精品解析： 广东省广州市番禺区钟村中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试卷

2025-2026九年级数学（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 观察下列四个图形，中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ） A. 120（1－x）2=100 B. 100（1－x）2=120 C. 100（1＋x）2=120 D. 120（1＋x）2=100 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 7. 抛物线上有三个点，那么的大小关系是（　　） A. B. C. D. 8. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 若一元二次方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k＝﹣1 B. k≥﹣1且k≠0 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≤﹣1且k≠0 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 13. 已知一元二次方程的两根为、，则______ 14. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____． 15. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶边宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程___________． 16. 如图，抛物线对称轴为直线，则下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④；⑤． 三、解答题：本大题共72分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）用配方法解方程：． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根为3，求方程的另一根． （2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？ 19. 画出抛物线的图象（要求列表，描点），回答下列问题： （1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）当随的增大而增大时，写出的取值范围． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的；并写出的坐标． 21. 如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为拱桥底部的两点，DEAB． （1）以C为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽略自变量取值范围） （2）若DE＝48m，求E点到直线AB的距离． 22. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 23. 已知关于的方程（为实数） （1）若方程有两个实数根，求取值范围； （2）若是方程的一个根，求其另一个根； （3）在（2）条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 24. 如图①，在中，，，点，分别在，上，且． 问题发现： （1）将图①中的绕点逆时针旋转到图②的位置时，连接，，请判断和的关系，并说明理由； 拓展探究： （2）将图①中的绕点旋转，当点恰在边上时，如图③，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （3）若，将图①中的绕点旋转，使得，请直接写出的长． 25. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026九年级数学（上）期中数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选择项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，最高次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 观察下列四个图形，中心对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形定义即可判断. 【详解】在平面内，若一个图形可以绕某个点旋转180°后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 根据定义可知，C选项中的图形是中心对称图形. 故选：C. 【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形. 3. 用配方法将方程变形为，则m的值是（ ）． A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查配方法解一元二次方程的能力，熟练掌握配方法解一元二次方程步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转，矩形的性质等等，先根据题意得到，再由矩形的性质可得，由旋转的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形， ∴，， ∴轴， ∴点的坐标为， 故选：C． 5. 某种商品原价是120元，经两次降价后的价格是100元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为 （ ） A. 120（1－x）2=100 B. 100（1－x）2=120 C. 100（1＋x）2=120 D. 120（1＋x）2=100 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为，根据题意列方程即可． 【详解】解：平均每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为，第二次降价后的价格为 ∴由题意列方程为： 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意并正确的列方程． 6. 关于抛物线y=3（x－1）2＋2，下列说法错误的是（　 　 ） A. 开口方向向上 B. 对称轴是直线x=l C. 顶点坐标为（1，2） D. 当x＞1时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】开口方向由a决定，看a是否大于0，由于抛物线为顶点式，可直接确定对称轴与顶点对照即可，由于抛物线开口向上，在对称轴左侧函数值随x的增大而减小，在对称轴右侧 y随x的增大而增大即可． 【详解】关于抛物线y=3（x－1）2＋2， a=3>0，抛物线开口向上，A正确， x=1是对称轴，B正确， 抛物线的顶点坐标是（1，2），C正确， 由于抛物线开口向上，x<1，函数值随x的增大而减小，x>1时，y随x的增大而增大，D不正确． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线的性质问题，由具体抛物线的顶点式抓住有用信息，会用二次项系数确定开口方向与大小，会求对称轴，会写顶点坐标，会利用对称轴把函数的增减性一分为二，还要结合a确定增减问题． 7. 抛物线上有三个点，那么的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的解析式可得二次函数的开口方向以及对称轴，从而得出抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小，由此即可出答案，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴的距离越远函数值越小， ， ， 故选：D． 8. 二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答． 【详解】解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0， 对称轴x=-＜0，得b<0． ∴ 所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 9. 若一元二次方程kx2﹣3x﹣＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A. k＝﹣1 B. k≥﹣1且k≠0 C. k＞﹣1且k≠0 D. k≤﹣1且k≠0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k≥0即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＝9+9k≥0， ∴k≥﹣1， ∵k≠0， ∴k≥﹣1且k≠0， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用． 10. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知点与点是关于原点的对称点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标性质，掌握知识点是解题的关键． 根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，可求出a和b的值，再计算它们的和． 【详解】解：∵点与点是关于原点O的对称点， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是______. 【答案】 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移所得对应点的坐标为（1，2），然后根据顶点式写出新抛物线解析式． 【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得对应点的坐标为（1，2），所以新抛物线的解析式为y=（x-1）2+2 故答案为y=（x-1）2+2． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 13. 已知一元二次方程的两根为、，则______ 【答案】 【解析】 详解】由根与系数关系可得= =- . 点睛：本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两实数根为x1,x2，则有x1+x2= ，x1·x2=. 14. 已知二次函数y＝﹣x2+bx+c与一次函数y＝mx+n的图象相交于点A（﹣2，4）和点B（6，﹣2），则不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是二次函数在一次函数的图象上方部分x的范围；结合图形，找出二次函数图象在一次函数上面的自变量的取值就是不等式的解集． 【详解】解：如图， ∵两函数图象相交于点A（-2，4），B（6，-2）， ∴不等式﹣x2+bx+c＞mx+n的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力． 15. 如图，某校团委准备在艺术节期间举办学生绘画展览，为美化画面，在长为、宽为的矩形画面四周镶边宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面积相等，若设彩纸的宽度为，根据题意可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意可得彩纸与原画的面积之和等于一个长为，宽为的矩形面积，再由彩纸的面积恰好与原画面积相等列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 16. 如图，抛物线的对称轴为直线，则下列结论正确的是______（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知，与轴的交点在轴的正半轴上，可得，因此，故本项正确，符合题意； ②由抛物线与轴有两个交点，可得，故本项正确，符合题意； ③由对称轴为，得，即，故本项错误，不符合题意； ④由对称轴为及抛物线过，可得抛物线与轴的另外一个交点是，所以，故本项错误，不符合题意． ⑤当时，，故本项正确，符合题意． 综上所述，正确的有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 三、解答题：本大题共72分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）用配方法解方程：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，再开方，即可作答． 【小问1详解】 解：， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 则 ∴， ∴ 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有一个根为3，求方程的另一根． （2）当为何值时，方程有两个相等的实数根？ 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式，熟练掌握当方程有两个相等的实数根时是解题的关键． （1）代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． （2）根据一元二次方程的根的判别式，得到，求出k的值即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得， ∴， ， ． 答：方程的另一根为． 【小问2详解】 ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 答：当为1时，方程有两个相等的实数根． 19. 画出抛物线的图象（要求列表，描点），回答下列问题： （1）写出它的开口方向，对称轴和顶点坐标； （2）当随的增大而增大时，写出的取值范围． 【答案】（1）画图见解析，抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）列表计算、再描点画图，然后根据抛物线顶点式的性质解答即可； （2）根据二次函数的图象和性质解答即可． 【小问1详解】 解：列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 3 5 3 … 抛物线的图象描点、画图如下： ∴抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：由图象可得：当时，随的增大而增大． 20. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为、、． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点逆时针旋转后的；并写出的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，中心对称，解题的关键是作出对应点的位置． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，点的坐标； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点． 21. 如图是一座抛物线形的拱桥，拱桥在竖直平面内，与水平桥相交于A，B两点，拱桥最高点C到AB的距离为9m，AB＝36m，D，E为拱桥底部的两点，DEAB． （1）以C为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，求出此时抛物线的解析式．（忽略自变量取值范围） （2）若DE＝48m，求E点到直线AB的距离． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）以中点为原点，建立平面直角坐标系，设，将点代入，待定系数法求解析式即可； （2）令，代入求得，即可求得E点到直线AB的距离． 【小问1详解】 解：如图， C到AB的距离为9m，AB＝36m， 设抛物线解析式为 将点代入得 解得 【小问2详解】 DE＝48m， 则 则 求E点到直线AB的距离为7 【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 22. 服装店在销售中发现：某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五·一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． （1）要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ （2）要使平均每天销售这种服装盈利最多，那么每件服装应降价多少元？一天最多盈利多少元？ 【答案】（1）每件服装应降价20元； （2）每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）设每件服装应降价x元，则销售量为件，每件的利润为元，再根据总利润单件利润销售量列出方程求解即可； （2）设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据总利润单件利润销售量列出w关于m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件服装应降价x元， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； 【小问2详解】 解：设每件衣服应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天盈利最多，一天最多盈利1250元． 23. 已知关于的方程（为实数） （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）若是方程的一个根，求其另一个根； （3）在（2）的条件下，抛物线与轴交于、两点． ①结合图形，写出时自变量的取值范围； ②若抛物线顶点为，求的面积． 【答案】（1）且 （2）另一个根是 （3）①或；②的面积为． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数综合应用，涉及二次函数与一元二次方程的关系，三角形面积，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系； （1）由方程有两个实数根，可得不等式，然后求解即可； （2）由是方程的一个根，知，解得，解方程，可得另一个根； （3）①画出函数大致图象，通过观察时，自变量的取值范围是或； ②求出，，再根据三角形面积公式可得答案． 【小问1详解】 解：方程有两个实数根， 且，即， 解得且； 【小问2详解】 解：是方程的一个根， ， 解得， 关于的方程为， 解得：或， 另一个根是； 小问3详解】 解：①由（2）知抛物线解析式为，其图象经过，，，图象如下： 由图象可知，时自变量的取值范围是：或； ②，， ， ， ， ， 的面积为． 24. 如图①，在中，，，点，分别在，上，且． 问题发现： （1）将图①中的绕点逆时针旋转到图②的位置时，连接，，请判断和的关系，并说明理由； 拓展探究： （2）将图①中的绕点旋转，当点恰在边上时，如图③，请写出，，之间的数量关系，并说明理由． 解决问题： （3）若，将图①中的绕点旋转，使得，请直接写出的长． 【答案】（1），，见解析；（2），见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）如图1，延长交于点，设与相交于点，可证，所以，，由三角形内角和可得； （2）连接，证明，所以，，可得；所以，则，因为，，所以，由此可得结论； （3）在中，，，所以，若，则需要分两种情况：①线段在线段的右侧，②线段在线段的左侧，画出图形，结合图形求解即可． 【详解】（1），；理由如下： 如图1，延长交于点，设与相交于点， 由旋转得：． 在与中， ， ， ，， ， ， ． （2），理由如下： 如图2，连接， 由旋转得：． 在与中， ， ， ，， ， ， 即， ， ， ，， ， ； （3）在中，，， ， 若，则需要分两种情况： ①线段在线段的右侧，如图3，设与交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ； ②线段在线段的左侧，如图4，过点作交的延长线于点， ， ， ， ， ； 综上，若时，的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，侧重考查旋转的性质、直角三角形的性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 25. 已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； （4）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； （3）13.5 （4）存在；，， 【解析】 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【小问1详解】 解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； 【小问3详解】 解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； 【小问4详解】 解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $