精品解析：山东省泰安市2026届高三上学期期中考试数学试题

高三年级考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断. 【详解】因为， 所以的虚部为. 故选：B 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解出集合，再根据补集和交集的定义求解. 【详解】，或，， ，，. 故选：D. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由当时，，排除D，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为偶函数，排除AC； 当时， ，所以，排除D. 故选：B. 4. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】因为， 所以， 又， 所以，则，则， 解得或， 又，所以. 故选：C 5. 已知函数，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简的表达式，然后采用换元法令，求解出的最小值即可知的最小值. 【详解】， 当时，令，且在上单调递增， 所以， 所以，此时， 故选：D. 6. 已知函数的定义域为，值域为，则“”是“对任意，存在，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】对两个命题分别进行充分性和必要性的分析得到结论. 【详解】命题，即值域包含所有正数； 命题对任意，存在，使； 充分性分析：若，则对任意，取，则， 故存在使得，所以能推出，充分性成立； 必要性分析： 若对任意，存在使得，这说明函数的值域无上界. 例如取，定义域，则其值域. 显然，对任意，存在（例如取），使得，命题成立； 但其值域，不满足，即命题不成立，不能推出，必要性不成立. 是的充分不必要条件. 故选：A. 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用导数法得，从而有；设，利用导数法得，从而有，即可得解. 【详解】设，则，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以，即； 设，则，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，所以，即； 所以. 故选：B 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则，即， 又为奇函数，所以，所以， 即， 所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，，， 又，所以，，即， 所以 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】由幂函数的单调性比较大小判断A；由不等式性质判断 B；作差法判断C；结合正弦函数的值域，利用对勾函数的单调性求解值域判断D. 【详解】对于A，因为函数在上单调递增，所以由即知， ，则，A正确； 对于B，若，则当时，，B错误； 对于C，由， 因，可得，故有，C正确. 对于D，因为，所以，在上单调递减， 所以，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为5，D错误， 故选：AC 10. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，将点代入求出，由求出，由和，结合图像得到，结合，求出；选项B，由求出的范围，从而得到在范围内是减函数，在范围内是增函数，故选项B不正确；选项C，由对称轴为，计算得解； 选项D，将图象上每个点的横坐标变为原来的倍求出函数，由得到的范围，求出时，，又的最大值为4，最小值为，结合图像得到，计算得解. 【详解】选项A，，在的图象上， ，，，，， ，，， 在轴左侧，，，， 的最大值为4，最小值为，又，， ，，，，，故选项A正确； 选项B，，，，， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 在范围内是减函数，在范围内是增函数， 故选项B不正确； 选项C，，对称轴为，，当时，对称轴为，故选项C正确； 选项D，， 将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数， ， ，， 当时，即时，， 的最大值为4，最小值为， ，，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值，则 B. 若，则 C. 若函数有3个零点，且，则 D. 当函数的图象经过的象限最多时，的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，求，由有两个极值得到有两个不等实根，则，计算求解；选项B，由求出，代入，计算得解；选项C，由有3个零点，得到，求出，结合已知建立的等式，计算求得的值；选项D，设， 求的图像经过的象限最多，就需要的图像经过四个象限，就是求在和上均有正值和负值，利用导数法结合极值讨论求解. 【详解】选项A，，， 三次函数，， 有两个极值，有两个不等实根， ，，，，故选项A正确； 选项B，，， ， ， ，故选项B正确； 选项C，有3个零点， 有3个不同的根， ，， ，，，，故选项C不正确； 选项D，设，， ， 的图像经过的象限最多，则的图像要经过全部四个象限，当且仅当函数在和上均有正值和负值， 时，或， 当时，即， 的解为或，则在和为增函数； 的解为，则在为减函数； ，，，时，， 当时，， 的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限； 当时，即， 的解为或，则在和为增函数； 的解为，则在为减函数； ，，，时，， 当时，， 的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限； 当时，，则在为增函数； ，，，时，， 当时，， 的图像经过的象限最多为第一、二、四这三个象限； 当时，即， 的解为或，则在和为减函数； 的解为，则在为增函数； ，， ，， ，， ，有正有负，过二、三象限； ，， 当时，即， ，，在的范围有正有负， 当时，的图像经过的象限最多为第一、四象限； 综上可知，时，的图像经过的象限最多为第一、二、三、四象限， 故当的图像经过的象限最多时，.故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据求导法则求得，再根据可求出的值. 【详解】因为，且， 所以，所以， 故答案为：. 13. 已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据，求出，再根据数量积的运算律得到，求出的范围，即可得解． 【详解】因为，，， 又，所以， 则，所以，则， 所以， 又，所以，则， 所以 ， 又， 所以， 所以. 故答案为： 14. 已知关于的函数是的零点．记，其中表示不超过的最大整数，若为的前项和，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】采用换元法，令，根据函数单调性和零点的存在性定理判断出的范围，再对分奇偶讨论，结合定义可确定出关于的表示，利用正弦函数的周期性可求解出的值. 【详解】因为是的零点，所以， 令，则，则， 令，且在上单调递增， 所以在上单调递增， 因为，， 所以存在唯一使得， 当()时，，所以， 当()时，，所以； 当()时，， 当()时，， 当()时，， 所以， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 【答案】（1）当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增 （2） 当时，在上无极值； 当时，在上无极值； 当时，在处有极小值，无极大值. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，通分，然后按照和分类讨论即可得解； （2）按照、和分类讨论，根据极值的定义来求解. 【小问1详解】 由得， 当时，，在上单调递增； 当时，令且得， 令且得， 故在上单调递减，在  上单调递增； 综上，当时， 在上单调递增； 当时， 在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 当时，在上单调递增，无极值； 当，即时，在上单调递减，无极值； 当，即时，，且在上单调递减， 在上单调递增， 故函数在处有极小值，无极大值. 16. 已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据奇函数的定义域关于原点对称求得，然后再根据奇函数的定义求得； （2）根据题意得及，即可求得，然后将函数零点问题转化为在上有两个不同的零点，且不是的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式组求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为， 因为函数是奇函数，所以定义域关于原点对称，所以，所以， 又，所以，即恒成立， 所以； 【小问2详解】 若点在直线上，则，又函数的图象过点， 所以，所以，所以； 所以， 因为在上有两个不同的零点， 所以在上有两个不同的解，且， 记，其开口向上，对称轴为， 要使在上有两个不同的零点， 则，即，解得， 又，所以且， 所以且，即的取值范围为. 17. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，求的值． 【答案】（1） 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或(舍去，此时，不符合条件)， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，然后结合两角和差的正弦公式可完成证明； （2）先求得的值，然后通过等面积法求得的关系式，进而求得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 因为， 所以， 且， 所以， 在中，， . 18. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由求解，将题干条件变形求得，然后按照等比数列的定义及通项公式求解即可； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和即可； （3）参变分离得恒成立，设，利用作差法研究其单调性，即可求解． 【小问1详解】 因为数列的前项和为， 当时，， 当，时，， 也满足上式，所以； 因为，所以， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列，所以； 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ，所以， 当为偶数时，， 记， 则， 所以． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 所以恒成立，即求的最大值， 设， ， 所以单调递增，又，所以，所以． 19. 已知． （1）若，求的值域； （2）已知存在唯一的极值． （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，使对于恒成立，求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示求得，结合时，求导，分析函数的单调性，进而求解即可； （2）（i）求导，分，两种情况讨论求解即可； （ii）结合（i）转化问题为存在使得成立，可得，设，，求导，分析函数的单调性，进而求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 则， 所以在上单调递增，而， 所以的值域为. 【小问2详解】 （i）由， 则， 当时，， 则在上单调递增，无极值，不满足题意； 当时，设，， 则， 由，，，则，从而在上单调递增， 又，， 由零点存在性定理可知，存在，使得， 从而当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是在上唯一的极值且为极小值，故符合题意. 综上所述，实数的取值范围为． （ii）由（2）知，有且仅有一个极小值点， 则，即， 由，则，， 则， 则， 化简得，， 由题意，存在使得成立， 则， 设，， 则 ， 因为，所以，， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 所以的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三年级考试 数学试题 2025.11 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正项等差数列满足，则（ ） A. 5 B. C. D. 5. 已知函数，则在上的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的定义域为，值域为，则“”是“对任意，存在，使”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 当时，的最小值为4 10. 已知函数的图象如图所示，点在的图象上，若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. 图象关于对称 D. 若将图象上每个点的横坐标变为原来的倍得函数在上恰有一个最大值，一个最小值，则 11. 已知三次函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若有两个极值，则 B. 若，则 C. 若函数有3个零点，且，则 D. 当函数的图象经过的象限最多时，的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数，，若，则___________． 13. 已知在平面直角坐标系中，，，，设，则的取值范围是___________． 14. 已知关于的函数是的零点．记，其中表示不超过的最大整数，若为的前项和，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，求函数的极值． 16. 已知函数． （1）若为奇函数，求的值； （2）若点在直线上，函数的图象过点且在上有两个不同的零点，求的值及的取值范围． 17. 已知在中，内角的对边分别为，且． （1）求证：； （2）若的平分线交于，求的值． 18. 已知数列的前项和为，，数列的各项均为正数，且. （1）求数列，的通项公式； （2）设，求数列的前项和． （3）若对于任意的，不等式恒成立．求实数的取值范围． 19. 已知． （1）若，求的值域； （2）已知存在唯一的极值． （i）求实数的取值范围； （ii）若存在实数，使对于恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $