专题05 一元一次不等式重难点题型汇编（十一大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题05 一元一次不等式重难点题型汇编 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................1 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................1 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................2 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】..................2 【题型6：球赛积分问题】.......................................................3 【题型7：分配问题】..........................................................3 【题型8：销售利润问题】.......................................................4 【题型9：方案问题】..........................................................5 【题型10：其他问题】.........................................................7 【题型11：定义问题】.........................................................8 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 3．若的解集是，则m的取值范围是 ； 4．关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 5．不等式的解为，则的取值范围是 ． 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 1．已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ． 2．已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为 ． 3．若不等式的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是 ． 4．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 ． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 1．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 5．已知关于的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范围为（   ） A．     B．        C．      D． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 1．如果关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 2．不等式组无解，则的取值范围是 ． 3．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 4．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 1．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 3．已知且，则k的取值范围为 ． 【题型6：球赛积分问题】 1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校开展班级篮球赛．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场扣分，八年一班在场比赛中总积分不低于分，求该班至少胜多少场？ 2．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 3．有，，，，五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，队积分9分，那么队最多胜（    ）场？ A．1 B．2 C．3 D．4 【题型7：分配问题】 1． 某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 2．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数． 3．把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 4．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【题型8：销售利润问题】 1．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 2．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 3．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 4．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【题型9：方案问题】 1．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 2．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 3．三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 4．某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元． (1)求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？ (2)经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？ 【题型10：其他问题】 1．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 2．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 3．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【题型11：定义问题】 1．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 2．我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 3．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式重难点题型汇编 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】....................................1 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】..........................3 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】..........................4 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】................................7 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】..................9 【题型6：球赛积分问题】.......................................................11 【题型7：分配问题】..........................................................13 【题型8：销售利润问题】.....................................................14 【题型9：方案问题】.........................................................19 【题型10：其他问题】.........................................................23 【题型11：定义问题】.........................................................27 【题型1：根据不等式的性质求参数取值范围】 1．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质可知两边同时除以的数是负数即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的性质， 解题关键是掌握不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向发生改变． 2．已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为 ∴ ∴a的取值范围为： 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键． 3．若的解集是，则m的取值范围是 ； 【答案】 【分析】根据不等式的性质解答即可． 【详解】解：∵的解集是， ∴， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 4．关于x的不等式的解集为，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】根据不等式的性质和不等式的解集求解即可． 【详解】解：∵关于x的不等式的解集为， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查已知不等式的解集求参数，熟练掌握不等式的性质是解答的关键，注意不等式的性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变． 5．不等式的解为，则的取值范围是 ． 【答案】a＞1 【分析】根据不等式的性质，两边同时除以同一个正数，不等号的方向不变判断a的取值范围. 【详解】不等式(a−1)x>1−a，即(a−1)x>−(a−1)两边同除以（a-1）得x>−1， 可见，a-1＞0， 解得，a＞1 故答案为：a＞1 【点睛】此题考查了不等式的性质，熟练掌握并灵活运用不等式的性质是解答此类试题的关键. 【题型2：根据不等式的整数解情况确定字母的取值范围】 1．已知关于x的不等式有三个非负整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解；先求出不等式的解集，再根据有三个非负整数解得出关于的不等式，进而求解即可. 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个非负整数解， ∴这三个负整数解是0，1，2， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知关于的不等式有三个负整数解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解； 先求出不等式的解集，再根据有三个负整数解得出关于的不等式，进而求解即可. 【详解】解：解不等式得：， ∵关于的不等式有三个负整数解， ∴这三个负整数解是， ∴， ∴， 故答案为：． 3．若不等式的正整数解是1，2，3，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了不等式的解法和一元一次不等式整数解的应用．先解不等式得到，再根据正整数解的情况得到，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式得， ∵正整数解是1，2，3， ∴m的取值范围是， 即． 故答案为： 4．若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 ． 【答案】 【分析】先求出不等式的解集，根据题意，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：，解得：， ∵不等式的正整数解是1，2，3，4， ∴， ∴， ∴整数a的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解，解题的关键是正确求出一元一次不等式的解． 【题型3：根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围】 1．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集，并能够根据不等式组的整数解的个数确定参数的取值范围是解题的关键． 先解出不等式组的解集，再根据不等式组有3个整数解确定a的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有3个， 整数解为2，3，4， 则的范围是． 故选：C． 2．若关于x的不等式组只有3个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解．先求出每个不等式的解集，根据已知进行得出m的范围即可． 【详解】解：∵， ∴解不等式组得， 又∵关于x的不等式组只有个整数解， ∴， ∴， 故选：D． 3．如果不等式组有且仅有3个整数解，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组的解集和整数解得出答案即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 所以根据题意，不等式组的解集是， 不等式组有且仅有个整数解，这个整数解是，，， ， 故选：B． 4．若关于x的不等式组只有3个整数解，则符合条件的所有整数k的和为（   ） A．39 B．42 C．45 D．48 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式组整数解问题，先解不等式组，根据只有3个整数解，列不等式求解即可得到答案； 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有且只有3个整数解， 不等式组的解为：， ∴这3个整数数解为3，2，1， ，即， 解得， ∵k为整数， ∴k为12，13，14， ∴符合条件的所有整数k的和为：， 故选：A． 5．已知关于的不等式组 恰有3个整数解，则 的取值范围为（   ） A．     B．        C．      D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组的解集(含字母)，因为不等式组有3个整数解，可推出的值． 【详解】解： ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组 有解， ∴， ∵不等式组只有三个整数解， ∴不等式的整数解为：-1、0、1， ∴， 故答案为：A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能根据题意求出关于的不等式组． 【题型4：根据不等式的解集确定字母的取值范围】 1．如果关于的不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解答此题的关键． 把当作已知条件，根据不等式组无解求出的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∵该不等式组无解，根据求不等式组的口诀“大大小小无法找”，可得 解得，， 故答案为：． 2．不等式组无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第二个不等式的解集，根据不等式组无解得出关于a的不等式，解不等式可得． 【详解】解： 解不等式①得：； 解不等式②得：； ∵不等式组无解， ∴， 故a的取值范围是：． 3．关于的不等式组无解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 将不等式组解出来，根据不等式组无解，求出的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于的不等式组无解， ∴实数的取值范围是：， 解得：， 故答案为：． 4．若关于的不等式组的解集为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键． 分别解出每个不等式，然后根据不等式组的解集是，即可得到一个关于m的不等式，从而求解． 【详解】解：， 由得，， 由得，， 关于的不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 【题型5：根据未知数解集或者未知数间的关系确定字母的取值范围】 1．已知关于x、y的方程组的解满足，则a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式，正确求出方程组的解进而得到关于a的不等式是解题的关键． 先利用加减消元法求出方程的解，再根据方程的解满足得到关于a的不等式，解不等式即可． 【详解】①② 得， 解得：， 把代入②得， ， 解得：， 方程组的解为， 方程组的解满足， ， 解不等式得：． 2．若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 3．已知且，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由得：，再代入，再解不等式组即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：； 故答案为： 【点睛】本题考查的是方程组与一元一次不等式组的综合题，熟练的利用整体未知数法解题是解本题的关键． 【题型6：球赛积分问题】 1．为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于小时”的文件精神，某校开展班级篮球赛．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积分，负一场扣分，八年一班在场比赛中总积分不低于分，求该班至少胜多少场？ 【答案】至少胜场 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设该班胜场，则负场，根据题意列出不等式即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设该班胜场，则负场， 根据题意得，， 解得， 是正整数， 的最小值为， 答：该班至少胜场． 2．在某市举办的青少年校园足球比赛中，比赛规则是胜一场积分，平一场积分，负一场积分．某校足球队共比赛场，以负场的成绩夺得了冠军，已知该校足球队最后的积分不少于分，则该校足球队获胜的场次最少是（    ） A．场 B．场 C．场 D．场 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设该校足球队获胜了场，则平了场，根据最后的积分不少于分可列不等式，解不等式可得获胜的场次最少是多少． 【详解】解：设该校足球队获胜了场，则平了场， 根据题意得：， 解得：， 为整数， 的最小值为． 故应选：B． 3．有，，，，五个队分在同一个小组进行单循环足球比赛，争取出线权，比赛规则规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，小组中名次在前的两个队出线，小组赛结束后，队积分9分，那么队最多胜（    ）场？ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】五个队分在同一小组进行单循环赛，则每个组只进行4场比赛，A队的积分为9分，就可以得到A队的胜负情况． 【详解】解：∵5个队进行单循环足球比赛， ∴每2个队间只比赛1次，每个队和其他队比赛4次， 设A队胜x场，平y场，则由题意得： x+y≤4， 3x+y=9，则y=9-3x， 将y=9-3x代入不等式得x+9-3x≤4， 解得：x≥2.5， ∴当x=3时，y=0，队积分9分， 故A队的战绩是3胜0平1负． 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，根据球队的积分判处出胜负的场次是解题的关键． 【题型7：分配问题】 1．某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 2．登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山．若每人2瓶，则剩余3瓶，若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．求登山人数及矿泉水的瓶数． 【答案】登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 【分析】本题主要考查不等式的运用，理解数量关系，掌握解不等式的方法是关键． 设有人登山，由此列式求解即可． 【详解】解：设有人登山， 由题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴，则， 答：登山人数为人，矿泉水的瓶数为． 3．把一些笔记本分给几个学生，如果每人3本 ，那么余8本，如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本，求学生有多少人？ 【答案】学生有6人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设学生有x人，则有笔记本本，再根据如果每人分5本，那么最后一人分到笔记本但不足3本列出不等式组求解即可． 【详解】解：设学生有x人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：学生有6人． 4．某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种棵，则剩棵；如果每人种棵，则最后一人有树种但不足棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？ 【答案】该班有学生，本次一共种植棵树 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，设共有名学生，根据题意列出不等式组即可求解，根据题意找到不等量关系是解题的关键． 【详解】解：设共有名学生， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴， ∴， 答：该班有学生，本次一共种植棵树． 【题型8：销售利润问题】 1．茂业天地商场从一厂家购买印有巴黎奥运会标志的T恤和奥运会吉祥物，已知购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元． (1)求购进一件恤和一个奥运会吉祥物各需多少元？ (2)若商场决定购买T恤和奥运会吉祥物共60个，总费用不低于988元且不高于1000元，则共有几种购买方案？哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？ 【答案】(1)一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元 (2)有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意，弄清关系，根据等量关系和不等关系列出二元一次方程组和不等式组是解题的关键． （1）设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元，根据等量关系“购进10件恤和5个奥运会吉祥物共需250元；购进15件恤和10个奥运会吉祥物共需425元”列方程组，解之即可解答； （2）设恤购买件，奥运会吉祥物购买件，根据不等关系“总费用不低于988元且不高于1000元”列一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可确定购买方案数． 【详解】（1）解：设一件恤单价为元，一个奥运会吉祥物单价为元， 由题意可得：， 解得：， 答：一件恤单价为15元，一个奥运会吉祥物单价为20元． （2）解：设恤购买件，奥运会吉祥物购买件． 由题意可得：， 解得：， 又 ∵为正整数． ∴， 故共3种方案：分别是：恤购买40件，奥运会吉祥物购买20件，该方案需要的总费用是元； 恤购买41件，奥运会吉祥物购买19件，该方案需要的总费用是元； 恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件，该方案需要的总费用是元； 故共有3种购买方案，恤购买42件，奥运会吉祥物购买18件需要的总费用最少，最少费用是990元． 2．随着科技的发展，新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具，其需求量快速增长．为满足客户需求，现某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆型汽车、1辆型汽车的进价共计37万元；若单次购买型汽车超过15辆每辆车进价会打九五折，单次购买型汽车超过15辆每辆车进价优惠5千元，当购买型和型车各20辆时共需支付进价715万元． (1)求该汽车销售公司单独购进，型号汽车各一辆时进价分别为多少万元？ (2)因资金紧张，该公司计划以不超过260万元购进以上两种型号的新能源汽车共15辆，每辆型汽车在进价的基础上提高7000元销售，每辆型汽车在进价的基础上提高销售．假如这些新能源汽车全部售出，至少要获利12.5万元，该公司有哪几种购进方案？哪种方案获得的利润最多，最多利润是多少？ 【答案】(1)购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． (2)该公司有2种购进方案，分别是购进A 型汽车10辆，B型汽车5辆∶购进A型汽车11辆，B型汽车4辆．购进A型汽车10辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是13.6万元． 【分析】本题主要考查了二元一次不等式组的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆，根据题意列出关于m的一元一次不等式组，求解并根据m的取值分别讨论计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进，型号汽车各一辆时进价分别为x，y万元， 根据题意可知： 解得：， 则购进，型号汽车各一辆时进价分别为15，22万元． （2）解：设购进A型汽车m辆，则购进B型汽车辆， 根据题意可得出： 解得： ∵m为正整数， ∴或11， 当时，购进B型汽车为5辆， 此时利润为：（万元） 当时，购进B型汽车为4辆， 此时利润为：（万元） 综上：该公司有 2种购进方案，分别是购进A 型汽车 10 辆，B型汽车5辆或购进A型汽车 11 辆，B 型汽车4辆．购进A型汽车10 辆，B型汽车5辆的方案获得的利润最多，最多利润是 13.6万元． 3．某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 4．牡丹江某县作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进特级鲜品猴头菇3箱、特级干品猴头菇2箱需420元，购进特级鲜品猴头菇4箱、特级干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元．全部销售后，获利不少于1560元，其中特级干品猴头菇不多于40箱．该商店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有三种进货方案：①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱；②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱；③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组以及一元一次不等式组． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”分别列出不等式求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元． 由题意，得 解得 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱． 由题意，得 解得． 因为m为正整数，所以m可取40，41，42． 故该商店有三种进货方案： ①购进特级鲜品猴头菇40箱，购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，购进特级干品猴头菇38箱． 【题型9：方案问题】 1．为了更好治理黄浦江水质，保护环境，市治污公司决定购买10台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元． A、B两种型号设备的月处理污水量如下表： A型 B型 价格（万元/台） a 处理污水量（吨/月） 240 180 (1)设A型设备每台的价格为a万元，则B型每台的价格为 万元； (2)求A、B两种型号的设备的价格； (3)经预算：市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台 (3)购买1台A型设备，9台B型设备 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意并正确列方程和方程组是解题关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，即可用含a的代数式表示出B型设备每台的价格； （2）根据购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设购买m台A型设备，则购买台B型设备，根据“市治污公司购买污水处理设备的资金不超过105万元，且每月要求处理黄浦江的污水量不低于1860吨”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出m的值，利用总价=单价×数量，分别求出m取各值时所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：∵购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，且A型设备每台的价格为a元， ∴B每台的价格为万元． 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， ∴（万元/台）． 答：A型设备的价格为12万元/台，B型设备的价格为10万元/台． （3）解：设购买m台A型设备，则购买台B型设备， 依题意得：， 解得：， ∵m为整数， ∴m可以取1或2． 当时，，所需费用为（万元）； 当时，，所需费用为（万元）． ∵， ∴最省钱的购买方案为：购买1台A型设备，9台B型设备． 2．某中学组织合唱比赛．某班同学自主购买，两款文化衫，每件款文化衫比每件款文化衫贵10元，购买2件款文化衫和3件款文化衫共需要220元． (1)求款文化衫和款文化衫每件各多少元； (2)已知一共需购买48件文化衫，在实际购买时，商家让利销售，款七折优惠，款每件让利10元，现计划购买文化衫的费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半，请问共有多少种购买方案？ 【答案】(1)款文化衫每件50元，款文化衫每件40元 (2)3种 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设款文化衫每件元，款文化衫每件元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设购买款文化衫件，则购买款文化衫件，根据总费用不超过1530元，且款文化衫不少于款文化衫数量的一半建立不等式组，解不等式组求出正整数解，由此即可得． 【详解】（1）解：设款文化衫每件元，款文化衫每件元， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：款文化衫每件50元，款文化衫每件40元． （2）解：设购买款文化衫件，则购买款文化衫件， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴满足条件的所有的值为， 答：共有3种购买方案． 3．三明市某化工厂，现有种原料千克，种原料千克，现准备用这些原料去生产甲、乙两种产品共件，已知每生产件甲种产品需要种原料千克以及种原料千克；每生产件乙种产品需要种原料千克以及种原料千克，请通过计算写出有哪几种具体的生产方案． 【答案】见详解 【分析】本题考查一元一次不等式（组）的应用、一元一次不等式的整数解正确列出不等式组是解题关键； 根据题意，列出不等式组，求解分析即可． 【详解】解：设甲的生产件数为件，则乙的生产件数为件， ， 解得：， 为整数， 可以取的值为：，，， 有三种方案， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件， 方案：甲产品件，乙产品件； 4．某团队准备给成员网购若干帽子和手套，网店的组合报价为购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元． (1)求每顶帽子和每双手套的价格各是多少元？ (2)经沟通后团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，由于需要帽子的成员不足30人，请你规划一下有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意，理清各量间的关系是解题的关键； （1）设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元，根据“购买1顶帽子和2双手套共需210元；购买2顶帽子和3双手套共需340元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m顶帽子，则购买双手套，根据“团队计划最多拿出3200元购买帽子和手套共50份，且需要帽子的成员不足30人”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每顶帽子的价格是x元，每双手套的价格是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每顶帽子的价格是50元，每双手套的价格是80元； （2）解：设购买m顶帽子，则购买双手套， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为27，28，29， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27顶帽子，23双手套； 方案2：购买28顶帽子，22双手套； 方案3：购买29顶帽子，21双手套． 【题型10：其他问题】 1．秦汉学校组织全体师生参加夏令营活动，现准备租用、两种型号的客车（每种型号的客车至少租用一辆），其中型客车每辆租金500元，型客车每辆租金600元．已知5辆型客车和2辆型客车坐满后共载客310人；3辆型客车和4辆型客车坐满后共载客340人． (1)求每辆型客车，每辆型客车坐满后各载客多少人； (2)若该校计划租用型和型两种客车共10辆，总租金不高于5500元，并能将全校420名师生全部载至目的地，请列举出该校所有的租车方案；并比较哪种租车方案最省钱． 【答案】(1)每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； (2)共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的应用，理解题意正确列方程和不等式组是解题关键． （1）每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设租用型客车辆，则租用型客车辆，根据题意列一元一次不等式组，求整数解即可得出的值，进而得出租车方案和费用即可． 【详解】（1）解：设每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人， 则，解得：， 答：每辆型客车坐满后载客人，每辆型客车坐满后载客人； （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车辆， 则， 解得：， 的可能取值为5、6、7、8， 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 当时，，租车费用为元； 共有四种租车方案：①租用型客车辆，则租用型客车辆；②租用型客车辆，则租用型客车辆；③租用型客车辆，则租用型客车辆；④租用型客车辆，则租用型客车辆，其中用型客车辆，则租用型客车辆最省钱． 2．某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 3．某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【题型11：定义问题】 1．定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组，的“友好方程”． (1)下列方程是不等式组的“友好方程”的是___________；（填序号） ①；    ②；    ③． (2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”，求的取值范围； (3)若方程，都是关于的不等式组的“友好方程”，其中，求的取值范围． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】（1）先分别求出方程的解和不等式组的解集，再逐个判断即可； （2）先分别求出方程的解和不等式组的解集，根据题意得出，再去求不等式组的解集即可； （3）分别求出方程的解，分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再判断即可． 【详解】（1）解：解不等式组，得， 解方程得：； 解方程得：； 解方程得：， ∴①是不等式组的“友好方程”， 故答案为：①； （2）解：解不等式组得：， 解方程得：， ∵关于x的方程是不等式组的“友好方程”， ∴， 解得：， 即k的取值范围是； （3）解：解方程得， 解方程得， ∵方程，都是关于x的不等式组的“友好方程”， ， 所以分为两种情况：①当时，不等式组为， 此时不等式组的解集是，不符合题意，舍去； ②当时，不等式组的解集是， 所以根据题意得：， 解得：， 所以m的取值范围是． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解和解一元一次不等式组等知识点，能根据题意得出关于k和m的不等式组是解此题的关键． 2．我们规定若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“关联方程”． 问题解决： (1)方程是不等式组的“关联方程”吗？请说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解，试求的取值范围． 【答案】(1)不是，见解析 (2) (3) 【分析】本题考查解不等式组和一元一次方程以及新定义的运算，掌握“关联方程”的定义是解题的关键． （1）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义判断即可； （2）分别求解一元一次方程和不等式组，根据定义“一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内”可得方程组，求解即可； （3）解不等式组可得，根据题意可得，求得m的取值范围，可得，，分情况讨论即可． 【详解】（1）解：不是，理由如下： ， 解得：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不是“关联方程”； （2）由，得， 由，得， 关于的方程是不等式组的“关联方程”， ， 解得． 即的取值范围是． （3）的解集为：， 不等式组的所有“关联方程”只有3个不同整数解， ， 解得， ，， 当时，必须满足，m无解； 当时，必须满足，解得； 综上所述，． 3．定义：若不等式组的解集是，且满足，则称该不等式组的解集是一个“对称集”．若关于x的不等式组的解集是一个“对称集”，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握“对称集”的定义是解答此题的关键．解每个不等式得出，根据“对称集”的定义得出，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组的解集是一个“对称集”， ∴， 解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $