2)如图所示，过点D作DF⊥AB于点F CE 1:1, (2),反比例函数图像过第一象限的两点 ,AD是边BC上的中线， x+520 1.5, .BH=CH=5米 (a+5,y1),(2a+1,y),且y,y1 ∴·点D是BC的中点. 120-号 .a+5<2a+1,