5.5一次函数与二元一次方程 课件-2025-2026学年苏科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦一次函数与二元一次方程的关系，通过“3x+y=1是什么”的问题导入，引导学生发现二元一次方程与一次函数的转化，结合具体方程验证转化普遍性，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以几何直观为核心，通过函数图象观察点与方程解的关系，从具体实例归纳一般结论培养推理意识，结合列车相遇问题渗透模型意识。分层练习和数形结合总结帮助学生构建知识体系，教师可借助清晰结构提升教学效率。

5.5一次函数与二元一次方程 苏科版 八年级上册 第5章 一次函数 目录/CONTENTS 1.教学目标 2.新课引入 3.新课探究 4.例题精讲 5.课堂练习 6.课堂总结 1.会根据一次函数的图象解释一次函数与二元一次方程的关系，增强几何直观. 2.能够运用数形结合思想，借助一次函数与二元一次方程的关系解决实际问题，发展应用意识. 教学目标 新课引入 问题: 3x+y=1是什么？ 3x+y=1 二元一次方程 y=-3x+1 一次函数 这是怎么回事呢？ 新课引入 思考:是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？ 方程 x-y=-5 可以转化为 方程 0.5x-y=-15 可以转化为 y=x+5 y=0.5x+15 新课探究 问题:观察图中一次函数y=2x-3的图象,图象上点的坐标与二元一次方程2x-y-3=0的解之间有什么关系? 新课探究 问题:观察图中一次函数y=2x-3的图象,图象上点的坐标与二元一次方程2x-y-3=0的解之间有什么关系? 事实上,一次函数y=2x-3的图象上的点的坐标都是二元一 次方程2x-y-3=0的解; 反之,以二元一次方程2x-y-3=0 的解为坐标的点都在一次函数y=2x-3的图象上 . 新课探究 一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一次函数 的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程 的解； 以二元一次方程 的解为坐标的点都在一次函数 的图象上． 新课探究 讨论:二元一次方程组的解与同一个直角坐标系中一次函数y=2x-3,y=x-的图象交点坐标之间有怎样的关系? 如图，点P(1，-1)既在y=2x-3的图像上，又在y=x-的图像上，是两图象的交点。 的解. 新课探究 讨论:二元一次方程组的解与同一个直角坐标系中一次函数y=2x-3,y=x-的图象交点坐标之间有怎样的关系? 一般地,如果两个一次函数的图象有一个交点,那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解 . 例题精讲 ◁例 已知一次函数y=3x-1的图象与正比例函数y=kx (k为常数, k≠0)的图象交点的横坐标是1. (1)求k的值; (2)写出关于x,y的方程组的解 . 解：(1)把x=1代入y=3x-1,得 y=2, 把x=1,y=2,代入y=kx,得 k=2. 例题精讲 ◁例 已知一次函数y=3x-1的图象与正比例函数y=kx (k为常数, k≠0)的图象交点的横坐标是1. (1)求k的值; (2)写出关于x,y的方程组的解 . 解：(2)由(1)知,一次函数y=3x-1的图象与正比例函数y=kx的图 象交点坐标为(1,2), 所以,关于x,y的方程组的解为 新课探究 探究:A,B两地相距200km,甲列车从 A 地出发,以240km/h的平均速度驶向B地;乙列车在甲列车出发15min后,从B地出发以320km/h的平均速度驶向 A地 .如图所示是两列车与 A地的距离skm关于时间th的函数图象 .请根据图象回答问题: (1)甲列车出发多久后与乙列车相遇? 此时距A地多远? (1）S甲=240t，S乙=200-320(t-0.25)=-320t+280t 相遇时S甲=S乙，即240t=-320t+280，解得t=0.5 h。 甲列车出发0.5h后与乙列车相遇，此时距A地120km。 新课探究 探究:A,B两地相距200km,甲列车从 A 地出发,以240km/h的平均速度驶向B地;乙列车在甲列车出发15min后,从B地出发以320km/h的平均速度驶向 A地 .如图所示是两列车与 A地的距离skm关于时间th的函数图象 .请根据图象回答问题: (2)甲列车出发多长时间内,其到A地的距离 比乙列车到A地的距离更近? (2）甲距A地更近即S甲<S乙， 即240t<-320t+280，解得t<0.5 h。 新课探究 归纳： 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 课堂练习 基础巩固 1.直线上每个点的坐标都是二元一次方程 的解的直线是 ( ) C A. B. C. D. 课堂练习 基础巩固 2.点在直线上，坐标中的值、 值是二元一次 方程的解，则点 在( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.把二元一次方程化为 的形式为_ __________. 课堂练习 基础巩固 4.在平面直角坐标系中，函数y＝kx＋b（k≠0）与y＝－kx＋3的图象交于点（2，1），则方程组 的解是 ⁠. 　 课堂练习 基础巩固 5.如图，过点的直线 与直线 交于点 . （1）求直线 的表达式； 解：把的坐标代入，得 ， 点的坐标为 . 把点，的坐标分别代入 ， 得解得 直线的表达式为 . 课堂练习 基础巩固 5.如图，过点的直线 与直线 交于点 . （2）方程组 的解为_ ________； （3）求四边形 的面积. 解： 直线交轴于点，交轴于点 ， 易得，，， ， . 课堂练习 能力提升 1.已知一次函数与 的图象如图所示，则关于与 的二元一次方程组 的解有( ) A A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 课堂练习 能力提升 2. 如图，四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A（－1，3），O（0，0），B（3，－1），C（5，4），在该平面内找一点P，使它到四个顶点的距离之和PA＋PO＋PB＋PC最小，则点P的坐标为 ⁠. 　 课堂练习 思维拓展 1.如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝ x的图象与一次函数 y＝－x＋7的图象交于点A. （1） 求点A的坐标. 解：（1） 由 解得 ∴ 点A的坐标为（4，3） 课堂练习 思维拓展 （2） 设x轴上有一点P（a，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A 的右侧），分别交正比例函数y＝ x的图象和一次函数y＝－x＋7的图 象于B，C两点，连接OC. 若BC＝ OA，求△OBC的面积. 课堂练习 思维拓展 解：（2） 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D. 由（1），得A（4， 3），∴ OD＝4，AD＝3.在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA＝ ＝5.∴ BC＝ OA＝ ×5＝7.∵ 点P的坐标为（a，0）， ∴ 点B的坐标为 ，点C的坐标为（a，－a＋7），∴ BC＝ a－（－a＋7）＝ a－7，∴ a－7＝7，解得a＝8，即OP＝8， ∴ S△OBC＝ BC·OP＝ ×7×8＝28 课堂总结 1.一次函数与二元一次方程的关系： 一般地，一次函数 的图象上任意一点的坐标都是 二元一次方程 的解； 以二元一次方程 的解为坐标的点都在一次函数 的图象上． 课堂总结 2.一次函数与二元一次方程组的关系： 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 感谢您的聆听 THANK YOU FOR LISTENING $