精品解析：湖南省长沙市开福区长沙大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

长沙大学附属中学高二期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 5. 复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 6. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内切球的半径为 B. 点可以为的重心 C. D. 面积的最小值为 10. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时， D. 的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 13. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 14. 已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为____. 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 16. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 17. 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． （2024安徽等地安师大附中·开学摸底） 18. 已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. （1）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. （2）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙大学附属中学高二期中考试数学试题 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合或，，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用并集的结果列式求解. 【详解】集合或，，由， 得，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C 2. 已知函数在上单调递减，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数型复合函数单调性列式求解. 【详解】函数在上单调递减，而函数在上单调递减， 则函数上在上单调递增，且当时，， 因此，解得， 所以实数k的取值范围是. 故选：B 3. 如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，可分析的范围，再由同角三角函数基本关系求出，据此可求出速度，再由求解. 【详解】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直， 由图可知，所以，故， 所以，又因为，所以， 所以（），故. 故选：D. 4. 如图，平行四边形中，点E为BC的中点，点F在线段AE上，且，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理，结合平行四边形的性质求解即可. 【详解】因为平行四边形中，是的中点，，， 所以 . 故选：D． 5. 复数z满足（i是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算. 【详解】由得， 故选：A. 6. 在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意选为一组基底，利用空间向量基本定理，先表示，利用即可求解. 【详解】由题意有：， ， 所以， 故选：C． 7. 已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 8. 双曲线的离心率为2，其中一条渐近线与圆相交于A，B两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的几何性质，求得渐近线方程，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式和圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为，可得， 可得，所以双曲线的渐近线方程为，即， 又由圆，可得圆心为，半径， 当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆不相交，不符合题意； 当当时，即，可得圆心到渐近线的距离为， 此时直线与圆相交，符合题意， 所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分） 9. 已知正四面体的棱长为4，四面体内部一点（包含边界）到三个侧面，，的距离之比为，则下列说法正确的是（ ） A. 正四面体内切球的半径为 B. 点可以为的重心 C. D. 面积的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正四面体的性质推导出A选项；用已知条件并结合线面垂直判定和性质判断B、C两项；D选项运用建系建立方程即可得证. 【详解】设为中点，为的中心，则面, 点到侧面，的距离之比为，在面内， 又正四面体的棱长为4，. 对于选项A，设内切圆的半径为，， 正确. 对于选项B，若点可以为的重心，则重合，则点到三个侧面的距离之比为，错误. 对于选项C，为正四面体，为中点，, 为的中心,面,面， 又面且， 面，面，正确. 对于选项D，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 设， 则， 设面的法向量为，则， 令，则 设面的法向量为，则， 令,则， 到面的距离； 到面的距离,，，，， 当时，，, 正确. 故选：ACD. 10. 定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”．在中，边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为，其“直径”为，则（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 当时， D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由三角形等面积法及余弦定理可判断A，再由基本不等式得出范围即可得出面积最大值判断B，再由题目条件得出三角形为等腰直角三角形，即可求出最大值判断C，由C中结论及基本不等式判断D. 【详解】设角所对的边长为 由三角形的面积公式可得， 所以，由余弦定理，可得，所以，故A正确； 由，又，所以， 所以，所以，且仅当时取等，B正确； 设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点， 由两点间线段最短可得，当且仅当 四点共线时取等，所以，又， 所以，解得，所以，，所以，故C错误； 由前可知，，当且仅当时取等，故D正确. 故选：ABD 11. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点，点是的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则点到轴的距离为 C. 若延长线交轴于，且是的中点，则 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可求出的值可判断A；利用抛物线的定义转化为梯形中边之间的关系可判断B；根据是的中点求出的横坐标，结合抛物线的定义可判断C；利用抛物线的定义将取最小值转化为最大，即直线与抛物线相切，联立直线方程和抛物线方程，令，求解即可判断D. 【详解】过点分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为， 连接，如图： 对于A，由题知，，所以，，故A正确； 对于B，因为点是的中点，所以是梯形的中位线， 所以， 所以点到轴的距离为，故B错误； 对于C， ，设，， 因为是的中点，则， 所以，故C正确； 对于D，， 所以当最大时，即直线与抛物线相切时，取最小值， 易知直线的斜率不为0，， 设直线：， 则，消去得， 则，解得，， 所以当直线为或时，取最小值， 此时，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可. 【详解】由题意， 所以， 解得. 故答案为： 13. 过点的直线与圆相切于点，与曲线交于点R.若的中点为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为上的任意一点，将点绕原点逆时针旋转到，根据旋转关系，可得点的轨迹为等轴双曲线，从而得到曲线也是等轴双曲线，由双曲线的性质结合几何关系即可求解. 【详解】设为上的点，将点绕原点逆时针旋转到， 则，由于，则， 化简可得：，则点的轨迹为等轴双曲线，其焦点为，，且； 所以曲线也是等轴双曲线，其焦点为，，故点到焦点距离之差为常数.即，如图所示. 因为点分别是和的中点，故， 而，由于， 所以. 故答案为： 14. 已知椭圆的两个顶点分别为，，离心率为点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，，过作的垂线交于点，则与的面积之比为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据已知条件求得椭圆的方程.设出的坐标，根据直线、、的方程求得，进而求得与的面积之比. 【详解】焦点在轴上，两个顶点分别为点，，， ，， 椭圆的方程为； 设，，可得， 直线的方程为：， ，，直线的方程：， 直线的方程：， 直线与直线的方程联立可得 ， 整理为：，即， ，计算可得， 代入直线的方程可得.，则， 又. 故答案为： 四、解答题（本大题共5个小题，共77分） 15. 已知函数． （1）若函数的最小正周期为，求的值； （2）若函数在上单调，且其图象在上存在对称轴，求实数的取值范围． 【答案】（1）8； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦型函数的周期公式求解. （2）利用正弦函数的对称性及单调性质列式求出范围. 【小问1详解】 由函数的最小正周期为，得，所以. 【小问2详解】 当时，， 由函数的图象在上存在对称轴，得，解得， 当时，， 由函数在上单调，得， ，整理得， 由，解得，则， 当时，；当时，；当时，， 又，所以实数的取值范围是. 16. 为了提高学生学习数学的兴趣，某校组织名学生参加数学竞赛预赛，学校根据预赛成绩选拔名学生入围复赛（划定入围复赛分数线，成绩大于等于分数线即入围），下图是根据预赛成绩（满分分）整理后绘制成的频率分布直方图． （1）估算本次预赛成绩的平均分以及入围复赛的分数线； （2）从参加预赛的名学生中随机抽取人进行访谈，设抽取到入围复赛的人数为，求； （3）为了给未入围复赛的学生参加复赛的机会，学校允许数学老师在未入围复赛的名学生中推荐名学生参加复赛．若推荐入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为，通过预赛入围复赛的学生在复赛中获奖的概率为．在入围复赛的名学生中随机抽取名学生，求抽取的学生在复赛中获奖的概率． 【答案】（1）平均分为，入围分数线估计为分 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形面积，将所得结果全部相加，可得出平均分，计算出第百分位数，可得出入围分数线； （2）由题意可知，利用二项分布期望公式可求得的值； （3）设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”，利用全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知平均分为：， 因为，前三个矩形面积之和为， 故第百分位数为，即入围分数线估计为分． 【小问2详解】 由题意知，所以. 【小问3详解】 设“在复赛中获奖”，“由推荐入围复赛的学生”，“由预赛入围复赛的学生”， 则，，，， 所以， 因此抽取的学生在复赛中获奖的概率为． 17. 如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点． （1）证明：平面； （2）已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 连接，，连接， 因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面． （2）（i）；（ii）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i） 因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面； （2024安徽等地安师大附中·开学摸底） 18. 已知圆，过定点作与x轴不重合的直线l交曲线C于E、F两点. （1）过点T作与直线l垂直的直线m交曲线C于G、H两点，求四边形EGFH面积的最大值. （2）设曲线C与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线QF相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程;若不是，说明理由. 【答案】（1）7 （2）是， 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程写出圆心坐标和半径，设过点的直线l方程及与之垂直的直线的方程，根据点到直线的距离公式及圆截直线的弦长公式，分别写出两个弦长的表达式，再写出四边形面积并根据基本不等式求其最大值即可. （2）联立直线l方程与圆的标准方程，可得韦达定理.再写出的方程，联立并化简解得即可判断. 【小问1详解】 已知圆，则圆心为，. 设直线，圆心到直线的距离， 则. 直线与直线垂直，则直线. 当时，. 当且仅当时S取到最大值7. 当时，，， 综上，当时S取到最大值7. 【小问2详解】 设，记，，直线，. 联立直线和圆，得. 恒成立，，，， 可得直线 ，解得， 所以点N恒在定直线. 19. 已知是椭圆的右焦点，过作直线交椭圆于两点，其中在轴上方.当轴时，. （1）求椭圆的标准方程； （2）设， （i）求证：； （ii）设点在椭圆上，点是的外接圆与椭圆的另一个交点（异于），若平分，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）证明：记，由题意知. 设直线的方程为，代入椭圆得：. 则有，① 设与的斜率分别为，则 所以. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据即可求解椭圆标准方程； （2）（i）设与的斜率分别为，将问题转化为证明即可； （ii）设满足，化简可得：，因为直线和直线的交点为，则点都在以为直径的圆上，因为都在以为直径的圆上，故，所以是的角平分线，则，利用三角形面积公式化简即可求解. 【小问1详解】 由题知，，又，解得. 故椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设满足，则 ② 将代入②，并化简得 ，③ 将（2）中①代入③得：， 即. 又因为直线和直线的交点为. 故满足的点都在以为直径的圆上. 因为都在以为直径的圆上， 故，所以是的角平分线. 则， 所以， 即. 所以，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $