专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型（几何模型讲义）数学沪科版九年级上册

专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （24-25九年级上·广西·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3）如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由折叠的性质得出，，根据直角三角形的性质得出； （2）根据相似三角形的判定解答即可； （3）过点N作于点G，证明，得出，设，设，则，由勾股定理得出，解出，则可求出答案． 【详解】解：（1）四边形是矩形， ， 将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，，， ， ， ； （2）将沿翻折，使点恰好落在边上点处， ，， 又矩形中，， ，， ， ， ， ， ，， ； （3）过点作于点， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 平分，，， ，， 设，则， ， ， 解得， ， ． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质及矩形的性质是解题的关键． 例2（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点作交于点，利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）过点作交于点，利用相似三角形的判定证明，再利用相似三角形的性质即可得出结论； （3）根据等角对等边得到，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，再结合（2）中的结论即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作交于点， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过点作交于点， ∵， ∵， ∵， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， 由（2）得，， ∴． 例3（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题是几何图形的综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据，，可得，再由，可得，从而利用角角边证得≌即可； 根据，，可得，再由，可得，从而证得结论； 在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得∽，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌； （2）证明：，， ， ， ， ， ， ∽； （3）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ， ∽， ． 例4（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角得到角相等，进而判断三角形相似，根据相似三角形的性质即可得到答案； （2）根据平行线的性质得到角相等，进而得到边相等，再根据勾股定理即可得到答案； （3）先判断三角形相似，再根据垂线段最短得到答案即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 又∵， ∴， 在中， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， 在中， 即， 解得：， ∴的长为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴要想让取得最小值，只需要让取得最小值即可， ∵点P是边上的点， ∴时，最小，由（2）的过程可知：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，垂线段最短等知识点，解决此题的关键是合理的运用三角形的相似； 例5（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）（1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 【答案】（1）①见解析②见解析（2）①，理由见解析② 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）①根据正方形的性质及角的等量代换即可证明； ②根据正方形的性质及题意，设，则，证明，作，得到，进而证明，即可得证； （2）①证明，列出比例式即可解答； ②作交于点H，证明，列出比例式即可解答． 【详解】解：（1）证明：①∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵正方形中，E为的中点， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， 如图，作交于点H， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：①， 理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，作交于点H， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 1．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A．16 B．20 C．24 D．48 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，根据值的几何意义，即可得出结果． 【详解】解：作轴，轴，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵在第二象限， ∴， ∴； 故答案为： 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在等边中，，P、Q分别是边、上的点，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质．通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．先证明，由，得，则，即，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5、（2024·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠、相似三角形的性质与判定以及勾股定理，根据折叠可得是正方形，，可求出三角形的三边为，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证，三边占比为，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】解：过点作，垂足为， 由折叠得：是正方形，， ， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得，， 解得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质，根据题意分，，根据相似三角形的性质，列出比例式，求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴， 分两种情况讨论： ①当时， ∴ ②当时， 设，则 ∴ 解得： 即或 综上所述，或或． 故答案为：或或． 7．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点，），连接，是边上一点，设，若存在唯一的点，使，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，掌握相关的性质定理以及判定定理是解题的关键．设，则，由，则，证明，根据相似三角形的性质得到比例式，转化为一元二次方程，利用判别式等于0，构建方程解决问题． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 由题意， ， ． 故答案为：． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 【答案】81 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则：，证明，列出比例式求出的值，进而求出正方形的面积即可． 【详解】解：∵正方形， ∴， 设正方形的边长为，则：， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴正方形的面积为； 故答案为：81． 9．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质．证明，可得，设，可得，在中，利用勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E，F分别是边的中点， ∴， 设，则， ∵ ∴，即， 在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， 即． 故答案为： 10．（2024·湖南张家界·模拟预测）如图，点A是反比例函数（）上的一个动点，连接，过点O作，并且使，连接，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数图象上移动，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质． 过A作轴于点C，过B作轴于点D，可设，由条件证得，从而可表示出B点坐标，则可求得关于k的方程，可求得k的值． 【详解】解：过A作轴于点C，过B作轴于点D， ∵点A是反比例函数（）上的一个动点， ∴可设， ∴， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数图象上， ∴， 故答案为：． 11．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 【答案】/0.8 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．利用，，得出，再由，得出，则，求出，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，点E为中点， ∴， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在矩形中，是的中点，过点作交于点，连接．求证： (1)； (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）根据等角的余角相等得到，即可证明； （2）根据可得，根据是的中点得到，则，进而可证，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 即， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即． 13．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，，， (3)线段与的数量关系为，理由见解析． 【分析】（1）由，结合已知求解即可； （2）根据直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，补全证明过程即可； （3）由正方形的性质，结合已知可证明，可得，由同角的余角相等，结合对顶角相等，可证明，对应边成比例，结合正方形的性质，即可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：． （2）证明：在正方形中，， ∴，． 又∵， ∴， ∴，； 在和中，， ∴． 故答案为：，，，． （3）解：线段与的数量关系为，理由： 与的交点记为， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴线段与的数量关系为． 【点睛】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，对顶角相等，三角形相似的判定和性质． 14．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为1或2． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，同角的余角相等，解一元二次方程． （1）由，可得出，由同角的余角相等可得出，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列式，结合即可求出的长度． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，，，， ∴，即， ∴或， ∴的长为1或2． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识； （1）由是等边三角形，得到，利用三角形外角的性质得到，则，即可得到结论； （2）由题意得到，，由得到，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵等边，，且， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 16．（2023·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）或2 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定等等，掌握相似三角形的性质与判定定理是解题关键． 【尝试探究】（1）根据矩形的性质和垂线的定义可得，，则可证明，，据此根据全等三角形的判定定理可证明结论； （2）同（1）可证明，，则可证明，据此利用相似三角形的性质列出比例式求解即可； 【拓展应用】由勾股定理可得，证明，得到，由为等腰三角形且，可分两种情况讨论：和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【尝试探究】（1）∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，E为的中点， ∴， ∴， ∴； 【拓展应用】∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰三角形且， ∴， ∴， 当，则， ∴； 当，则， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或2． 17．（24-25九年级上·湖南·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 18．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 【答案】(1) (2)3 (3)或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， 即， ∴． （2）解：如图4，当时， ∵，， ∴∽， ∴， ∵， ∴点D为BC的中点， ∴． 如图5，当时， ∵， ∴， 过点A作，交BC于点F， ∴，， ，不合题意，舍去， ∴． （3）解：分两种情况： ①如图6所示，过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，则∠C＝90°，∴四边形OECD是矩形 ∵点A的坐标为（2，4）， ∴AD＝2，OD＝CE＝4， ∵∠OBA＝90°， ∴∠OBE+∠ABC＝90°， ∵∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠BAC＝∠OBE， 在△ABC与△BOE中， ∴△ABC≌△BOE（AAS）， ∴AC＝BE，BC＝OE， 设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x， ∴AC＝BE＝x－2， ∴CE＝BE+BC＝x－2+x＝OD＝4， ∴x＝3，x－2＝1， ∴点B的坐标是（3，1）； ②如图7，同理可得，点B的坐标（－1，3）， 综上所述，点B的坐标为（3，1）或（－1，3）． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质等知识；正确的作出辅助线，证明三角形全等是解题的关键． 21．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】()由可证，由可证，进一步可证； ()过点作于点，过点作，交延长线于点，由等腰三角形三线合一，得，进一步证得，可证，于是，得解点到的距离为； ()以点为端点，作线段，交延长线于点，则，可证，于是，得，从而求得． 【详解】（1）解：， ∴， ∵， ， ∴， ∴ 在与中， ， ∴； （2）过点作于点，过点作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即点到的距离为； （3）以点为端点，作线段，交延长线于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，. ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质；添加辅助线构造全等三角形，相似三角形得到线段之间的数量关系是解题的关键． 22．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（）根据旋转的性质可得，，进而证明，即可求解； （）根据（）的方法证明，进而证明，求得，则，然后根据三角形的面积公式，即可求解； （）过点作于点，证明得出，证明，设，则，代入比例式，得出，进而即可求解； 本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：． ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， 即，即， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ， 解得：， ∴， ∴， 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形重要模型之一线三等角模型 相似三角形是中考数学中经常出现压轴大题的知识点，占据着重要地位；相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了。本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 1 提炼模型 2 模型拓展 3 模型运用 4 模型1.一线三等角模型（相似模型） 4 12 动态旋转起源‌：该模型最初源于几何图形的动态构造，这种旋转过程揭示了模型从一般位置到特殊位置（如中点型、同侧型、异侧型等）的自然演变。‌“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等（或利用外角定理也可），从而得到两个三角形相似。 因模型在不同视角下呈现“K”或“M”形轮廓，各地教学中衍生出‌K型图‌（如华东地区）与‌M型图‌（如华北地区）的昵称差异。这种命名差异体现了模型视觉表现力的多样性。 （2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： （24-25九年级上·广西·阶段练习）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 1）一线三等角模型（同侧型） （锐角型） （直角型） （钝角型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ACE∽△BED。 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2 ∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 2）一线三等角模型（异侧型） 条件：如图，∠1=∠2＝∠3， 结论：△ADE∽△BEC. 证明：∵∠1=∠2，∴∠CBE=∠EAD（等角的补角相等），∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∵∠2=∠C+∠CEB（外角定理），∠3=∠DEA+∠CEB，∠2＝∠3∴∠C=∠DEA，∴△ADE∽△BEC. 3）一线三等角模型（变异型） 图1 图2 图3 ①特殊中点型：条件：如图1，若C为AB的中点，且∠1=∠2＝∠3，结论：△ACE∽△BED∽△ECD. 证明：∵∠1+∠C=∠2+∠DEB（外角定理），∠1=∠2，∴∠C=∠DEB，∵∠1=∠3，∴△ACE∽△BED。 ∴，∵C为AB的中点，∴AE=EB，∴，∴，∵∠2=∠3，∴△BED∽△ECD ②一线三直角变异型1：条件：如图2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.结论：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. 证明：∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABF+∠CBF=90°，∠A+∠ABF=90°，∴∠CBF=∠A， ∵∠ABD=∠BDE=90°，∴△ABC∽△BDE，∵∠ABD=∠AFE=90°，∴∠ABC=∠BFC=90°， ∴△ABC∽△BFC，同理可证：△ABC∽△AFB°，故△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB. ③一线三直角变异型2：条件：如图3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.结论：△ABM∽△NDE∽△NCM. 证明：∵∠ABD=∠ACE=90°，∴∠ABM=∠MCN=90°， ∵∠AMB=∠NMC（对顶角相等）∴△ABM∽△NCM. 同理可证：△NDE∽△NCM 故：△ABM∽△NDE∽△NCM. 模型1.一线三等角模型（相似模型） 例1（24-25九年级上·浙江杭州·期中）问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张矩形纸片探究折叠的性质在矩形的边上取一点，将沿翻折，使点恰好落在边上点处． 实践探究： （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，当，且时，求的长； 问题解决： （3） 如图3，延长，与的角平分线交于点，交于点，当时，求的值． 例2（25-26九年级上·安徽合肥·期中）在中，，点D是边上一点，，，和交于点E． (1)如图1，如果，求证：； (2)如图2，如果，猜想和之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在（2）的情况下，如果，，，求的长． 例3（25-26九年级上·北京通州·阶段练习）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点．求证：≌ (2)如图3，，，点D在上，．求证：∽； (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，，小明想到在的延长线上取点M，使，连接，请你延续小明的想法求的值． 例4（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图1，在中，，点P、D分别是边、上的点，且． (1)求证：； (2)如图2，若时，求的长； (3)当点在边上运动时，线段长有最小值，最小值为_________． 例5（25-26九年级上·辽宁·阶段练习）（1）如图1，在正方形中，E为的中点，作交于点F，连接． ①求证：； ②求证：； （2）如图2，在中，点E，F分别在边上，，，． ①判断与的数量关系，并说明理由； ②求的长． 1．（25-26九年级上·陕西·期中）如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A．16 B．20 C．24 D．48 2．（25-26九年级上·广西来宾·阶段练习）如图，是直角三角形，，，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为 ． 3．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在等边中，，P、Q分别是边、上的点，且，，则的长是 ． 4．（24-25九年级上·广东清远·期末）如图，四边形是正方形，E是上一点，，，则 ． 5、（2024·北京·三模）如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点N处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点F处，为折痕，连接并延长交于点，若，则线段的长等于 ． 6．（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，矩形中，，，点在边上，若以点、、为顶点的三角形与相似，则 ． 7．（25-26九年级上·广东·阶段练习）如图，在矩形中，，，是边上一动点（不含端点，），连接，是边上一点，设，若存在唯一的点，使，则的值是 ． 8．（2025·辽宁沈阳·二模）如图，在正方形中，E为边上一点，，连接，过E作，交于点F，，则正方形的面积为 ． 9．（2024·江西·模拟预测）如图，四边形是矩形，E，F分别是边的中点，．若则线段的长为 ． 10．（2024·湖南张家界·模拟预测）如图，点A是反比例函数（）上的一个动点，连接，过点O作，并且使，连接，当点A在反比例函数图象上移动时，点B也在某一反比例函数图象上移动，则k的值为 ． 11．（2024九年级下·广东·学业考试）如图，在四边形内中，，，点E为中点，连接、，若．则的值为 ． 12．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段练习）在矩形中，是的中点，过点作交于点，连接．求证： (1)； (2) 13．（24-25八年级下·贵州·阶段练习）小滨类比全等三角形的性质与判定的学习方法，自学相似三角形的性质与判定，下面是他学习相似三角形的学习笔记： 1.相似三角形的表示方法：与相似，记为． 2.相似三角形的判定：两个角分别相等的两个三角形相似． 如图，∵，，∴． 3.相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例：如图，，则．       【问题背景】如图①，在正方形中，点E，F分别为，上的点，连接． (1)【问题解决】 连接EF，若，，则中填的角可以是：______（填一个即可）； (2)【知识迁移】如图①，在（1）的条件下，求证：； 小滨证明方法如下，请补全证明过程： 证明：在正方形中，，∴，______． 又∵，∴______，∴______，______； 在和中，，∴． (3)【拓展延伸】如图②，连接，交对角线于点G，若点E为中点，，判断线段与的数量关系，并说明理由． 14．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段练习）如图，在四边形中，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 15．（25-26九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边中，，D，P分别是边，上的点，且，，    (1)证明：； (2)求的长． 16．（2023·吉林延边·模拟预测）【尝试探究】在矩形中，为边上一点，连接，过点作交于点． （1）如图①，若点与点重合，，求证：． （2）如图②，若为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，为边上一点（点不与点A，B重合），连接，过点作交于点．当为等腰三角形时，的长为______________． 17．（24-25九年级上·湖南·期中）九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 18．（2025·青海西宁·一模）阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 19．（2025·安徽滁州·一模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 20．（24-25九年级下·安徽淮北·阶段练习）数学模型学习与应用．【学习】如图1，，，于点C，于点E．由，得∠1=∠D；又，可以通过推理得到≌．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D都在直线l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的长； (2)【拓展】在中，点D，E分别是边BC，AC上的点，连接AD，DE，，，．若为直角三角形，求CD的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B为平面内任一点．是以OA为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B的坐标． 21．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下列材料： 如图，点在直线上，且，则，又，故．像这样一条直线上有三个等角顶点的图形我们把它称为“一线三等角”图形． 请根据以上阅读解决下列问题： (1)如图，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．可证______，进而可证______． (2)如图，在中，点在上，，，，，则点到边的距离为______． (3)如图，在平行四边形中，为边上一点，为边上一点．若，，，，求的长． 22．（2025·宁夏银川·二模）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在中，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作交的延长线于点． (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段与有怎样的数量关系？ (2)【问题解决】如图3，连接并延长交的延长线于点，若，，求的面积； (3)【类比迁移】在（2）的条件下，连接交于点，求的值； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $