第二十四章 一元二次方程 达标检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（冀教版2012）

优*密卷九年级上册数学·N 8.已知a,b是方程x2一3x-5=0的两根，则代数式2a3一6a2+b2+7b+1的值是() A.-25 B.-24 C.35 D.36 第二十四章达标检测卷 9.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中，出水一 @时间：120分钟☑情分：120分一· 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何.”（丈、尺是长度单位，1丈=10尺）其大意为：有一个水 池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把 题号 二 三 总分 这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水深为() 得分 A.10尺 B.11尺 C.12尺 D.13尺 10.欧几里得的《原本》记载，形如x2十ax=b2的方程的图解法：画Rt△ABC,如图所示，使 一、选择题（本大题共12个小题，每个小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一 ∠ACB=90,BC=?,AC=b,再在斜边AB上截取BD=受，则该方程的一个正根 项是符合题目要求的) 1.用配方法解方程x2一4x一1=0时，配方后正确的是() 是( A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=17 C.(x-2)2=5 D.(x-2)2=17 2.一元二次方程x2一5x十2=0根的判别式的值是( A.AC的长 B.AD的长 C.BC的长 D.CD的长 A.33 B.23 C.17 D./17 11.若关于x的一元二次方程x2一2x十b十1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y= 3.(保定高碑店月考)已知关于x的一元二次方程x2十bx十c=0有一个非零实数根c,则b十c kx十b的大致图像可能是( ) 封 的值为( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 0 4.应用意识关于x的一元三次方程2x-3x+号-0根的情况，下列说法正确的是( 拟 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 12.有两个一元二次方程M:ax2十bx十c=0,N:cx+bx十a=0,其中a·c≠0，a≠c,下列四 C.没有实数根 D.无法确定 个结论： 5.已知关于x的一元二次方程x2一mnx十m十n=0,其中m,n在数轴上的对应点如图所示， ①如果M有两个相等的实数根，那么N也有两个相等的实数根； 线 则这个方程的根的情况是( ) ②如果M与N有实数根，则M有一个根与N的一个根互为倒数； ③如果M与N有实数根，且有一根相同，那么这个根必是1； ④如果M的两根符号相同，那么N的两根符号也相同。 除 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 其中正确的是() 6.新视野某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面 A.①②③ B.①②④ 积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( C.②③④ D.①③④ A.19% B.20% 二、填空题（本大题共4个小题，每个小题3分，共12分） C.21% D.22% 13.抽象能力)若x=3是关于x的方程a.x2-bx=6的解，则2023一6a十2b的值 7.x1x:是关于x的一元二次方程x2一mx十m一2=0的两个实数根，是否存在实数m使 为 孙 1+1=0成立？下列结论正确的是( 14.已知关于x的方程x2一(m十3)x十m一7=0，若有一个根为0，则m=:若两根之 和为0，则m= A.m=0时成立 B.m=2时成立 15.若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2一10x十m=0的两个实数 C.m=0或2时成立 D.不存在 根，且其面积为11，则该菱形的边长为 16.已知实数m,x满足(mx1一2)(mx2一2)=4. 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2-(2k一1)x十k2十k-1=0有实数根. (1)求k的取值范围 （1)若m=321=9,则x= (2)若此方程的两实数根x1,x2满足x1十x-11,求k的值。 (2)若m,x1,x1为正整数，则符合条件的有序实数对(x1,x)有 个 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(8分)应用意识解方程： (1)x2-2x-2=0: (2)(x-3)2+4x(x-3)=0. 20.(8分)创新意识净我们规定：对于任意实数a,b,c,d有[a,b]*[c,d]=ac一bd,其中等式 右边是通常的乘法和减法运算，如：[3,2][5,1]=3×5一2×1=13 (1)求[一4,3]*[2，-6]的值 (2)已知关于x的方程[x,2x一1]*[mx十1，m]=0有两个实数根，求m的取值范围. 18.(8分)阅读理解)阅读下列材料，解答问题」 解方程：(2x-5)2+(3x十7)2=(5x十2) 解：设m■2x一5，n■3.x十7，则m十n=5x十2， 则原方程可化为m2十n2=(m十n)2, 所以mn=0,即(2x-5)(3.x+7)=0, 5 7 解得工1=2x:=一3 优汁密卷 请利用上述方法解方程(4x一5)2+(3x一2)2=(x一3)2. 21.(9分)模型观念》如图所示，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部22.(9分）（石家庄晋州期中）如图所示为某年10月的日历表，在其中用一个方框圈出4个数 分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留两个1米的小门，设橱栏BC长为x米。 (如图中虚框所示)，设这4个数从小到大依次为a,b,c,d. (1)AB=米（用含x的代数式表示）， (1)若用含有a的式子分别表示出b,c,d,其结果应为：b= (2)若矩形围栏ABCD的面积为210平方米，求橱栏BC的长. d= (3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值，若 (2)按这种方法所圈出的四个数中，ab的最大值为 不可能，请说明理由， (3)嘉嘉说：“按这种方法可以圈出四个数，使得bc的值为135.” 淇淇说：“按这种方法可以圈出四个数，使最小数a与最大数d的乘积ad为84.” 请你运用一元二次方程的相关知识分别说明二人的说法是否正确. 1米 日一兰三四五大 国庆书 2345678 9101112i3i415 61718920.2:22 23242526272829 3031 优+密卷 -7 23.(10分)已知关于x的一元二次方程(a十b)x2+2cx十(b一a)=0,其中a,b,c分别为24.(12分)应用意识水果中的牛油果和橘子的维生素含量很高，因此深受人们喜爱，某水果 △ABC三边的长， 商家11月份购进了第一批牛油果和橘子共300千克，已知牛油果进价每千克15元，售价 (1)如果x一一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 每千克30元，橘子进价每千克5元，售价每千克10元. (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (1)若这批牛油果和橘子全部销售完获利不低于3500元，则牛油果至少购进多少千克？ (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. (2)第一批牛油果和橘子很快售完，于是商家决定购进第二批牛油果和橘子，牛油果和橘子 的进价不变，牛油果售价比第一批上涨a%(其中a为正整数)，橘子售价比第一批上涨 2a%:销量与(1)中获得最低利润时的销量相比，牛油果的销量下降α%，橘子的销量保持 不变，结果第二批中已经卖掉的牛油果和橘子的销售总额比(1)中第一批牛油果和橘子销 售完后对应最低销售总额增加了2%，求正整数a的值. C优汁密卷 -823.解：(1)9495.593 1)2-2(k2+k-1)=252-6k+3 C供渐春 (2)①九(2)班平均分高于九(1)班： x1+x=11, ②九(2)班的成绩的中位数高于九(1)班： 参考答案 .2k2-6k十3=11，解得k=4或k=-1 ③九(2)班的成绩比九(1)班稳定. 克年缓上原数学+N (写出两条即可) :<景k=- (3)95.5理由：因为从样本情况看，九(2) 20.解：(1)[-4,3]*[2，-6]=-4×2-3× 程度上可以避免行程中充电耽误时间，且 班有一半的学生成绩在95.5分以上.可以 第二十三章达标检测卷 B型号汽车比C型号汽车更经济实惠，故 (-6)=10. 估计，如果标准成绩定为95.5分，九(2)班 (2)根据题意，得x(mx+1)一m(2x 1.B2.C3.C4.D5.C6.D7.C 建议选择B型号汽车，（合理即可） 有一半的学生能够被评定为“优秀”等级， 1)=0, 8.A9.D10.C11.D12.A 20.解：(1)9085解析：一班的竞赛成绩出 (合理即可) 整理，得mx2十(1一2m)x十m=0. 13.乙14.915.616.(1)6(2)100.8 现次数最多的是90分，即众数是90分，所 24.解：(1)6.867甲组平均分为(4×1+ 以b=90. 关于x的方程[x,2x一1]*[mx十1， 17.解：这样定价不合理. 5×2+6×5+7×2+8×1+9×4)÷(1+ 理由如下： 一班和二班参加竞赛的人数相等，均为5十 m]=0有两个实数根， 2+5+2+1+4)=6.8(分). ∴.(1一2m)多一4m·m≥0且m≠0， 5+4+1=10, 9十2十4=20（人），二班A等级的人数为 (2)乙组的成绩更好，理由：乙组的方差小 20×45%=9(人)，B等级的人数为20× 加权平均数为16×品+20×着+27× 5 1 于甲组的方差，所以乙组的成绩更稳定，乙 解得m≤且m≠0， 5%=1(人)，C等级的人数为20×35%=7 组的成绩更好」 21.解：(1)(51-3x) 18.7(元/千克). (人)，D等级的人数为20×15%=3（人）， (3)从优秀率看，甲组的成绩比乙组的成 (2)依题意，得(51-3x)x=210, 算术平均数为16+20+27 把二班竞赛得分按从大到小的顺序排列， 绩好 21(元/千克) 处于中间位置的两个数是90分和80分， 整理，得x一17x十70=0， 3 第二十四章达标检测卷 解得x1=7,x2=10. 21>18.7, 故d=(90+80)÷2=85. ∴，将这种什锦糖果的价格定为这三种糖果 (2)一班竞赛成绩的平均分为(5×100十 1.C2.C3.B4.C5.A6.B7.A 当x=7时，AB=51-3x=30>25,不合 9×90+2×80+4×70)÷20=87.5(分)， 题意，舍去： 价格的算术平均数不合理该什锦糖果合 8.D9.C10.B11.B12.B 当x=10时，AB=51-3x=21<25,符合 理的价格为18.7元/千克， 二班竞赛成绩的平均分为100×45%十 90×5%+80×35%+70×15%=88(分). 13.201914.7-315.14 题意. 18.解：(1)16 (2)78.544%解析：这次测试中，将成 (3)八年级一班表现得更稳定一些，理由： 16.(1)18(2)7 ,栅栏BC的长为10米 17.解：(1)x2-2x-2=0,∴.x-2x十1 (3)不可能.理由如下： 绩按从低到高的顺序排列，成绩的中位数 一班的方差为108.75，二班的方差为 136,108.75<136,,八年级一班表现得更 3,.(x一1)2=3，x-1=士3，解得 依题意，得(51一3x)x=240， 是第25,26个数据的平均数， 中位数为78+79 稳定一些 x1=1十3，x2=1-3. 整理，得x-17x十80=0. 78.5(分)， 21.解：(1)75756 (2)".(x-3)2+4x(x-3)=0, ,(-17)2-4×1×80=-31<0 2 (2)选A供应商供应服装.理由如下： ..(x-3)[(x-3)+4x=0, .方程没有实数根， 成绩不低于80分的人数占测试人数的百 ,A,B两家供应商供应材料纯度的平均 .(x-3)(5x-3)=0,.x-3=0或 ,∴.矩形围栏ABCD的面积不可能达到 分比为16十5×100%=44%. 50 值一样，B的方差比A的大，A更稳定， 3 240平方米。 (3)不正确.理由如下： ,选A供应商供应服装，（合理即可） 5x-3=0,解得x1=3,x2=5 22.解：(1)a+1a+7a+8 ,甲的成绩77分低于中位数78.5分 22.解：(1)初中5名选手的平均分为 18.解：(4x-5)2+(3x-2)=(x一3)2，设 (2)552 ,∴，甲的成绩不高于一半学生的成绩 75+80+85+85+100 m=4x一5，n=3x一2，则m一n=(4x (3)嘉嘉的说法错误，理由如下： =85(分)，即 19.解：(1)A型号汽车的平均里程为 5 5)一(3x-2)=x-3,原方程化为m2+ 根据题意，得(a十1)(a十7)=135 190×3+195×4+200×5+205×6+210×2 a=85: n2=(m一n)2,整理，得mn=0,即(4x一 整理，得a+8a-128=0, 3+4+5+6+2 由条形统计图中的数据可知初中部分数 5)·(3.x一2)=0，则4x一5=0或3.x 解得a1=8,a:=一16（不符合题意， 200(km): 出现次数最多的是85分，故b=85: .5 2 舍去). 20个数据按从小到大的顺序排列，第10， 高中部5名选手的成绩是70,75,80,100， 2=0,解得x=4x:=3 10月8日为周六，不符合题意， 11个数据均为200km,所以中位数为 100,故c=80. 19.解：(1)，关于x的一元二次方程x2 ,嘉嘉的说法错误. 200km: (2)由表格可知初中部与高中部的平均分 (2k一1)x十k2十k一1=0有实数根， 淇淇的说法正确，理由如下： 205km出现了六次，次数最多，所以众数 相同，初中部的中位数高， .[-(2k-1)]2-4×1×(k2+k-1) 根据题意，得a(a十8)=84， 为205km. 故初中部决赛成绩较好 -8k十5≥0， 整理，得a2十8a一84=0， (2)选择B型号汽车，理由如下： (3)st=[(75-85)2+(80-85)2+ 解得k< 解得a1=6,a:=一14（不符合题意， A型号汽车的平均里程、中位数和众数均 舍去) 低于210km,且只有10%的车辆能达到行 (85-85)2+(85-85)2+(100 (2)由根与系数的关系可得x1十xa= "10月6日为周四，符合题意， 程要求，故不建议选择：B,C型号汽车的平 85)]=70 2k-1, .淇淇的说法正确 均里程、中位数和众数都超过210km,其 :s制中<高中， x1x=k2+k-1, 23.解：(1)△ABC是等腰三角形， 中B型号汽车有90%符合行程要求，很大 ∴，初中代表队选手成绩较为稳定 xi十x2=(x1十x2)2-2x1x2=(2k 理由：当x=一1时，(a十b)-2c十(b a)=0, 实数根 (3)答案不唯一，如：八年级成绩更好，因为 .b=c, (2)将x=一2代人原方程，得4一2k十k一 八，九年级成绩的平均数相同，但八年级成 17.解：设2=名=7=，则a三3k,b=5k, .△ABC是等腰三角形 2=0, 绩的中位数、众数都比九年级要高，所以八 c=7k. (2)△ABC是直角三角形 解得k=2, 年级的成绩更好：如：九年级成绩更好，因 3a+2b-4c=9,.9k+10k-28k=9, 理由：方程有两个相等的实数根， ,.方程的另一个根为一k一（一2）=一2 为八、九年级成绩的平均数相同，但九年级 解得k=一1，.a=一3，b=一5，c=一7， .(2c)2-4(a+b)(b-a)=0, (-2)=0. 成绩的方差较小，成绩更稳定，所以九年级 ∴.a+b-c=-3-5-(-7)=-1. ∴a2+c2=b2, 故k的值为2，方程的另一个根为0. 的成绩更好 18.解：如图所示，可知点A的对应点的坐标 ',△ABC是直角三角形. 19.解：(1)9494 24.解：(1)能.△ABC是等腰直角三角形， 为(4,2)或（一4，一2）. (3),△ABC是等边三角形， (2)由题意，得94+94+94+y=93.75, ∴.∠A=45°，∠B=90°.，PR∥BC, .a=b=c 4 ∴.∠APR=90°.，△APR是等腰直角三 .原方程可化为2ax2十2ax=0. 解得y=93. 角形，AP=PR. r- ,a≠0，.x2十x=0, (3)由于极端值对平均分的影响较大，所以 ,PQ∥AC.∴.△PBQ也是等腰直角三角 x(x十1)=0， 去掉极端值后的平均分更能反映出选手的 形，PB=BQ. x1=0,x2=一1， 真实水平 设动点P从点A出发移动x个单位长度 即这个一元二次方程的根为x1=0,x多= 20.解：(1)设该景区七、八月游客人数的月平 时，口PQCR的面积等于7，依题意有 19,解：(1)证明：，AD是斜边BC上的高， -1. 均增长率为x. ,∠BDA=90 24.解：(1)设购进牛油果x千克，则购进橘子 根据题意，得50(1+x)2=72, 2×8-2x-28-x)2=7 ∠BAC=90°， (300一x)千克，根据题意，得(30一15)x十 解得x1=0.2=20%,xg=一2.2（不符合 解得x1=1,xz=7. .∠BDA=∠BAC (10-5)(300-x)≥3500，解得x≥200. 题意，舍去). 7a 故运动时间是。秒或。秒 又：∠B为公共角， 答：牛油果至少购进200千克. 答：该景区七、八月游客人数的月平均增长 22 ∴.△ABD∽△CBA. (2)根据题意，得30(1+a%)×200(1一 率为20%. (2)由(1)知△ABD∽△CBA, a%)+10(1+2a%)×100=(30×200+ (2)设该纪念品的销售价应定为y元，则每 ·当动点P从点A出发运动秒或秒 BD BA 时，☐PQCR的面积等于7. 10×10)×1+2%),整理，得-a2+ 件纪念品的销售利润为(y一30)元，日销 (2)口PQCR的面积能为16. BA-BC' 售量为100-10×y二40 =(180-2y)件 6 70 5 20a=140,解得a1=10,a:=3(不合题 根据题意，得(y一30)(180一2y)=1600, 由(1)得口PQCR的面积为2 X82 221 ∴，BD=3.6. 意，舍去).答：正整数a的值为10. 整理，得y2-120y+3500=0, 解得y1=50,y:=70. (8-x)片，当□PQCR的面积为20.解：1)证明：：BD=2AD,CE=2AE, 阶段达标检测卷（一） 又，要利于游客 16时， 1.C2.D3.D4.A5.D6.A7.B .y=50. 1 1 1 又，∠DAE=∠BAC, 8.C9.B10.C11.A12.B 答：该纪念品的销售价应定为50元. ×8-2-2(8-x=16, 解得x1=x2=4, ∴.△ADEC∽△ABC. 13.有两个不相等的实数根 21.解：(1)设裁去的正方形边长为xcm (2),△ADE∽△ABC, 由题意，得(28-2x)(12一2x)=192, 14.15 解得x1=2,x2=18(舍去). 此时运动时间为号-2（秒。 15.-15x2-(2n-1)x+n(n-1)=0 答：裁去的正方形的边长为2cm. □PQCR的面积不能为20，理由：当 ÷∠ADE-∠ABC,股-A沿-司 16.= 17.解：(1)，x2-10x十22=0，.x8-10x (2)设裁去的左侧正方形的边长为acm □PQCR的面积为20时， ∴.DE∥BC,∴.△DEF∽△CBF, -22,则x2-10x+25=-22+25,即 由题意，得(12-2a)28-2a） 2×8-2-8-=20. 8E-8脂品-Fc=6 21 2 =130, (x-5)2=3,.x-5=士√3，即x1=5十 解得a1=1,a2=19(舍去). 此方程无解 21.解：(1)证明：，∠DAP=∠CBP, 3,x2=5-3. 答：裁去的左侧正方形的边长为1cm. .当动点P从点A出发运动2秒时， ∠DPA=∠CPB, (2)7(x-5)=(x-5)2,.(x-5)2- 22.解：(1)设平均每次下调的百分率为x. □PQCR的面积等于16.不存在□PQCR ,.△ADPc∽△BCP 7(x-5)=0,则(x一5)(x-12)=0, 根据题意，得6000(1一x)=4860,解得 的面积等于20. (2)△ADP与△BCP不是位似图形 x-5=0或x一12=0，解得x1=5, x1=0.1=10%,x2=1.9=190%(舍去) 第二十五章达标检测卷 x2=12. 答：平均每次下调的百分率为10%： (:△ADPABCP,S-8S. 18.解：(1)证明：k2一4(k一2)=k一4k+8= (2)方案①：可优惠4860×100×(1-1.C2.D3.A4.B5.D6.B7.C (k-2)3十4， 98%)=9720(元)：方案②：可优惠80×8.C9.B10.C11.C12.D 部 ,(k一2)≥0， 100=8000(元).8000<9720，故方案① 13.214.9m15.201 又∠APB=∠DPC,.△APB∽△DPC, .(k一2)2+4>0，即b2-4ac>0, 更优惠. n2 ,不论k取何值，方程必有两个不相等的23.解：(1)8580(2)85 16.(1)45°(2)2m十m 部品-景 34 58