精品解析：云南省昆明市2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025~2026学年度秋季学期期中总结与反馈 九年级数学 范围：第二十一章~第二十三章 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 地下水位逐年下降 B. 传送带的移动 C. 升国旗的过程 D. 工作中的风力发电机叶片 2. 若方程“”是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 3. 下列字母中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D. 6. 下列四个点，在二次函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 8. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 13. 抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 14. 某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 15. 在同一个平面直角坐标系中，二次函数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 17. 在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________． 18. 如果a，b是一元二次方程的两个实数根，那么代数式的值为_____． 19. 若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是_____． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到．若点A，C，D在同一条直线上，且，求和的度数． 22. 某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知，，连接． （1）画出线段关于轴对称的线段； （2）将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，画出线段，并直接写出点的坐标为：_____． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形?求此菱形的边长． 25. “蒙自石榴”是云南省红河哈尼族彝族自治州的特产，以果大、皮薄、籽粒饱满、汁多味甜而闻名．临近中秋，某水果店购入一批进价为10元/千克的“蒙自石榴”进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系为． （1）当“蒙自石榴”每天的销售量为32千克时，求销售“蒙自石榴”的利润； （2）当销售单价定为多少时，销售“蒙自石榴”所获日销售利润最大，最大利润是多少? 26. 已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 27. 如图，在等边中，为上一点，连接，为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）若点是的中点，求的度数； （2）求证：； （3）点为延长线上一点，连接交于点，若点为的中点，试用等式表示线段，FN，之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度秋季学期期中总结与反馈 九年级数学 范围：第二十一章~第二十三章 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，练习用时120分钟） 一、选择题：本题共15小题，每小题2分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数学来源于生活，下列生活中的运动属于旋转的是（ ） A. 地下水位逐年下降 B. 传送带的移动 C. 升国旗的过程 D. 工作中的风力发电机叶片 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查旋转的定义，旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动，据此依次判断即可． 【详解】解：旋转的定义是物体绕一个固定点或轴做圆周运动， A、地下水位逐年下降是垂直方向的变化，无旋转中心； B、传送带的移动是物体沿直线运动，属于平移； C、升国旗的过程是国旗沿旗杆直线上升，属于平移； D、工作中的风力发电机叶片绕中心轴转动，属于旋转； 故选：D． 2. 若方程“”是关于的一元二次方程，则“□”可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：∵方程“”是关于的一元二次方程， ∴“□”中必须含有项， 只有选项B符合题意； 故选：B． 3. 下列字母中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 4. 二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据二次函数的的顶点坐标为，即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：A 5. 将关于的方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 2，2，5 B. 2，，5 C. 2，2， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】解：∵原方程为 ， 展开得 ， ∴ ， 移项得 ， ∴ 一般形式为 ， ∴ 二次项系数为 2，一次项系数为 ，常数项为 ， 故选：D 6. 下列四个点，在二次函数的图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图像上点的坐标特征，代入各选项中点的横坐标，求出y值，再将其与点的纵坐标比较后，即可得出结论． 【详解】解：A．当时，， ∴点在函数的图像上，符合题意；选项B不符合题意； C．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意； D．当时，， ∴点不在函数的图像上，不符合题意． 故选：A． 7. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 8. 若是方程的一个解，则m的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，将方程的解代入方程中求解即可．理解方程的解满足方程是解答的关键． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得， 故选：D． 9. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 根据二次函数的图象和性质，先确定对称轴，再根据增减性进行求解即可． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为，且开口向下， ∴ 点离对称轴越近，值越大， 计算各点到对称轴的距离： 点：， 点：， 点：， ∴ 距离关系：近，其次，最远， 故值大小关系为，即， 故选： C． 10. 用配方法解方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法，配方法的关键是添加一次项系数一半的平方，使方程左边成为完全平方式． 使用配方法解方程，通过添加一次项系数一半的平方，将方程转化为完全平方形式． 【详解】解：∵， ∴ 移项得， ∴ 方程两边同时加9：， ∴ 整理得 ， 故选：B． 11. 将抛物线向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线平移的性质，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”，先处理向下平移，再处理向左平移，直接计算新表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线为 ， 向下平移2个单位：， 再向左平移1个单位：， ∴ 新抛物线表达式为， 故选：A． 12. 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，若，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角的度数，平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴旋转角的度数为， 故选：C． 13. 抛物线的部分图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，利用图象求不等式的解集，根据对称性求出函数与轴的另一个交点坐标，结合图象确定解集即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 由图象可知，当时，图象在轴的上方，即， ∴当时，x的取值范围是； 故选：A． 14. 某公司2024年研发新产品花费成本225万元，经技术改进，计划到2026年研发新产品花费成本降到169万元，如果设这两年每年成本的下降率都为，那么可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程即可． 【详解】解：∵ 从2024年到2026年，经过2年，每年成本下降率为x， ∴， 故选：B． 15. 在同一个平面直角坐标系中，二次函数，的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数与一次函数图象的特点与其系数的关系． 根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的正负情况，从而可以解答本题． 【详解】解： 二次函数，， 二次函数开口向上，排除选项A； 当时，一次函数经过一、二、四象限，排除选项C， 当时，，，相应的函数值互为相反数，只有选项D符合题意； 故选∶D． 二、填空题：本题共4小题，每小题2分，共8分． 16. 若函数是二次函数且有最小值，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数的性质等知识．根据二次函数的定义得到，解得，根据二次函数有最小值，得到需开口向上，，即可求出，问题得解． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得， ∵函数有最小值， ∴， ∴． 故答案为：2 17. 在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】（2，-5） 【解析】 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点P（-2，5）关于原点对称点的点的坐标是（2，-5）． 故答案为：（2，-5）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，比较简单． 18. 如果a，b是一元二次方程的两个实数根，那么代数式的值为_____． 【答案】0 【解析】 【分析】题目主要考查根与系数的关系，根据题意得到两根之和与积，再根据根满足方程进行变形代入即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，且 ， 即 ， ∴ ， 故答案为：0． 19. 若二次函数的图象与轴没有公共点，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的定义，二次函数与x轴的交点问题，解题的关键在于掌握：的图象与x轴没有交点，即没有实数根． 结合二次函数的定义和一元二次方程根的判别式来解答． 【详解】解：因为是二次函数，函数图象与x轴没有公共点， 所以 解得： 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 20. 请选择你认为适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）利用直接开平方法即可求解； （2）利用因式分解法即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ， ， ， ∴或， ∴． 21. 如图，将绕顶点顺时针旋转得到．若点A，C，D在同一条直线上，且，求和的度数． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，理解并掌握旋转的性质是解题关键． 根据旋转的性质可得，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵绕顶点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． 22. 某地新建一个矩形停车场，布局如图所示．已知停车场外围的长为20米，宽为15米，阴影部分设计为停车位，地面需要喷漆，其余部分是等宽的车道，若喷漆面积为204平方米，求车道的宽是多少米? 【答案】车道的宽为3米． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是找准等量关系建立等式． 设车的宽为x米，根据喷漆面积列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设车道的宽为x米， 根据题意得：， 解得，（舍）， 答：车道的宽为3米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知，，连接． （1）画出线段关于轴对称的线段； （2）将线段绕着点顺时针旋转，得到线段，画出线段，并直接写出点的坐标为：_____． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，即为旋转后的图形， 【解析】 【分析】本题考查了轴对称作图，旋转作图，根据相关性质正确画图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用旋转的性质可作出图形，得到点坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）若平行四边形的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，平行四边形是菱形?求此菱形的边长． 【答案】（1） 解：∵， ∴无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2），菱形的边长为1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，菱形的性质等知识． （1）计算，即可证明无论取任何非零实数，该方程总有实数根； （2）根据菱形性质得到方程有两个相等的实数根，，求出，可得方程为，解得，问题得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，的长是已知方程的两个实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴一元二次方程为， 解得， ∴菱形边长为1． 25. “蒙自石榴”是云南省红河哈尼族彝族自治州的特产，以果大、皮薄、籽粒饱满、汁多味甜而闻名．临近中秋，某水果店购入一批进价为10元/千克的“蒙自石榴”进行销售，经调查发现：销售单价不低于进价且不超过30元/千克时，日销售量（千克）与销售单价（元/千克）的函数关系为． （1）当“蒙自石榴”每天的销售量为32千克时，求销售“蒙自石榴”的利润； （2）当销售单价定为多少时，销售“蒙自石榴”所获日销售利润最大，最大利润是多少? 【答案】（1）利润为320元； （2）当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用等知识，根据题意列出函数解析式是解题的关键． （1）先求得销售单价的值，然后根据单件利润乘以销售量等于总利润即可解答； （2）设日销售利润为元，结合单件利润乘以销售量等于总利润可建立函数解析式求解即可，然后确定售价的取值范围，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴销售“蒙自石榴”的利润为元． 答：销售“蒙自石榴”的利润为320元； 【小问2详解】 解：设日销售利润为元，由题意得： ， ∵，且销售单价不低于进价且不超过元/千克，即， ∴当时，有最大值元． 答：当销售单价定为元时，所获日销售利润最大，最大利润是元． 26. 已知抛物线经过点，且当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．设是抛物线与轴交点的横坐标． （1）求该抛物线的解析式； （2）求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解及代数式的求值，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用对称轴和点的坐标求解析式即可； （2）利用抛物线与轴的交点方程，通过代数变形整体代入求值． 【小问1详解】 解：抛物线经过点， 代入得，即， 又当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 对称轴为即， ， 该抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：是抛物线与轴交点的横坐标， ， 两边除以得， ， 方程两边除以得，即， ， ， ， ． 27. 如图，在等边中，为上一点，连接，为线段上一点（），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）若点是的中点，求的度数； （2）求证：； （3）点为延长线上一点，连接交于点，若点为的中点，试用等式表示线段，FN，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1） （2） 证明：由旋转的性质可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 解：，证明如下： 如图所示，延长到H，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，旋转的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质即可得到答案； （2）利用证明即可证明结论； （3）延长到H，使得，连接，证明，得到；再证明，得到，据此由线段的和差关系可得结论． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵点是的中点， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $