福建省福州市台江区九校2025-2026学年高三上学期期中联考数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟） 班级 姓名 座号 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.若复数，则(    ) A. B. C. D. 3. 若椭圆的焦距为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4.质点在平面上作匀速直线运动，速度向量即点的运动方向与相同，且每秒移动的距离为个单位设开始时点的坐标为，则秒后点的坐标为(    ) A. B. C. D. 5.已知，则(    ) A. B. C. D. 6.已知正四棱锥的底面边长为，且其侧面积是底面积的倍，则此正四棱锥的体积为(    ) A. B. C. D. 7.若圆：上有四个不同的点到直线的距离为，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.下列说法正确的是(     ) A. 数据，，，，，，，的第百分位数为 B. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 C. 已知随机变量服从正态分布，越大，则随机变量越集中 D. 若随机变量，随机变量，则 10.定义空间两个非零向量的一种运算：，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有(    ) A. B. C. 若，则 D. 11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺术美双纽线的图形轮廓像“”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素已知在平面直角坐标系中，，，满足的动点的轨迹为曲线则下列结论正确的是(    ) A. 曲线既是中心对称又是轴对称图形 B. 曲线上满足的点有个 C. D. 曲线上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.在的二项展开式中，项的系数为          结果用数值表示． 13.在中，其内角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为          ． 14.来自国外的博主，，三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等个著名景点．他们约定每人至少选择个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中在北京故宫、西安兵马俑中至少选择个，则不同的打卡方案种数为          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分） 已知数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式： （2）若，，求． 16.（15分） 人工智能对人们生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 （1）根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为，求的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17.5分 如图，在直三棱柱中，点在上，． 证明：平面 若，，二面角的大小为． 求与平面所成角的正弦值 点在侧面内，且三棱锥的体积为，求的轨迹的长度． 18. （17分） 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为记的轨迹为曲线． 求的方程，并说明是什么曲线； 过坐标原点的直线交于，两点，点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点． 证明：是直角三角形； 求面积的最大值． 19. （17分） 给定函数，若过点恰能作曲线的条切线，则称是的“秩点”，切点的横坐标为的“秩数”. （1）若是函数的“秩点”，求其“秩数”； （2）证明：是函数的“0秩点”； （3）记使函数的“1秩数”小于0的“1秩点”构成的集合为.证明：对，，且，有. 高三数学试卷 第1 页（共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学试卷 满分：150分；考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合A={xx>1,B={x-2<x<2},则(CRA)nB=( A.（-2,1) B.（-2,1] C.（-∞，2) D.(-∞，2] 2若复数2=则=( A.1 B.5 c D.V5 3.若椭圆C:亡+上-1m>0)的焦距为2√5，则c的离心率为() m 2 A.V② 83 c.3 D.vG 2 2 3 3 4.质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量节=(4，一3)（即点P的运动方向与相同，且每秒移动的距离为刷 个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10)，则5秒后点P的坐标为( ) A.（-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10) 5.己知给=3，器-（ sin(aw-β) A吉 B月 C.2 D.3 6.己知正四棱锥的底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍，则此正四棱锥的体积为( ) A.36V3 B.36V6 C.108W3 D.108W6 7.若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3，则c的取值范 围是() A.(0,17) B.（-13,0) C.(-13,17) D.(13,17) 8.设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b.若f(0)+ f(3)=6,则f()=( A-号 B.- c n 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是( 高三数学试卷第1页（共4页） A.数据6,8,3,5,10,1,8,11的第80百分位数为10 B.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的值越接近于1 C.已知随机变量X服从正态分布（似，σ），σ越大，则随机变量X越集中 D.若随机变量X~B(5,0.4),随机变量Y=2x+1,则D(Y)=4.8 10.定义空间两个非零向量的一种运算：a⑧b=b·sin(,b),则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成 立的有( A.1(&b=(ò⑧b B.a8b=b⑧d C.若a⑧b=0,则a1b D.1a&b1≤1ab 11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值的艺 术美双纽线的图形轮廓像“∞”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中，F1(-2,0), F2(2,0),满足PF1·PF2=4的动点P的轨迹为曲线C.则下列结论正确的是( A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形B.曲线C上满足PF1=|PF2的点P有2个 C.I0PI≤2W2 D.曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在(1+x)7的二项展开式中，x2项的系数为 (结果用数值表示)· 13在△ABC中，其内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B-,b=6,Q2+c2=2V2ac,则△ABC的面 积为一 14.来自国外的博主A,B,C三人决定来中国旅游，计划打卡北京故宫、西安兵马俑等5个著名景点.他们约 定每人至少选择1个景点打卡，每个景点都有且仅有一人打卡，其中A在北京故宫、西安兵马俑中至少选择1 个，则不同的打卡方案种数为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 己知数列{an}的前n项和为Sn,且4=6，Sn=an+2n2-2. (1)求{an}的通项公式： )若b,=石，T三b,+b.b++bbH求T 高三数学试卷第2页（共4页） 16.(15分) 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让教师更加重视人工智能，某校随机抽取30名男教师和20名女 教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他 为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 10 30 非优秀 10 10 20 总计 30 20 50 (1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ (2)从样本中成绩优秀的30名教师中，随机抽取2人进行调研，记抽取的2人中女教师的人数为X,求X 的分布列和数学期望 附：x2= n(ad-bc月 其中n=a+b+c+d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+a) C 0.1 0.05 0.01 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 10.828 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，点D在BC上，AD⊥DC1· A (1)证明：AD1平面BB1C1C; (2)若AB=AC=2W2,AB1AC,二面角C-AC1-D的大小为号 B1 ①求AC与平面ADC1所成角的正弦值； C ②点E在侧面ABB,A,内，且三棱锥E-ADC,的体积为等， 求E的轨迹的长 D 度 B 高三数学试卷第3页（共4页） 18.(17分) 已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-子记M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程，并说明C是什么曲线： (2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点，点P在第一象限，PEIx轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点G. ()证明：△PQG是直角三角形： (i)求△PQG面积的最大值. 19.(17分) 给定函数f(x),若过点P恰能作曲线y=f(x)的k条切线(k∈N),则称P是f(x)的“k秩点”，切点的 横坐标为f(x)的“k秩数” (1)若A1,0)是函数y=x2的“k秩点”，求其“k秩数”： (2)证明：B(0,2)是函数y=cosx(-2元≤x≤2π)的“0秩点”； (3)记使函数y=x3-x的“1秩数”小于0的1秩点”构成的集合为T.证明：对M(x,),N(x2,y2)eT, 且x2-x>1,有2y+y2>0. 高三数学试卷第4页（共4页）报告查询：登录hixue,.c成扫描一维码下我Ap吧 《用户名和初始密码均为准考证号》 ■ 2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学答题卡 17. 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 可洗口 正确填涂☐缺考标记 □ 6 客观题018为单选题：911为多选题 I[A][B][c][D] 6[A】[B][C】[D] I1[][B][C][D] 2[][B][C】[D] T【AIB][cl[D] 3[][B]【c][D] B [A][B][c][D] 4 [A][B][c][D] 9 [A][B][c][D] 5[A][B】【c][D] 10[A】[BJ[C][D] 填空题 13, 14 解答题 ■ 囚囚■ ㄖㄖ■ ■ ■ a 请勿在此区域作答或 者做任何标记 i ■ ㄖ■ㄖ ▣■囚 ■ 2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学参考答案及评分标准 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A C C A C D 1.【答案】B  【分析】 本题考查了集合补集及交集运算，属于基础题． 由已知结合集合的补集及交集运算即可求解． 【解答】 解：因为， 所以 因为， 则,故选：． 2.【答案】A  【解析】解：， 所以． 故选：． 3. 【答案】A 【分析】由焦距得，可判断，由离心率公式计算可得. 【详解】由得， 又， 所以，，得， 所以． 故选：A． 4.【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题． 根据向量的坐标运算，向量相等列方程组求解即可． 【解答】 解：设为，秒后点的坐标为， 则， 由题意有，即，   秒后点的坐标为． 故选C． 5.【答案】C  【解析】解：根据题意可得 ， 解得， 故选C． 6.【答案】A  【解析】解：正四棱锥底面边长为，且其侧面积是底面积的倍， 设该正四棱锥的斜高为， 则，解得， 正四棱锥的高， 此正四棱锥的体积． 故选A． 7.【答案】C  【解析】解：圆， 故圆心为，半径为． 设圆心到直线的距离为， 要使圆上有四个不同的点到直线的距离为， 则与直线平行且距离为的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以，得，即， 解得， 故选：． 8.【答案】D  【分析】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用． 由已知得的周期为，则，由已知得，，即可求出函数的解析式，即可得解． 【解答】 解：因为为奇函数， 所以， 所以的图象关于中心对称，则， 因为为偶函数， 所以， 所以的图象关于直线轴对称． 由，得， 所以， 则，即的周期为， 所以， 又因为，，， 所以，则， 因为当时，， 即，解得， 所以，当时，， 所以． 故选D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD BD ACD 9.【答案】AD  【解析】解：对于，将数据从小到大排列得，，，，，，，， 选项中的数据共有个数，，则这组数据的第百分位数是，故正确； 对于，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于，故错误； 对于，随机变量服从正态分布，越小，即方差越小，则随机变量分布越集中，故C错误； 对于，因为，则，，所以， 因为，所以，故D正确． 故选：． 10.【答案】BD  【分析】本题主要考查了新定义运算，涉及向量的模及夹角，属于难题． 结合已知的向量的模及夹角，运用新定义运算逐一分析解答． 【解答】 解：对于：，， 故不会恒成立，故A错误； 对于，，，故恒成立，故B正确； 对于，若，则， 所以，故或，所以，故C错误； 对于，，故D正确． 故选BD． 11.【答案】ACD  【分析】本题考查曲线与方程，导数的几何意义，属于中档题． 结合曲线方程的新定义逐项计算验证即可． 【解答】 解：设点坐标为， 则曲线，故A正确； 对于，若，则， 这样的点只有个，即为原点，故B错误； 对于，由， 得， 整理得， 所以， ，故C正确； 对于，由， 得， 则，令， 可得或， 经计算曲线在原点处的切线方程为， 故存在四个不同的点，使得曲线在该点处切线的斜率为，故D正确． 故选：． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，二项式展开式的特定项问题，是基础题． 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中的系数． 【解答】 解：二项式展开式的通项公式为 ， 令，得展开式中项的系数为． 故答案为：． 13.【答案】  【分析】本题考查利用余弦定理解三角形以及求三角形面积，属于基础题． 利用余弦定理求，由三角形的面积公式即可求解． 【解答】 解：由题意，得， 解得， 故的面积为． 故答案为：． 14.【答案】  【解析】解：当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且只去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当只选择北京故宫、西安兵马俑中的个，且去个景点时，有种选择， 再将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑这个且只去个景点时， 只需将其他个景点分给，，有种选择； 当选择北京故宫、西安兵马俑且去个景点时，有种选择， 只需将其他个景点分给，，有种选择，共有种选择， 种， 故共有种不同的打卡方案． 故答案为：． 4、 解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【小问1详解】 由，得...............................3分 两式相减得，则；...........................................6分 【小问2详解】 由（1）可知，...............................................................7分 则，.............................................9分 所以..................11分 ...............................................................13分 16.【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关 （2）分布列见解析， 【分析】（1）根据题意，代入的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可； （2）根据题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的概率，进而可解出答案. 【小问1详解】 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关，......................1分 由列联表中的数据，可得，...............5分 因为，所以根据判断，我们可以推断成立， 即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关.......................7分 【小问2详解】 由题意得，随机变量的可能取值为0，1，2，......................8分 则；；，...................11分 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 ....................................................................................13分 所以期望为.......................15分 17.【答案】解：在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以．................................1分 又因为，，，平面，.............2分 所以平面C.......................3分 在直三棱柱中，平面，， 以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，.........4分 则，设，，......................5分 设平面的法向量，由得取，得，， 所以平面的一个法向量 .................................................7分 又平面的法向量，所以，解得舍去负值............8分 所以，，所以，．........................9分 设与平面所成角为，则．.....................................................10分 因为，，，所以．...................................11分 因为三棱锥的体积为，所以到平面的距离为，.................................12分 因为在侧面上，可设， 到平面的距离为，...............................................14分 所以在侧面上的运动轨迹是线段，所以的轨迹长度为．..........................15分   18.【答案】解：由题意得，...................................................1分 整理得曲线的方程：，.....................................................3分 曲线是焦点在轴上不含长轴端点的椭圆；....................................................4分 (2) 设，则，，， 直线的方程为：， 与联立消去，得，，.......................................................................6分 ， ，...........................................................7分 ，把代入上式， 得，.， ，故为直角三角形；.......................................................10分 ...............................................................................13分 令，则， .......................................................................15分 利用“对勾”函数在的单调性可知， 时取等号， 此时， 故面积的最大值为． ..............................................................17分 19.【答案】（1）0和2 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【分析】（1）先根据导数的几何意义求出曲线在切点处的切线方程，再将点代入切线方程，通过求解方程得到切点横坐标，即可得解. （2）要证明是函数的“0秩点”， 可假设过点存在与函数相切的切线，求出切线方程， 将点代入后得到关于切点横坐标方程，再通过研究该方程对应的函数在上是否有解，即可得证. （3）要证明对，，且，有，首先根据“1秩数”小于0的定义，再结合导数的几何意义，得到关于切点横坐标的方程，再通过研究函数的零点情况确定集合的表达式，最后分不同情况讨论，即可得证. 【小问1详解】 设切点为，由已知得，，..........................................................1分 所以切线方程为，............................................................2分 又切线过点，将其代入切线方程得，即，.............................3分 所以或2，则“秩数”为0和2..........................................................4分 【小问2详解】 假设过点存在切线与函数相切，设切点为，且有， 所以切线方程为，.......................................................5分 又切线过点，所以， 令，，则. 令，解得，，0，或，..............................................6分 当时，，当时，， 故在区间，，上单调递减，在区间，，上单调递增，................................................................................8分 所以，又，， 故， 故，，即方程无实数解，假设不成立. 故是的“0秩点”..............................................10分 【小问3详解】 证明：由已知得， 则曲线在点处的切线方程为..........................11分 故点当且仅当关于的方程， 即恰有一个实数解，且该解为负值.......................................12分 设，则点当且仅当恰有一个零点，且该零点小于0. ①若，则在上是增函数，，要想恰有一个零点，且该零点小于0，需满足；................................................................................13分 ②若，因为，令，解得或，列表如下： 0 0 0 极大值 极小值 所以，即；....................................................15分 ③若，同理可得，即..............................................16分 综上所述，， 所以对，，若，则；若，则（）...17分 高三数学 参考答案第1 页 （共1 页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第一学期期中考试 高三数学参考答案及评分标准 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B A A C c A c D 1.【答案】B 【分析】 本题考查了集合补集及交集运算，属于基础题。 由已知结合集合的补集及交集运算即可求解。 【解答】 解：因为A={xx>1}, 所以CRA={xx≤1} 因为B={x-2<x<2}, 则(CRA)∩B={x|-2<x≤1，故选：B. 2.【答案】A 【解析)解：z三2+=2+00+2。==i 1-2i(1-2i)(1+2i) 所以=z=1. 故选：A. 3.【答案】A 【分析】由焦距得c=√2，可判断=2，由离心率公式计算可得. 【详解】由2c=2√2得c=√2， 又a2=b2+c2=b2+2>2, 所以b2=2,=a2=4,得a=2, 所以e=c、V2 a 2 故选：A. 4.【答案】C 【解析】【分析】 本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题 高三数学参考答案第1页（共12页） 根据向量的坐标运算，向量相等列方程组求解即可· 【解答】 解：设(-10,10)为P,5秒后P点的坐标为P1(x,y), 则PP1=(x+10,y-10), 由题意有PP=5元，即(x+10,y-10)=(20,-15), .x+10=20, y-10=-15, x=10, ∴. y=-5. ∴5秒后点P的坐标为(10，-5)， 故选C 5.【答案】c 【解析】解：根据题意可得 sin (a+B)sinacos B+cosasin B 器1 =3, sin (a-B)sinacos B-cosasin B tanB 解得ac=2, tanB 故选C. 6.【答案】A 【解析】解：正四棱锥底面边长为6，且其侧面积是底面积的2倍， 设该正四棱锥的斜高为h', 则4×2×6×h'=2×36,解得'=6， …正四棱锥的高h=√62-32=3V3, 此正四棱锥的体积V=×62×3V3=36√3. 故选A. 7.【答案】C 【解析】解：圆C:x2+y2-12x+10y+25=0→(x-6)2+y+5)2=36, 故圆心为C(6,-5),半径为6. 设圆心C(6,-5)到直线l:3x+4y+c=0的距离为d, 要使圆上有四个不同的点到直线：3x+4y+c=0的距离为3， 则与直线平行且距离为3的两条直线都必须与圆相交于两个不同的点， 所以d+3<6,得d<3,即820+4<3， √32+42 高三数学参考答案第2页（共12页） 解得-13<c<17, 故选：C 8.【答案】D 【分析】本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用. 由己知得f()的周期为4，则f()=-f(),由已知得f(1)=0,f(2)=一6，即可求出函数的解析式，即 可得解. 【解答】 解：因为f(x+1)为奇函数， 所以f(-x+1)=-fx+1), 所以f(x)的图象关于(1,0)中心对称，则f(1)=0, 因为f(x+2)为偶函数， 所以f(-x+2)=f(x+2), 所以f(x)的图象关于直线x=2轴对称. 由f(-x+1)=-fx+1),得f(-x+2)=-fx), 所以f(x+2)=-f(x, 则fx+4)=-f(x+2)=f(x),即f(x)的周期为4， 所以f)=f()=-f(): 又因为f(0)=-f(2),f(3)=f(1)=0,f(0)+f(3)=6, 所以f(1)-f(2)=6,则f(2)=-6, 因为当x∈[1,2]时，f(x)=ax2+b, n阳h068=2 所以，当xE[1,2]时，fx)=-2x2+2, 所以〔3)=-〔)=-(-2×+2)= 故选D. 二. 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 AD BD ACD 9.【答案】AD 高三数学参考答案第3页（共12页） 【解析】解：对于A,将数据从小到大排列得1,3,5,6,8,8,10,11， 选项中的数据共有8个数，8×80%=6.4，则这组数据的第80百分位数是10，故A正确： 对于B,两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1，故B错误： 对于C,随机变量X服从正态分布N(4,σ)，σ越小，即方差越小，则随机变量X分布越集中，故C错误； 对于D,因为XB(5,0.4),则n=5,p=0.4,所以DX)=5×0.4×0.6=1.2, 因为Y=2X+1,所以DY)=4DX)=4×1.2=4.8,故D正确. 故选：AD. 10.【答案】BD 【分析】本题主要考查了新定义运算，涉及向量的模及夹角，属于难题 结合已知的向量的模及夹角，运用新定义运算逐一分析解答。 【解答】 解：对于A:(a⑧可=(lalsin<a,万>)，(a⑧i=lsin<a,万>， 故(a⑧b)=()⑧b不会恒成立，故A错误： 对于B,a⑧万=：sin<a,b>,万⑧a=sin<五，a>,故a⑧b=万⑧a恒成立，故B正确： 对于C,若a⑧b=0,则a⑧b=a:小si<a,b>=0, 所以sin<元，五>=0，故<a,b>=0或π，所以/乃，故C错误： 对于D,a⑧=列sin<a,万>k,故D正确， 故选BD. 11.【答案】ACD 【分析】本题考查曲线与方程，导数的几何意义，属于中档题. 结合曲线方程的新定义逐项计算验证即可. 【解答】 解：设P点坐标为(X,y), 则曲线C:√(x-2)2+y2·√(x+2)2+y2=4,故A正确： 对于B,若PF=|PF2,则PF=PF2=2, 这样的P点只有1个，即为原点，故B错误： 对于C,由Vx-2)2+y2.Vx+2)2+y2=4, 得[(x-2)2+y2][(x+2)2+y2]=16, 高三数学参考答案第4页（共12页） 整理得(x2+y2)2=8(x2-y2) 所以x2+y2-8(2-2≤8， x2+y2 OP≤2√2，故C正确： 对于D,由(x2+y2)2=8(x2-y2), 得y2=4Vx2+1-(x2+4), 则2yy'=4x-2x,令y'=0, Vx2+1 可得x=士V3或0， 经计算曲线C在原点处的切线方程为y=土2x, 故存在四个不同的点，使得曲线在该点处切线的斜率为O,故D正确 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.【答案】21 【解析】【分析】 本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，二项式展开式的特定项问题，是基础题. 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中x的系数. 【解答】 解：二项式(1+x)7展开式的通项公式为 Tr+1=C7·x', 令r=2,得展开式中x项的系数为C号=21. 故答案为：21. 13.【答案】3 【分析】本题考查利用余弦定理解三角形以及求三角形面积，属于基础题. 利用余弦定理求ac,由三角形的面积公式即可求解. 【解答】 解：由思意，得cos8-42--一号 2ac 2ac 解得ac=6V2, 故△Ac的面积为aesinB=×6W2×竖=3. 故答案为：3. 14.【答案】88 高三数学参考答案第5页（共12页） 【解析】解：当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且只去1个景点时，有C2=2种选择， 再将其他4个景点分给B,C有〔C4C+臂)A号=14种选释，共有2×14=28种运择， 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去？个景点时，有C2C3=6种选择， 再将其他3个景点分给B,C,有CCA经=6种选择，共有6×6=36种选择： 当A只选择北京故宫、西安兵马俑中的1个，且去3个景点时，有C2C?=6种选择， 再将其他2个景点分给B,C,有A2=2种选择，共有6×2=12种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑这2个且只去2个景点时， 只需将其他3个景点分给B,C,有C3CA?=6种选择： 当A选择北京故宫、西安兵马俑且去3个景点时，有C}=3种选择， 只需将其他2个景点分给B,C,有A=2种选择，共有3×2=6种选择， 28+36+12+6+6=88种， 故共有88种不同的打卡方案。 故答案为：88. 四、解答题：本题共1小题，共12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.【答案】(1)n=4n+2: (2)T.=12(2n+3) n 【分析】(1)利用a,Sn关系求通项公式即可： (2)应用裂项相消法求T. 【小问1详解】 由Sn=a+22-2,得S1=a41+2(n+1)2-2=a1+22+4n.......3分 两式相减得a21=a1-a,+4n+2,则a.=4n+2;.. .6分 【小问2详解】 11 由(1)可知b.= 04n+2’.7分 1 1(11 则b,bn(4n+2)(4n+6)8(2n+12n+3 .9分 z-的+的++行)写+ ………11分 高三数学参考答案第6页（共12页） 111 832n+3 12(2n+3） ….13分 16.【答案】(1)不能认为这次成绩是否优秀与性别有关 2)分布列见解析， 【分析】(1)根据题意，代入x的计算公式，根据独立性检验的概念求解即可； (2)根据题意随机变量X的可能取值为0,1,2，分别利用古典概型的概率公式结合组合知识计算出对应的 概率，进而可解出答案 【小问1详解】 零假设H。:这次成绩是否优秀与性别无关，·....1分 由2×2列联表中的数据，可得 x2=1 n(ad-be) 50×(20×10-10x10} 50×1000 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 30x20×30x20 360000 ≈1.3889，..5分 因为1.3889<2.706，所以根据o=0.1判断，我们可以推断H。成立， 即不能认为这次成绩是否优秀与性别有关..... ....7分 【小问2详解】 由题意得，随机变量X的可能取值为0,1,2，.....8分 则P(X=0)= 038；pX==S如40 C30 C87:P(-2)= -3 %29’…1分 所以随机变量X的分布列为： X 0 2 38 40 J P 87 87 29 ...13分 所以期里为E(2X)=0x8 8+1x4 +2x3、2 29-3 .15分 8 17.【答案】解：(I)在直三棱柱ABC-A,B,C,中，CC,1平面ABC, 因为ADC平面ABC,所以CC11AD....1分 D 高三数学参考答案第7页（共12页） 又因为AD1DC,CC,∩DC,=C,CC,DC1C平面BB,CC,.....2分 所以AD1平面BB,C1C....3分 (2)①在直三棱柱ABC-AB,C,中，AA,1平面ABC,AB1AC, 以{AB,AC,AA为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，·...4分 -- 则D(W2,V2,0),设B1(2W20,a),C1(0,22,a,.....5分 设平面ADC,的法向量元=化y,由·丽三0得+V②0取x=1, (m·AC=0,(22y+az=0, D 得y=-1,2=22, a 所以平面ADC的一个法向量元=(1，-1,9)， ..7分 又平配AC,的法有对.质以w好器 1 解得a=2(舍去负值)...….8分 所以=(1，-1，V②)，AC=(0,2W20,所以c0s<元，AC>=2= 2X22 2 ……….9分 设AC与平面ADC,所成角为0，则sim0=会 ………10分 ②因为AD1DC1,AD=2,DC1=2V2,所以SAADC1=2V2... …………11分 因为三棱锥E-ADC,的体积为号，所以E到平面ADC,的距离为V2, ......12分 因为E在侧面ABB1A1上，可设E&,0,z）, E到平面ADC,的距离为d==x+22=V2, nl 2 …….14分 所以E在侧面ABB1A上的运动轨迹是线段AB,所以E的轨迹长度为2W3....15分 18.【答案】解：(1)由题意得Xy=- x+2x-2-一21 。。。。。。。。。。。。 ….1分 整理得曲线C的方程：兰+兰=10≠0) .3分 曲线C是焦点在X轴上不含长轴端点的椭圆；....4分 (2)①)设P(xo,yo),则Q(-xo,-yo),E(xo,0),G(xG,yG) 直线QE的方程为：y=岩(x-xo), 与号+号-1联立消去，得(26+2-2x,x+号 8x6=0, -XoXG= xOy0-8x0 2x6+y哈 …….6分 高三数学参考答案第8页（共12页） ·七6=8-0 2x+y6 小%品。-x动=4通 2x行+y6 ….7分 kpc =yG-yo XG-X0 yo(4-x6-y) 2x6+y6 yo x(8-y6) 2x6+y6 一X0 4yo-yoxo-yo-2yoxo-yo 8xo-xoyo-2x-xoy -4-3622,把看+2y6=4代入上式， 2x0(4-y6-x6) 和3-是小g是（一）-1. yo x0 PQ1PG,故△PQG为直角三角形；...10分 1 (iiSAPQG=2PB卧6xg-X -2ne+o） 1.8-y0+xol =2y0l2x6+y6 1. 8-y听+2x6+y6 2Yoxox 2x+y6 =Yoxo(4+x3) 2x+y6 =y0xo(x6+2y6+x6) 2x6+y6 2yoxo(x+y) 2x6+y 8yoxo(x+yo) (2x6+y)(x6+2y6) 8(yoxo +xoyo) 2x+2y6+5x6 高三数学参考答案第9页（共12页） 80+g 。。。。。。。。。 2g+碧2+1 13分 今t=0+9,则t≥2， yo xo 8t 8 S△PQG= 2 ….15分 利用“对勾”函数f(t)=2t+在2，+o的单调性可知， f(因≥4+片（化=2时取等号， “S△P6≤号-号(t时0=0=至 放△PQG面积的最大值为号 ,17分 19.【答案】(1)0和2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)先根据导数的几何意义求出曲线在切点处的切线方程，再将点AQ,O)代入切线方程，通过求解 方程得到切点横坐标，即可得解 (2)要证明B(0,2)是函数y=cosx(-2π≤x≤2π)的“0秩点”，可假设过点B存在与函数y=C0Sx相切 的切线，求出切线方程， 将点B代入后得到关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数在「-2兀，2元上是否有解，即可得证. (3)要证明对M(x,y),N(x2,y2)∈T,且x2-x>1,有2y+y,>0,首先根据“1秩数”小于0的 定义，再结合导数的几何意义，得到关于切点横坐标t的方程，再通过研究函数h(t)的零点情况确定集合厂的 表达式，最后分不同情况讨论，即可得证 【小问1详解】 设切点为(1，t),由已知得y=2x,.… ……1分 所以切线方程为y=2t(x-t)+t,..… …….2分 又切线过点A1,0),将其代入切线方程得0=2t-,即(2-t)t=0,.....3分 所以t=0或2，则“k秩数”为0和2.….….….….….4分 【小问2详解】 假设过点B(0,2)存在切线与函数y=CoSx相切，设切点为(t,cost),且有y=-sinx, 所以切线方程为y=-int(x-t)+C0t,.....5分 高三数学参考答案第10页（共12页）