精品解析：山东省淄博市第五中学和桓台一中2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

2023级高三第三次阶段性质量检测数学 2025.11 一､单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 3. 已知命题，，则（ ） A. ，，且是真命题 B. ，，且是真命题 C. ，，且是假命题 D. ，，且是假命题 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 4 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 二､多选题（共18分） 9. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点的纵坐标为 D. 的解集为 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数.则 三､填空题（共15分） 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 13. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 14. 已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________. 四､解答题（共77分） 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 17. 设函数的最大值为2. （1）求值； （2）若且在区间上是增函数，求在上有且仅有3个零点时，的取值范围. 18. 如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）若，，求面积的最大值. 19. 已知函数． （1）若存在，使≤成立，求a的取值范围； （2）若，存在，，且当时，，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三第三次阶段性质量检测数学 2025.11 一､单选题（共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用交集运算即可求解. 【详解】因为， 所以， 故选：C 2. 已知为纯虚数，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数乘法求出，再利用纯虚数的意义求解即得. 【详解】依题意，，由是纯虚数，得， 所以. 故选：B 3. 已知命题，，则（ ） A. ，，且是真命题 B. ，，且是真命题 C. ，，且是假命题 D. ，，且是假命题 【答案】D 【解析】 【分析】先判断命题的真假，再由全称量词命题的否定是存在量词命题求解． 【详解】设， 则， 得函数在上单调递增， 则， 得，则命题是真命题，得是假命题， 且，， 故选：D 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出关系来确定充要关系即可. 【详解】因为，所以，即“”是“”的充分条件， 因为，所以，即“”不是“”的必要条件， 故选：A 5. 已知，且，则的最小值是（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题可得，然后由基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 6. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将两个等式平方相加，结合同角三角函数的平方关系式和和差角公式可得，然后结合角的范围可得答案. 【详解】由两边平方可得①， 由两边平方可得②， ①+②得：， 整理得，即， 又因为，所以. 故选：A 7. 在中，，D为BC的中点，点P在斜边BC的中线AD上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系，，求出点坐标可得，利用二次函数的单调性可得答案. 【详解】以为坐标原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 所以，因为D为BC的中点，所以， ，设，所以， 所以，可得，， 所以， 因为，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是以为坐标原点建立平面直角坐标系，转化为坐标的运算求数量积. 8. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则（　　） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及立方和公式化简求值即可. 【详解】，， ， 令，则， ，即， ， ， ， 解得， 故选：D 二､多选题（共18分） 9. 定义在上的函数，如果对任意，都有，且等号仅在时成立，则称函数为“下凹函数”.下列函数是下凹函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用下凹函数的图象特征，通过数形结合来判断即可. 【详解】 根据下凹函数定义，我们知道下凹函数的图象特征， 对于A，作图： 不满足下凹函数的图象特征，故A错误； 对于B，作图： 满足下凹函数的图象特征，故B正确； 对于C，作图： 不满足下凹函数的图象特征，故C错误； 对于D，作图： 满足下凹函数的图象特征，故D正确； 故选：BD. 10. 如图，函数的部分图象与坐标轴分别交于点，且的面积为，则（ ） A. 在上单调递增 B. 的对称中心是 C. 点的纵坐标为 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据周期求得，利用面积公式求得判断C；进而利用求得解析式，利用整体法求得单调递增区间判断A；求得对称中心判断B；解不等式判断D. 【详解】最小正周期，故选项C正确； 由， 令， 当时，单调递增且，此时单调递增， 在上单调递增，故选项A正确； ， 所以函数的对称中心为，故选项B错误； ，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象.则称为“旋转函数”.那么（ ） A. 存在旋转函数 B. 旋转函数一定是旋转函数 C. 若为旋转函数，则 D. 若为旋转函数.则 【答案】AC 【解析】 【分析】对A，举例说明即可；对B，举反例判断即可；根据函数的性质，结合“旋转函数”的定义逐个判断即可；对CD，将旋转函数转化为函数与任意斜率为1的函数最多一个交点，再联立函数与直线的方程，分析零点个数判断即可. 【详解】对A，如满足条件，故A正确； 对B，如倾斜角为的直线是旋转函数，不是旋转函数，故B错误； 对C，若为旋转函数，则根据函数的性质可得， 逆时针旋转后，不存在与轴垂直的直线，使得直线与函数有1个以上的交点. 故不存在倾斜角为的直线与的函数图象有两个交点. 即与至多1个交点. 联立，可得. 当时，最多1个解，满足题意； 当时，的判别式， 对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意，故.故C正确； 对D，同C，与的交点个数小于等于1， 即对任意的，使得方程至多1个解， 故为单调函数，即为非正或非负函数. 又，故，即恒成立. 即图象在上方，故，即. 当与相切时，可设切点， 对求导有，故，解得，此时， 所以.故D错误. 故选；AC 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 三､填空题（共15分） 12. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】由题意，在方向上投影向量的坐标为. 故答案为：. 13. 写出过坐标原点且与曲线相切的一条直线方程______． 【答案】y＝2ex（或y＝－2ex） 【解析】 【分析】由导数的几何意义求出时的切线方程，利用对称性可得时的切线方程. 【详解】当时，，， 设切点坐标为，则，解得， 所以此时切点坐标为，切线方程为， 即. 因为为偶函数，所以它的图象关于轴对称， 则它的过原点的切线也关于轴对称， 所以它的另一条切线方程为. 故答案为：（或）. 14. 已知，函数，若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，则实数的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出进而得到，原方程转化为，分和，当时，需要分和进行讨论. 【详解】由题意可得，所以，所以原方程即 ，且满足， 当时，，此时符合题意； 当时，或， 若，此时符合题意； 若，则或， 综上所述： . 故答案为： 四､解答题（共77分） 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 . 16. 已知函数，． （1）当，求的极值； （2）当时，讨论的单调性． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2） 时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 【解析】 【分析】（1）由得到，然后分别令，，再根据极值的定义求解. （2）由，分，，由，求解. 【小问1详解】 时，，（） 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故，且无极大值． 【小问2详解】 （） （i）当，时，，，单调递减； （ii）当，时，，，单调递减； 时，，，单调递增． 综上，时，的减区间是，无增区间； 时，的减区间是，增区间是． 17. 设函数的最大值为2. （1）求值； （2）若且在区间上是增函数，求在上有且仅有3个零点时，的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变形，即可通过最大值求参数值； （2）利用已知条件可以先求参数，再利用相位整体分析可得不等式求参数范围. 【小问1详解】 由题可知， ， 因为函数的最大值为2，所以，解得. 【小问2详解】 当时，则. 因为，所以， 即. 当时，； 因为函数在区间上是增函数，所以，即. 综上，.此时，. 当时，； 若在上有且仅有3个零点，则， 得. 因此的取值范围是. 18. 如图，在等边中，分别为边上的点（不含端点），记分别为的内角的对边，且. （1）若为锐角三角形，求的取值范围； （2）若，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理得，又，进而得，即可求，由为锐角三角形，即可求解； （2）设得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，即，利用三角恒等变换即可得最大值，进而求解. 【小问1详解】 由，由正弦定理得， 又因为， 所以， 因为，所以， 故，解得（舍）或， 因为，所以，得， 因为为锐角三角形，所以， 故，得， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 因为， 所以当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，因为， 所以， 在中，由正弦定理得，得， 在中，由正弦定理得，得， ， 其中， 所以当时，取得最大值， 所以面积的最大值为. 19. 已知函数． （1）若存在，使≤成立，求a的取值范围； （2）若，存在，，且当时，，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】(1)参变分离不等式≤，构造函数，求h(x)的最小值即可得a的取值范围； (2)整理化简可得，构造函数并判断单调性，从而可利用将等式中替换掉，问题即可转化为证明，令即可进一步转化为证明即可． 【小问1详解】 由，得，，即， 令， ，则， 设，，则， 在上单调递增，， 在上，，单调递增， ， 取值范围是； 【小问2详解】 不妨设， ，(*)， ， 令，故，故函数在上单调递增． ，从而， 由(*)得， ， 下面证明：， 令，则.即证明：，则只要证明， 设，在恒成立， 在单调递减，故， ， ． 【点睛】本题第二问关键是构造函数，将转化为，构造，将问题转化为即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $