第22章 相似形 素养提升检测卷-【优+密卷】2025-2026学年九年级上册数学（沪科版2012）

15.解：设4十2-么-十5-ka+2-3k,b-4k) PA的比为12，AD-8,S-名FPC- 于点P,此时△PEF的周长最小， 18.解：(1)△A,B1C1如图①所示 4 6 DC⊥BC,∴，点H在直线BC上 (2)△A:B:C如图②所示. c十5=6k,即a=3k-2,b=4k,c=6k-5, 设AB=x,则DC=x,AP=x,DP=x一4，在 四边形AFCE是菱形， ,2a-b+3c=21,∴.2(3k-2)-4k+3(6k R△APD中，AP=AD+PD2,.x2=8十 ∴，AF=CF=CE=AE. 5)=21,k=2,a=4,b-8,c=7,.4a-3劭十c (x一4)2，解得x=10,.AB的长为10. ,AF2=BF2+AB2,∴AF2=(4-AF)十22，解 4×4-3×8+7=-1. 22.解：由AB=1.5m,S。Am=1.5m,可得BC 16.证明：，BD,CE是△ABC的高，∴，∠ADB=∠AEC 2m,若设甲设计的正方形桌面的边长为xm 得AF- 90.:∠A=∠A,∴△ADBn△AEC,AP 由DE∥AB,得Rt△CDE∽Rt△CBA, BF-DE-3.CH-3 ① AC.'∠A=∠A…△ADEn△ABC. A 2 .AD∥BC,.△DEPn△CHP 19.解：由题意，得BD=53里， CD=95尺，EF=7尺， 17,证明：△DE0与△AB0是位似图形，OA OD 解得=号 8- DF=3里 如图所示，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高 如图所示，过点E作EG⊥ OF 第22章素养提升检测卷 AB于点G,交CD于点H, ,.又：△OEF与△OBC是位似图形，∴元 BH,交DE于点P,交AC于点H 则BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE …8阳g0c-0ra. OE 1.C2.A3.B4.D5.C6.B7.A DF=3里. 8.A9.C10.B 18.解：(1)如图①所示，△A1B,C1为所作. 由AB=1.5m,BC=2m, 1h.2412.5-1D13y=-+12 CDAB,△BCHO△EAG,- (2)如图②所示，点M为所作 3 得AC-√AB+BC-√1.5+2-2.5(m) 由AC·BH-AB·BC,可得 14.() ∴.AG1642.7尺，1642.7尺164.3丈， BHAB·BC_,5X2-1.20m. .AB=AG+0.7165(丈) AC 2.5 15.解：设号-号-日-k(≠0)，则a5t,6-7, 答：山AB的高约为165丈. 设乙设计的正方形桌面的边长为ym. c=8k,代人3a-2b+c=9,得15k-14k+8k= 20.解：(1)证明：，AD=AB, DE∥AC,,Rt△BDE∽R1△BAC, 9,解得=1，.a=5,b=7,c=8,∴.2a+4b .∠ABD=∠ADB 19.解：(1)1.5 3c=2×5+4×7-3×8=10+28-24=14. ,ED垂直平分BC,.EB-EC, (2)结合光的反射原理，得∠CED=∠AEB 16.解：(1)，AB=AC,AD平分∠BAC,.AD⊥ ∴.∠EBC=∠ECB,.△FBDn△ACB」 在Rt△CED和Rt△AEB中， 解得y一别。 CB.BE⊥AC,·∠C+∠DAC=90°，∠C+ FD DB ,∠CDE-∠ABE-90°，∠CED-∠AEB ∠CBE=90°，.∠CAD=∠CBE.:∠ADC= (2)'△FBDn△ACB,AB-BC .R:△CEDORL△AEB, :身>9>y ∠BEC=90,,:△ADCo△BEC.∠DBF= :ED垂直平分BC,心BC乞AB2 .DB 1.FD 1 -器培-品AB=15 ∠CAD,∠BDF=∠ADC=90°，，△BDF c ,甲同学设计的方案较好 △ADC,,∠EAF=∠DAC,∠AEF=∠ADC= 答，学校旗杆AB的高度是15米」 印 23.解：(1)证明：如图①所示，连接AC,交EF于 90°，∴.△AEFOO△ADC,,与△ACD相似的三角 AD=2心FD=FA=2. 20.解：设经过x秒钟△PBQ与△ABC相似，则 点O. 形有△BFD,△BCE,△AFE 21.解：(1)四边形ABCD是矩形 AP=2x cm,BQ=4x cm. ,四边形ABCD是矩形， (2)证明：，△BDF∽△ADC,△AEF∽△ADC, .AB-CD,∠BAM=∠ADC=90°， .AB=8 cm,BC=16 cm .AB-CD.ADBC. BF DF ∴.∠FAM+∠ACD=90°. ..BP=AB-AP-(8-2x)cm △BDF∽△AEF,∴AEEDE4 AD∥BC, DF EF BF⊥AE,∴.∠AFM=90°， 又：∠B是公共角， ∠AEO=∠CFO, ∠AFB=∠EFD,∴.△ABFc∽△EDF '.∠FAM+∠AMB-90°， ①当-即8-时，△PB0 ∠EAO=∠FCO. 17,解：(1)证明：，∠A=36°，AB=AC,.∠ABC= ∴.∠ACD=∠AMB,∴.△ABM∽△DAC. 8 ,点A与点C关于EF所在的直线对称， ∠C-72°，：BD是∠ABC的平分线，·∠ABD .AB AM △ABC,解得x=2: ∠DBC=36,.∠BAD=∠ABD=36,.AD AD CD .AO=CO,AC⊥EF @当C-盼即8-告时，△08P BD.:∠DBC=36°，∠C-72,∠BDC=72°， ,AB=CD,.AB2=AM·AD 16 8 :∠AEO=∠CFO,∠EAO=∠FCO, .∠BDC=∠C,∴.BD=BC,.BD=BC=AD. (2),四边形ABCD是矩形，∴，AC=BD A0=C0, △ABC,解得x=0.8. .△AEO≌△CFO(AAS) :∠A=∠DBC=36,∠C=∠C,.△ABC0 综上，经过2秒或0.8秒△PBQ与△ABC相似. △ABM△DAC,驰-20 AE=CF,且AECF, 21.解：(1)证明：由折叠的性质可知，∠APO=∠B .BM=12.AB=CD.AC=BD=16. 90°，∴.∠APD+∠OPC=90°.：四边形ABCD ,四边形AFCE是平行四边形 △BDC,C-sB=-ACCD.A 又，AC⊥EF,.四边形AFCE是菱形 AC·CD. A23 为矩形，.∠D=∠C=90,.∠POC+ CD164 (2)设AD=x,则x2=a(a-x),x2+ar一a=0,解 ∠OPC=90,.∠APD=∠POC,.△OCP (2)如图②所示，作 设AM=3x,则CD=AB=4x, 点F关于CD所在 △PDA%g 得x=二a±+a-二a士5a.“x>0. 直线的对称点H, 2 2 六BM=12=V3m)+(4x)=5x,解得x=1是 51 连接EH,交CD (2)△OCP∽△PDA,AD=p,Op与 ∴--a5a,AD-a5a 2 2 AB-红- 22.解：(1)40 线于点N, 21.解：(1)证明：四边形ABCD为菱形， (2)分两种情况： △AGMn△NCM.M OE-2,EF-TOEEF-T0E-1 AC⊥BD,AB=BC 如图①所示， 0F=√EF+0E=+2=5. EB⊥AB,∴.∠EOB-∠EBA=90° ,△BCDn△BAC, 由①知，GM=2MC,∴.2NC=AG 由作图得EF-FH-1.OH=OP, ,∠OEB=∠BEA,∴.△EOB∽△EBA, 紧肥 ∠BAC=∠AEB=90°， .OH=OP=OF-FH=5-1. ∴.∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE, 器器 AC=AD=2, △ACNABAF,÷2S-A是 .PE=OE-OP=2-(5-1)=3-5, OE BE BC=√E, AF 2AG 器-8學 AB-BC,OB-BC √2 (2):∠AOB=∠ABE=90°，∠OAB=∠BAE 设BD=x,则AB-2十x, x+2 AB=2AGC六=AC 六点P在数轴上表茶的数为后-一1器的值 OA AB .2CN·AG-AF·AC, ÷.△AOBD△ABE,AB-AE 解得x=一1士3 ∴.AG2=AF·AC. x>0,∴.BD=x=-1十3. 为51 2 AE=6,AB=59以-解得0A- :△BCD△BAC,ACBC CD BD 期中综合能力检测卷 19.解：1：点B2,-3)在双曲线上，∴专=-3， 7 :EC=20A二AE=3-6=3 1.C2.D3.C4.D5.B6.A7.A8.D AC=2,BC=√2，BD=-1+3, 解得=一6，，双曲线对应的函数表达式为 9.B10.A 2.解：1)：一次函数y=2+1的图象与x轴、 CD=2x5- =6一√2 12.∠ACD=∠B(答案不唯一) y一兰：AC=点A的横坐标是-一名即 y轴分别交于A,B两点， 3 则点A,B的坐标分别为(-2,0)，(0,1) 如图②所示， 14.(1)1(2)m=-1或-17<m≤-10 工=一名“将工=一号代人双曲线对应的函数 ,△ADC∽△ACB 表达式，得y=4, 当y=2时y=2x+1=2,则x=2,即点D(2,2) 15.证明：，AD·AC-AB·AE, 2 架怨 六点A的坐标是( 将点D的坐标代人反比例函数表达式，得k= 24小 2×2=4, AD AD+2 ,∠DAE=∠BAC m十n=4解得m一2， 则反比例函数表达式为)一工 .AD=2(负值舍去)，AB=22 ·∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE 2m十n=一3， n=1, AC CD ∠DAB=∠EAC :△ADCD△ACB,ABBC .直线对应的函数表达式为y=一2x十1。 (20设点M(m,) .△DABU∽△EAC, (2)设直线与x轴的交点为D, .2-CD 22ECD-1. 16.解：(1)如图①所示，△A'B'C即为所求. 1 则Saer=2EDX(xM一rD)=2X2X(m (2)'△BEF△BAC,且相似比为34 当y=0时，一2x十1=0，解得x= 2)=2S△A0m=2×1=2, 综上所述，CD的长为√6一√2或1 腊慨- 点D的坐标为号0小∴0D= 则m=4,即点M(4,1). 23.证明：(1)，BF⊥AD ②以点M,E,F为顶点的三角形与△AED相似， 如图②所示，△BEF即为所求， ∠BEA=∠BED=90 2×4+ 理由： 2 由①得，点M(4,1)、点E(2,0)、点F(4,0》 在R△ABE和R△DBE中，BE=BE, BA=BD, 则ME=√5=AB,EF=2=AO,MF=1=OB， ,∴，Rt△ABE≌Rt△DBE(HL), 则△EMF≌△ABO(SSS). 20.解：(1)设现在实际购进这种水果每千克a元，根 ∴.∠BAD=∠BDA=∠C+∠CAD. ,DEOB,则△AOB∽△AED, 据题意，得80(a十2)=88a (2)①如图①所示，过点G作GH∥AD交BC于 .以点M,E,F为顶点的三角形与△AED相似. 解得a=20. 点H. 23.解：(1)在y=x一b中，令x=0,得y=一b 答：现在实际购进这种水果每千克20元 AG=BG:..BH=DH. .B(0,-b). (2)①y是x的一次函数， BD=4DC,设DC=k,BD=4, 17.解：(1)反比例函数y= 2一k的图象经过 AB=8,A(0,b),.b一(-b)=8,解得b=4, ,设函数表达式为y=x十b, ∴.BH-DH-2k, .抛物线L的表达式为y=一x十4x=一(x ,GH//AD,'.△CDMc∽△CHG 点A(3,-2), 将(25,165)，(35,55)分别代入y=kx+b,得 2)+4, 2 .2-k=3×(一2)，解得é=8. 256士6-165，解得使=1， .抛物线L的对称轴为直线x=2. (2)由1)知，反比例函数的表达式为y= 35k+b=55. b=440, .y=-11x+440. ∴.GM=2MC x ,一6<0，.在每一象限内，y随x的增大而增 ②设利润为W元，则 大.“点A(x,y1),B(x2y:)均在反比例函数 W=(x-20)(-11x+440)■-11(x-30)2+ 抛物线L的顶点C坐标为台，)》 y-2二的图象上，且0<x,<1心y>y1. 1100. :点C在直线m下方， ∴当x=30时，W大=1100. 18.解：(1)EF=FH,OH=OP 答：将这种水果的单价定为30元/千克时，能获得 .C与直线m的距离为b 4(6 ②如图②所示，过点C作CN∥AG交AD的延长 (2):EF⊥OE,∠FEO=90° 最大利润，最大利润是1100元. 2)2+1.6.推理能力》（芜湖南陵一模）如图所示，△ABC纸板中，AC=4, 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 优+密卷九年级上册数学·1 BC=2,AB=5,P是AC上一点，沿过点P的直线剪下一 11.一个三角形的边长分别是3,4,5，另一个与它相似的三角 第22章素养提升检测卷 个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法， 形最小边长为6，则另一个三角形的周长是 那么AP长的取值范围是( 12.点C是线段AB的黄金分割点，若AB=2cm,则较长线段 回时间：120分钟☑满分1150分 A.3<AP<4 B.3≤AP<4 BC的长是 cm. 题号 三 四 五六 七 八 总分 C.2<AP<3 D.2≤AP<3 13.如图所示，在△ABC中，BC=12,BC边上的高AH=8,矩 得分 形DEFG的边EF在边BC上，顶点D,G分别在边AB, AC上.设DE=x,矩形DEFG的面积为y,那么y关于x 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 的函数表达式是 .(不需写出x的取值范围)》 1.把△ABC经过下列变形，与△ABC相似的是() 第6题图 第7题图 A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘以2 D.各边长都平方 7.如图所示，在□ABCD中，E是AD边的中点，连接BE,并 延长BE交CD的延长线于点F,则△EDF与△BCF的周 之.如图所示，已知直线AB/CD/EF,BD=2,DF=4,则AS 长之比是( ) 第13题图 第14题图 烟 的值为( A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:5 c 14.如图所示，在等边△ABC中，AB=2,点P为AC边上一 D.1 8.(淮北源溪模拟)如图所示，在△ABC中，D为BC上一点，若 动点，M为BP的中点，连接CM AB=AC=CD=2,∠ADB=108°，则AD的值为( (1)当点P为AC的中点时，CM的长为 A.5-1 B.3-/5 D.5 (2)若点P移动到使∠PMC=60°，则CM的长为 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 9.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分 ∠ABC交AC于点D,CE平分∠ACB交BD于点E,若I5.已知号-号-日，且3a-2b+c=9,求2a+4b-3c的值. b 第2题图 第3题图 AD=5,则BE的长是()■ 3.如图所示，四边形ABCD与四边形GBEF是位似图形，则 位似中心是( A.4 B.55-5 A.点A B.点B C.点F D.点D C.55-5 -5-5W5 线4.如图所示，AB,CD相交于点O,ADCB,若AO=2,BO= 2 3,OD=2.4,则C0等于() 16.如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠BAC为锐角且不等 A.2.4 B.3 C.4 D.3.6 于60°，AD平分∠BAC交BC于点D,BE⊥AC于点E, AD交BE于点F. (1)写出图中所有与△ACD相似的三角形（全等除外）. 第8题图 第9题图 第10题图 (2)连接DE,求证：△ABFC△EDF 10.如图所示，正方形ABCD的两边BC,AB分别在平面直角 坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形AB'CD'与正方 第4题图 第5题图 5.美是一种感觉，当人体下半身身长与身高的比值越接近 形ABCD是以AC的中点O为中心的位似图形，已知AC= 孙 0.618时，越给人一种美感.如图所示，某女土身高165cm, 32,若点A'的坐标为(1,2)，则正方形AB'CD'与正方 下半身身长x与身高1的比值是0.60，为尽可能达到好看 形ABCD的相似比是() 的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为() A.6 1 A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm C.2 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 线上，人眼离地7尺，问山AB的高约为多少丈？(1丈=七、（本题满分12分） 17.如图所示，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC,BD是 10尺，结果精确到个位) 22.阅读理解)从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交， ∠ABC的平分线. 顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角 (1)求证：AD=CD·AC. 形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一 (2)若AC=a,求AD. 个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的 “完美分割线”. (1)如图①所示，在△ABC中，∠A=40°，∠B=60°，当 ∠BCD= 时，CD为△ABC的“完美分割线”， (2)如图②所示，在△ABC中，AC=2,BC=√2，CD是 20.如图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC,AC △ABC的“完美分割线”，求“完美分制线”CD的长。 于点D,E,BE交AD于点F,AB=AD. (1)求证：△FBD∽△ACB. (2)若AF=2,求DF的长 18.如图所示，已知图①和图②中的每个小正方形的边长都为 1个单位，顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三 角形. (1)将图①中的格点△ABC向上平移2个单位得到 八、（本题满分14分） △A,BC1,请在图中画出△A1B,C1· 23.推理能力)如图所示，在直角△ABC中，∠BAC=90°，D (2)在图②中画出一个以点C为位似中心，与格点△ABC 在BC上，连接AD,作BF⊥AD分别交AD于点E,交 位似的格点△A.B,C,且△A,BC与△ABC的相似比为六、（本题满分12分》 AC于点F. 2：1. 21.(合肥一模)如图所示，在矩形ABCD中，点E为对角线的 (1)如图①所示，若BD=BA,求证：∠BAD= 交点，BF⊥AE,垂足为点F,且BF的延长线交AD于 ∠C+∠CAD 点M. (2)如图②所示，若BD=4DC,取AB的中点G,连接CG (1)求证：AB2=AM·AD 交AD于点M,求证：①GM=2MC,②AG2=AF·AC. L-1-1-L (2)如果BD=16,BM=12,求AB的长度. © 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19.数学文化》据《九章算术》记截：“今有山居木西，不知其高. 山去五十三里，木高九丈五尺，人立木东三里，望木末适与 山峰斜平，人目高七尺，问山高几何？” 大意如下：如图所示，今有山AB位于树CD的西面.山高 AB为未知数，山与树相距53里，树高9丈5尺，人站在离 树3里的F处，观察到树梢C恰好与山峰A处在同一直 10