精品解析：青海省西宁七中优质教育集团中华校区2025-2026学年九年级上学期期中阶段考数学试卷

西宁七中优质教育集团中华校区2025－2026学年度第一学期 九年级阶段性学情评估卷（数学） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键；一般地，形如、、都是常数的方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：①当时，不是一元二次方程； ②不是整式方程，也不是一元二次方程； ③不是一元二次方程； ④是一元二次方程； 一元二次方程的个数为个， 故选：A 2. 二次函数 的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣1） B. （2，﹣1） C. （，﹣） D. （﹣，） 【答案】C 【解析】 【详解】∵y=2x2﹣x﹣1=2（x﹣）2﹣ ， ∴二次函数顶点坐标为（，﹣）， 故选C． 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 【答案】D 【解析】 【分析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 由题意得：m－3≠0且m2－9＝0， 解得：m＝－3， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次方程定义，把一元二次方程化为一般形式，是解题的关键． 4. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与轴的交点坐标，再解方程得抛物线与轴的交点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】当时，，则抛物线与轴的交点坐标为， 当时，，解得，抛物线与轴的交点坐标为， 所以抛物线与坐标轴有2个交点． 故选C． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图像与系数的关系，关键是利用图像特征判断字母取值； 根据每个选项中的图像特征判断一次函数和二次函数中系数的关系即可． 【详解】解：A选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故A选项不符合题意； B选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故B选项不符合题意 C选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故C选项符合题意； D选项：由二次函数图像可知：， 由一次函数图像可知：， 故D选项不符合题意． 故选：C ． 6. 有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每轮一个人传染个人，第一轮后共有（）个人，第一轮后共有个人，即可求解；找出其中等量关系式是解题的关键． 【详解】解：设每轮一个人传染个人，由题意得 ， 解得：， 则第三轮传染后共有（人）， 故选：D． 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与轴的交点坐标为可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与轴的交点坐标为，且开口向上， ∴当时，，所以C选项不符合题意； ∵，是函数图象上两点， ∴当时，，当时，， ∴，所以选项D符合题意， 故选：D． 8. 已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（ ） A. 可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C. 可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数图像的对称轴，与x轴的交点，分和两种情况，根据已知三点与对称轴的距离，结合开口方向分析即可． 【详解】解：在中， 对称轴为直线， 令，解得：，， ∴函数图像与x轴交于，， ∵， ∴离对称轴最远，离对称轴最近， 当时，开口向上， ∴； 当时，开口向下， ∴； ∴和可能最大，也可能最小， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是根据表达式求出对称轴和与x轴交点，利用性质进行分析． 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可． 【详解】解：根据题意得 且， 解得：， 故答案为：． 10. 二次函数中，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 二次函数开口向上，对称轴左侧函数递减，根据条件确定对称轴位置即可． 【详解】解：二次函数的二次项系数为， 因此抛物线开口向上． 对称轴为直线， 当时，y 随 x 的增大而减小， ∴， 解得． 故答案为：． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 【答案】k≤4且k≠1 【解析】 【分析】由一元二次方程的定义知：，由一元二次方程有实数根知： ，从而通过解不等式组得到答案． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有实数根 所以 由得 ，解 得 所以实数k的取值范围为：k≤4且k≠1． 故答案为：k≤4且k≠1． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的逆定理，熟练掌握逆定理是关键，防止学生考虑问题不全面． 12. 将化成的形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键． 首先提取二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式及对称轴、开口方向对函数值取值范围的影响是解题的关键． 先将二次函数化为顶点式，确定对称轴和顶点坐标，再分别计算区间端点及顶点处的函数值，从而确定的取值范围． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，， 当时，， 抛物线开口向上，对称轴在范围内， 当时，的最小值为，且， 的取值范围为． 故答案为：． 14. 二次函数中，，则其图象的顶点是在第_____象限． 【答案】四 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据二次函数解析式可得顶点坐标是：，再由题意得到，，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是：， ∵， ∴， ∴二次函数的顶点是在第四象限． 故答案为：四． 15. 已知四个二次函数的图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握二次项系数与图像的关系是解题的关键． 直接利用二次函数的图像开口大小与a的关系即可得出答案． 【详解】解：根据图像可知的图像和的图像的开口向上，且的图像的开口小于的图像的开口， 则． 根据图像可知的图像和的图像的开口向下，且的图像的开口大于的图像的开口， 则． ∴． 故答案为：． 16. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 三、解答题（8道题，共60分） 17. 解方程 （1） （2） （3） （4）． 【答案】（1），； （2），； （3），； （4），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、公式法、因式分解法是解题的关键． （1）通过配方法将方程转化为完全平方式求解； （2）利用一元二次方程的求根公式求解； （3）通过因式分解将方程转化为两个一次因式的乘积求解； （4）利用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：方程中，，，， ∴， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：， ， ， ∴或， 解得，； 【小问4详解】 解：， ， ∴或， 解得，． 18. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 由证明作答即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 19. 已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 【答案】（1）10 （2），菱形的边长是2． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，菱形的性质，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法解一元二次方程，得或，再结合题意得，即可求出平行四边形的周长； （2）由（1）得的两个根是或，结合菱形的四边相等得，即可作答． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴ 解得或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且的长为3， ∴， ∴平行四边形的周长是． 【小问2详解】 解：由（1）得的两个根是或， ∵平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且四边形是菱形， ∴， 解得．四边形是菱形， 此时菱形的边长是2． 20. 如图，已知关于的二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）连接交直线l于E，连接并延长交抛物线于点D，则点D即为所求； （2）连接交直线l于点P，则点P即为所求；由对称性可得，则的周长，则当D、Q、P三点共线时，的周长有最小值． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，点P即为所求． 21. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根的和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】（1）满足和，理由见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）、一元二次方程的解法、判别式的应用，熟练掌握根与系数的关系和判别式的意义是解题的关键． （1）先解一元二次方程求出根，再分别计算根的和、积以及利用根与系数关系计算的和、积，进而验证是否满足． （2）根据根与系数的关系，由已知根求出一次项系数和常数项，从而写出一元二次方程的一般形式． （3）先根据根与系数的关系表示出和，再将展开并代入，得到关于的方程，同时结合方程有实数根的条件（判别式）确定的取值． 【小问1详解】 解：满足和，理由如下： 解方程， ， ∴或， 解得，， 计算根的和：， 由根与系数的关系，，，则， 计算根的积：， 由根与系数的关系，，，则， ∴满足和； 【小问2详解】 解：∵方程的两个根为，，二次项系数， ∴由根与系数的关系，，即，解得， ，即，解得， ∴这个一元二次方程的一般形式为； 【小问3详解】 解：∵方程， ∴由根与系数的关系得，， ∵， ∴， ， ， 整理得： 解得或 又∵方程有两个实数根， ∴判别式 解得， ∴不符合条件，舍去， ∴． 22. 已知二次函数． （1）将函数关系式化为的形式； （2）在所给网格中画出此函数的图象． （3）若将此图象沿轴向右平移5个单位，再沿轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式． （4）若抛物线顶点为，抛物线与轴的交点为，（在的右侧），求的面积． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）； （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的三种形式、二次函数的图象画法、二次函数图象的平移以及二次函数与三角形面积的综合应用，熟练掌握配方法、二次函数图象平移规律以及三角形面积公式是解题的关键． （1）通过配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，即先提取二次项系数，再对括号内的部分进行配方． （2）先根据函数的顶点式确定顶点坐标，再求出与坐标轴的交点坐标，最后描点画图． （3）根据二次函数图象平移的规律“左加右减，上加下减”来确定平移后的函数关系式． （4）先求出抛物线的顶点坐标以及与x轴交点的坐标，然后根据三角形面积公式计算面积，其中底为AB的长度，高为顶点M到x轴的距离． 【小问1详解】 解： ， 即； 【小问2详解】 解：画出抛物线，如图所示． 【小问3详解】 解：∵原函数顶点式为，沿x轴向右平移5个单位，再沿y轴向下平移3个单位． ∴平移后函数关系式为； 【小问4详解】 解：∵， ∴顶点， 令，则， 解得或， ∴， ∴，顶点M到x轴的距离为， ． 23. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 【答案】任务：；任务：元/件 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． 任务：设7月份到9月份的月平均增长率为，由题意得：，据此即可求解； 任务：设该泥塑的售价应定为元/件，由题意得：，据此即可求解； 【详解】解：任务：设7月份到9月份的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍） 答：7月份到9月份的月平均增长率为． 任务：设该泥塑的售价应定为元/件， 每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件， 即每件售价每上涨1元，则月销售量将减少件， 由题意得：， 解得： ∵要尽可能让顾客得到实惠，则， 答：该泥塑的售价应定为元/件． 24. 如图，已知二次函数经过点，，与x轴另一交点为点，点在线段上运动（不与点，点重合），过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． （1）求该二次函数的解析式及点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）求线段最大值； （4）在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】（1），点的坐标为； （2）点的坐标为； （3）； （4）点的坐标为、、． 【解析】 【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数解析式，求出的值，得到解析式，再令求出点的坐标． （2）先求出直线的解析式，设点的坐标，进而表示出、的坐标，根据列方程求解． （3）用含的式子表示出的长度，转化为二次函数求最值问题． （4）先求出面积，再根据面积相等求出点的纵坐标，代入抛物线解析式求解． 【小问1详解】 解：二次函数经过点，， 将代入得：，即， ， 二次函数解析式为， 令，则，即， 或， 点的坐标为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为（），则，， ，， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ， 当时，有最大值，最大值为； 【小问4详解】 解：，，， ， ∴的面积为， 设点的坐标为，则的面积为， ， 解得或， 当时，，即， 解得（舍去）或，此时， 当时，，即， 解得，此时或， 综上，点坐标为、、． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式求解、一次函数解析式求解、二次函数的最值、三角形面积等知识点，熟练掌握二次函数的性质及待定系数法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁七中优质教育集团中华校区2025－2026学年度第一学期 九年级阶段性学情评估卷（数学） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列关于的方程：①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 二次函数 的顶点坐标是（　　） A. （0，﹣1） B. （2，﹣1） C. （，﹣） D. （﹣，） 3. 关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ） A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3 4. 抛物线与坐标轴交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图像与二次函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 有一个人患流感，经过两轮感染后共有64人患流感，则第三轮传染后共有（ ）个人患流感 A. 7 B. 8 C. 448 D. 512 7. 已知二次函数的y与x的部分对应值如下表，则下列判断中错误的是（ ） x … 0 2 3 4 … y … 5 0 0 … A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 当时， D. 若，是图象上两点，则 8. 已知点都在二次函数的图像上，若，则下列关于，，三者的大小关系判断一定正确的是（ ） A. 可能最大，不可能最小 B. 可能最大，也可能最小 C 可能最大，不可能最小 D. 不可能最大，可能最小 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______． 10. 二次函数中，当时，随的增大而减小，则的取值范围是________． 11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围为_____． 12. 将化成的形式为_________． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围为________________． 14. 二次函数中，，则其图象的顶点是在第_____象限． 15. 已知四个二次函数图像如图所示，那么，，，的大小关系是________．（请用“”连接排序） 16. 建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 三、解答题（8道题，共60分） 17. 解方程 （1） （2） （3） （4）． 18. 已知关于的一元二次方程．求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． 19. 已知，平行四边形的两边，的长是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ （2）当为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长． 20. 如图，已知关于二次函数的图象的对称轴是直线，与轴交于两点且交轴于点为函数图象上的一点，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹） （1）在图1中作二次函数图象上点关于直线对称的点． （2）在图2中二次函数图象的对称轴上找一点，使的周长最短． 21. 阅读材料：对于一元二次方程（其中），其两个根和与系数、、之间存在以下关系：①两根和：；②两根的积：．这两个关系式被称为一元二次方程的根与系数的关系，也被称为韦达定理． 解决问题 （1）验证关系：给定一元二次方程，请验证其两个根的和与积是否分别满足和． （2）应用关系：若一元二次方程的两个根分别为3和，且二次项系数为1，请写出这个一元二次方程的一般形式； （3）能力素养：学习了根与系数的关系后，秦老师布置了一道课后思考题，题目是：，是关于的方程的两个实数根，且，求的值． 22. 已知二次函数． （1）将函数关系式化为的形式； （2）在所给网格中画出此函数的图象． （3）若将此图象沿轴向右平移5个单位，再沿轴向下平移3个单位，请直接写出平移后图象所对应的函数关系式． （4）若抛物线的顶点为，抛物线与轴的交点为，（在的右侧），求的面积． 23. 根据以下素材，探索完成任务 素材1 泥塑，俗称“彩塑”，泥塑艺术是中国民间传统的一种古老常见的民间艺术．某泥塑作坊制作泥塑进行销售，7月份制作泥塑1000件，同年9月份制作泥塑1440件． 素材2 泥塑的制作成本为30元/件，销售一段时间后发现，当泥塑售价为40元/件时，月销售量为400件．若在此基础上每件售价每上涨2元，则月销售量将减少20件． 问题解决 任务1 求该泥塑作坊7月份到9月份制作泥塑数量的月平均增长率； 任务2 为使月销售利润达到6000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该泥塑的售价应定为多少元/件？ 24. 如图，已知二次函数经过点，，与x轴另一交点为点，点在线段上运动（不与点，点重合），过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点． （1）求该二次函数的解析式及点的坐标； （2）若，求点的坐标； （3）求线段的最大值； （4）在抛物线上是否存在一点（不与点重合），使得的面积等于的面积，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $