精品解析：河南省许昌市长葛市第三实验高级中学2025-2026学年高二上学期11月教学质量评估数学试题

绝密★启用前|试题命制中心 CGSG2025-2026学年第一学期11月教学质量评估试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，四个大题，满分150分，考试时间为120分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ） A. B. C. D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 8. 已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为_________． 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 14. 在空间直角坐标系中，过点且法向量为的平面方程为；过点且方向向量为的直线方程为． 根据上述知识，若直线是平面与 的交线，则的一个方向向量为_________．与平面所成角的正弦值为_________． 四、解答题 15. 已知圆和圆． （1）当时，判断圆和圆的位置关系； （2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？ 16. 已知三角形△的顶点为. （1）求边上的高所在直线的方程; （2）求经过的直线，使得A，B到直线的距离相等. 17. 已知点，，，圆，动点满足. （1）求动点B的轨迹方程； （2）若D是圆M上的一个动点，求的最小值. 18. 在三棱锥中，为的中点. （1）如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； （2）如图2，若为延长线上一点，且平面，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前|试题命制中心 CGSG2025-2026学年第一学期11月教学质量评估试卷 高二数学 注意事项： 1.本试卷共4页，四个大题，满分150分，考试时间为120分钟. 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效. 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程写出直线的斜率，再求解出倾斜角即可. 【详解】根据题意直线方程可写为： 所以直线的斜率为，由直线倾斜角的取值范围为 故题中直线的倾斜角为120°，选项C正确，选项ABD错误 故选：C. 3. 已知两条异面直线的方向向量分别是，则这两条异面直线所成的角满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的夹角坐标公式求解即可. 【详解】因为，所以，. 故选：C 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，根据两圆的方程，可计算圆心距，将圆心距与两圆半径比较即可确定两圆的位置关系. 【详解】由已知，圆与圆， 所以圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∴ ∴ ∴两圆内切. 故选：D 5. 在直三棱柱中，，，是的中点，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，若，则异面直线与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，求的坐标，利用向量垂直坐标表示列方程求值，再写出，利用空间向量夹角公式得到向量夹角，最后得到异面直线夹角. 【详解】设，则，，，，，，，，因为，所以，解得. 因为，，所以，故异面直线与夹角的余值为. 故选：B. 6. 已知点在直线上，那么的最小值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】将用表示，根据二次函数的性质即可得结果. 【详解】由点在直线上可知， ， 当时取得最小值5， 故选：C. 7. 已知直线：和点，点，点P是直线上一动点，当最小时，点P的坐标是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件求出A关于直线的对称点坐标，求出直线方程，与已知直线方程联立即可求解. 【详解】依题意，设关于直线的对称点， 所以，解得，所以， 由直线的对称性知，，则， 当且仅当三点共线时，等号成立，即取到最小， 由及知直线的方程为， 联立，解得，即. 所以最小时，点P的坐标是. 故选：C 8. 已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成的角. 【详解】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则、、、， ，， 所以，， ，所以，， 因此，异面直线与所成的角为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 二、多选题 9. 下面四个结论中正确的是（ ） A. 点关于平面对称的点的坐标是 B. 若，则向量的夹角是钝角 C. 若对空间中任一点O，有则四点共面 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】AC 【解析】 【分析】易求得对称点可判断A；当反向时可判断B；由，可得四点共面判断C；设，可得，进而可得共面，判断D. 【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A正确； 对于B，当反向时，，此时向量的夹角为，不是钝角，B错误； 对于C，由于对空间中任一点，有，而，故四点共面，C正确； D选项，设，即，故， 解得，故共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AC. 10. 如图，在三棱柱中，分别是上的点，且.设，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理、空间向量模的公式，结合空间向量数量积运算性质逐一判断即可. 【详解】因为，， 所以，， 所以故A错误； 因为，，， 所以， 所以，故B正确； 因为， 所以，故C错误； 因为，， 所以 因为， 所以，， 所以， 所以，故D正确. 故选：BD. 11. 古希腊著名数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262-前190）发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼奥斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点C满足，直线l：，则（ ） A. 直线l过定点 B. 动点C的轨迹方程为 C. 动点C到直线l的距离的最大值为 D. 若直线l与动点C的轨迹交于P，Q两点，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】设, 由题意求出点的轨迹以及轨迹方程, 利用直线与圆的位置关系, 依次判断四个选项即可. 【详解】对于A, 直线l：，，，直线l过定点，故选项A正确; 对于B,设,因为动点满足 ,所以 , 整理可得, 即,所以动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆, 动点的轨迹方程为,故选项B正确; 对于 C, 当直线与垂直时, 动点到直线的距离最大, 且最大值为, 故选项C错误; 对于D, 记圆心到直线的距离为,则 ,因为 , 则 ,因为 ,所以 , 即 ,解得 , 故选项D正确. 故选: ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 经过点且与直线垂直的直线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点斜式求得所求直线的方程. 【详解】直线的斜率为， 所以经过点且与直线垂直的直线方程为， . 故答案为： 13. 直线l过点且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为______． 【答案】或 【解析】 【分析】利用分类讨论，结合点斜式方程与截距式方程，可得答案. 【详解】当直线过原点时，斜率为，则方程为； 当直线不过原点时，由题意方程可设，代入，可得，解得，则方程为. 故答案为：或. 14. 在空间直角坐标系中，过点且法向量为的平面方程为；过点且方向向量为的直线方程为． 根据上述知识，若直线是平面与 的交线，则的一个方向向量为_________．与平面所成角的正弦值为_________． 【答案】 ①. （与此共线的向量都正确）； ②. 【解析】 【分析】由两平面方程变形得出的形式，从而可得直线方向向量，求出直线的方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的绝对值可得线面角的正弦值． 【详解】由是平面与的交线，可得， 因此直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为，则． 故答案为：（与此共线的向量都正确）；． 四、解答题 15. 已知圆和圆． （1）当时，判断圆和圆的位置关系； （2）是否存在实数m，使得圆和圆内含？ 【答案】（1）圆和圆相交；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）由题设写出圆、的圆心坐标及半径，并求出圆心距，根据与的大小关系，判断两圆的位置关系. （2）假设存在实数m，根据两圆内含关系列不等式并求解，即可知参数m的存在性. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的方程为，则，半径， ∴两圆的圆心距，又， ∴，故圆和圆相交． （2）不存在．理由如下： 圆的方程可化为， 则 ，半径．而，半径． 假设存在实数m，使得圆和圆内含，则圆心距，即，此不等式无解． 故不存在实数m，使得圆和圆内含． 16. 已知三角形△的顶点为. （1）求边上的高所在直线的方程; （2）求经过的直线，使得A，B到直线的距离相等. 【答案】（1） （2）和 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直确定CD的斜率，即可求得答案； （2）分类讨论经过的中点和与平行，分别求解，即得答案. 【小问1详解】 直线的斜率为， 因为，所以， 所以所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为到直线的距离相等，所以有两种情况， ①经过的中点，的中点的坐标为， 由两点式得化简得， ②与平行，由（1）得， 所以的方程为，即 综合①②得直线l的方程为和. 17. 已知点，，，圆，动点满足. （1）求动点B的轨迹方程； （2）若D是圆M上的一个动点，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，根据列方程，化简求得动点的轨迹方程. （2）根据两点间直线距离最短来求得所求表达式的最小值. 【详解】（1）设B（x，y），由于， 所以， 化简得点B的轨迹方程为：. （2）， 设点，则3CD==4DF， ， 根据两点间直线距离最短可知： . 18. 在三棱锥中，为的中点. （1）如图1，若为棱上一点，且，求证：平面平面； （2）如图2，若为延长线上一点，且平面，直线与平面所成角为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 连接. 因为为的中点，所以. 又平面,所以平面. 因为平面 所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据和可证线面垂直，即可求证面面垂直， （2）根据线面角的几何法可得，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面平面， 所以为直线与平面所成的角. 因为直线与平面所成角为， 所以. 因为，所以. 因为，所以. 又，故. 所以. 如图建立空间直角坐标系. 则，，. 所以，，. 设平面的法向量为，则 即令，则. 设与平面所成角为，则 . 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行，然后得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角，从而求解. 【小问1详解】 证明：如图，在上取一点，使得，连接，，， 因为底面是平行四边形，所以，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 又因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 又因为，平面，所以平面 平面， 因为平面，所以 平面. 【小问2详解】 当为中点，，，易知，为中点， 又因为平面，所以两两垂直， 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图， 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故二面角的正弦值为， 所以正切值为. 故二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $