精品解析：河南省叶县高级中学2026-2027学年高三上学期开学摸底考试数学试题

河南省叶县高中2026-2027学年高三上学期开学摸底考试 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题知， 所以z的虚部为1. 故选：A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. ，或， . 3. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，变形得：， 因为是增函数，可得：，即， 不等式对任意恒成立，整理得：， 因为，，两边除以得：对任意恒成立， 令，导数，在上是增函数， 因此的最小值为， 要使恒成立，只需，即，得， 因为，故是的充分不必要条件. 4. 若函数的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分，，，四种情况讨论，结合一次函数与对数函数的单调性以及值域即可求解. 【详解】若，则在上单调递减，在上单调递减， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得； 若，则当时，，当时，，的值域不为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 的值域不可能为，不合题意； 若，则在上单调递增，在上单调递增， 且当时，，当时，， 此时要想满足的值域为，则有 ，解得，结合，可得， 综上所述，实数的取值范围为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 6. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积运算公式，求得，结合向量的投影向量的定义，即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 所以在方向上的投影向量为． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理把用表示，然后利用余弦定理求得关系，从而求得离心率． 【详解】设的半焦距为，过点且与其渐近线垂直的直线与渐近线交于点H，， 渐近线的斜率的绝对值为，所以， 因为又，所以，故解得，， 则．在中，由正弦定理，得，解得，故， 由余弦定理，得，整理得，所以的离心率． 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件，利用球的表面积公式求出外接球半径，结合三角形的性质和勾股定理求出，结合余弦定理、三角形面积公式及三棱锥体积公式计算求解． 【详解】 记三棱锥外接球的半径为，则，解得， 与均为以为斜边的直角三角形， 中点为外接球球心，故， 在中，，由勾股定理得： ， 同理可得， 取中点，连接， 为等边三角形，边长为2，则，， 中，，故； 又，平面， 故平面，则三棱锥体积为， 中，， 由余弦定理得：， 则， ， ． 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断AB；取判断C；构造函数，借助函数单调性判断D. 【详解】对于A，由得，故，故，A选项错误； 对于B，由得，故，，B选项正确； 对于C，取，满足，，不满足，故错误； 对于D，令，，当时，显然成立， 当时，，亦成立，故函数在上单调递增， 故当时，，即，故D选项正确. 故选：BD 10. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. D. 当或时，取得最大值 【答案】ACD 【解析】 【详解】已知正项等比数列，，， 由条件得，即，， 由，即， 代入得：， 整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确； 得，通项公式， 前项和：， 即，故选项C正确； 数列是递减正项数列：， 增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误； 前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为， 为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确. 11. 现有一组数据，，，，，，，则（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C. 从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为 D. 用这组数据的个数可组成个不同的七位数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用百分位数的概念可判断B选项；利用组合计数原理和古典概型的概率公式可判断C选项；利用组合计数原理和排列计数原理可判断D选项. 【详解】对于A选项，这组数据的平均数为，A正确； 对于B选项，将这组数据按照从小到大的顺序排列为，，，，，，， 因为，所以这组数据的分位数为，B正确； 对于C选项，从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为，C错误； 对于D选项，七位数的个数等同于从个位置中先选个位置排，再选个位置排， 剩余的个位置排、、即可，用这组数据的个数可组成个不同的七位数，D正确. 故选：ABD. 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【详解】中，任意一个因式选取，该项式的中的指数必为负数，不可能得出， 求展开式中的系数等价于求中的系数， 的通项公式为， 令，，故展开式中的系数为． 13. 若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图象，结合函数图象分析求解. 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 14. 数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 【答案】 【解析】 【分析】先求解数列，再求得数列，用错位相减求和，进而求解的前项和. 【详解】已知数列的通项公式为，则， 数列的前项和为，当时，，当时，， 因此数列的通项公式为 当时，； 当时，， 则， 两式相减得， 即. 化简得，时也符合该式， 综上所述，. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析总分各取值，求其概率并列出分布列，进而按期望公式求出期望. （2）利用全概率公式，根据第一轮后甲得分三种情形进行递归分解，其中时比赛状态重置，时甲失败、时甲获胜，从而建立关于获胜概率的方程并求解. 【小问1详解】 第一轮答题后甲的总分X可取， ，，， X的分布列为 . 【小问2详解】 记D="甲在这次竞赛中获胜"，因为甲获胜至少经过一轮答题，由（1）知， 一轮回答后有三种情形，由全概率公式得： ， 是指一轮答题后甲得0分的条件下甲获胜的概率，为0（乙获胜，比赛结束）； 是指一轮答题后甲得1分的条件下甲获胜的概率为； 是指一轮答题后甲得2分的条件下甲获胜的概率为1； 所以 解得 ， 所以甲在这次竞赛中获胜的概率. 16. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】（1）取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用向量数量积的坐标运算得到的表达式，结合三角恒等变换公式将其化简为正弦型函数，再根据正弦函数的性质求解最小正周期和单调递增区间. （2）先由结合锐角三角形的条件求出角，再利用正弦定理将三角形的边转化为角的三角函数，结合锐角三角形内角范围确定角的取值区间，最终求出周长的取值范围. 【小问1详解】 ∵ ，， ∴ . ∴ . 函数的最小正周期. 令， 解得， 即的单调递增区间为. 【小问2详解】 ∵ ，∴ ，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，则， ∴ ，得. 由正弦定理得， ∴ ，. 又，故. ∵ 为锐角三角形，∴ ，解得. 的周长， ∵， ∴ . ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即周长的取值范围为. 18. 已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 【答案】（1） （2）（i） （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义求解即可. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求解即可. （ⅱ）根据角平分线的性质，结合韦达定理求出值，进而求出交点纵坐标，代入三角形面积公式求解即可. 【小问1详解】 连接，由题意知， 则， 所以动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，，. 所以，，所以曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，，， 联立，整理得， 则，. 设直线与的斜率分别为，，则，， 因为，所以直线与的倾斜角互补，即， 则， 所以，所以， 又为任意实数，所以. 当直线的斜率为0时，，符合题意. 综上所述，. （ⅱ）因为，所以为的角平分线，所以. 因为，所以， 由，，得，解得. 不妨设，则，． 所以的面积. 19. 已知函数，其中，． （1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导后，参变分离，构造函数求最值即可． （2）转化为的最小值小于0，得到，再求以b为自变量的函数的最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 依题意，等价于，． 设，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以a的取值范围是． 【小问2详解】 ，设，则， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以， 所以． 设，则， 令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以a的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高中2026-2027学年高三上学期开学摸底考试 数学试题 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设；不等式对任意的恒成立，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若函数的值域为，则实数的取值范围（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且与其渐近线垂直的直线交C的左支于点P，若，则C的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，与均为以为斜边的直角三角形．若该三棱锥的外接球的表面积为，则此三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（ ） A. B. 数列有最小项 C. D. 当或时，取得最大值 11. 现有一组数据，，，，，，，则（ ） A. 这组数据的平均数为 B. 这组数据的分位数为 C. 从这组数据中任取两个数，这两个数相等的概率为 D. 用这组数据的个数可组成个不同的七位数 三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15 分 12. 的展开式中的系数为______． 13. 若函数有且仅有2个零点，则______. 14. 数列中，，数列的前项和，则数列的前项和______. 四、解答题:本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 甲、乙两人参加学校组织的数学知识竞赛，规则如下：每轮比赛从题库中随机抽取两个问题，先由甲回答第一题，然后乙回答第二题.答题者若答对则得1分，答错则对方得1分.当某轮比赛结束后出现一人总分比另一人多2分，则比赛结束，得分多者获胜.已知无论之前答题情况如何，甲每题回答正确的概率为，乙每题回答正确的概率为. （1）记X为第一轮答题后甲的总分，求X的分布列和数学期望； （2）求甲在这次竞赛中获胜的概率. 16. 如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 17. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在锐角中，若且，求周长的取值范围． 18. 已知圆：，点，是圆上一个动点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线交曲线于，两点，若轴上一点满足． （i）求实数的值； （ⅱ）若，求的面积． 19. 已知函数，其中，． （1）当时，若在上是增函数，求a的取值范围； （2）若对任意的，均存在两个极值点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $