湖南省A佳教育联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题

2025年11月A佳教育高二期中联考 数学 班级： 姓名： 准考证号： （本试卷共4页，19题，考试用时120分钟，全卷满分150分) 注意事项： 1.答题前，先将自己的班级、姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将 准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案 标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，将答题卡上交。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1.已知集合A={xx为不小于1的正整数}，集合B={xx-5≤0}，则A∩B= A.{2,3,4} B.{1,2,3,4} C.{3,4,5} D.{1,2,3,4,5} 2.若复数2满足+1=1-子，则2= A.i B.1 C.-i D.-1 3.已知直线I过点P(0,1),21,a2+2)(a∈R),则直线1的倾斜角的取值范围为 B 死兀 42 c[后 [ 4.已知直线l:ax+y-1=0,:ax-y+1=0,则“a=1”是“1⊥1，”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图，在空间四面体ABDC中，已知AC⊥AB,BD⊥AB, AB=2,AC=3,BD=4,CD=V17,则异面直线AC与 BD所成角是 A.30° B.45° C.60° D.120° 数学试题卷第1页共4页 ▣口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 6.与圆x2+y2+4x+3=0及圆(x-2)2+y2=36都内切的圆的圆心在 A.双曲线上 B.直线上 C.圆上 D.椭圆上 。双曲线、广a>0,b>0的左、石焦点分别为，乃.P是双曲线右支上士 点，且直线PF的斜率为2.△PFE为直角三角形且其内切圆半径为(3-V⑤)，则 双曲线的方程为 A.2-生=1 C. 8.已知点集2={(x,y)xx-yy=2,22={(xy)儿x+y川=2分别表示曲线1，『2， 则工，Γ2的公共点的个数为 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分 9.已知A(1,1,0),B(21,2),C(4,3,1),下列说法正确的是 A.AB=5 B.AC=(3,2,1) C.AB⊥BC D.平面ABC的一个法向量是(4,5,2) 10.函数f()=2sn2x-君)-1，则下列结论正确的为 A.函数f)的单调增区间为[-低+引e☑ B.函数f()的图象关于(31对称 C.函数f(x)的图象关于x=匹对称 D.若xe-受0， 则函数f(x)的值域为[-2,0] 数学试题卷第2页共4页 Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-4B,CD,中，E在线段BD上，且BE=BD, 动点F满足：BF=B,C(几∈[0,1)，下列说法正确的是 A.直线EF与平面B,CC所成角的余弦值的最大值为Y6 D B.存在，使C,D,E,F四点共面 C.存在2，使EF⊥B,C D.EF的最小值为5 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.过点(3,3)，垂直于y轴的直线方程为 13.若直线3x-4y-12=0与圆x2+y2-2ax+4y+4=0只有一个公共点，则a=一 已知4，B为双曲线工：多-=1上关于原点0对称的两点（异于顶点），点C 双曲线上且满足直线AC,AB的斜率之积为-6，设直线BC与x轴的交点为P, 若0+30A0P=0,则双曲线厂的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.（13分)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-2,0),F(2,0),M-ME=2, 点M的轨迹为C (1)求C的方程； (2)以FF,为直径的圆与C的一条渐近线相交于M,N两点，求四边形MFNF 的面积. 16.（15分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,V2cosC=sinA, (a+c)(a-c)=b(b-V2c). (1)求角C; (2)若ac=2W6,求AC边上的高 数学试题卷第3页共4页 口口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效简妇 17.(15分)如图，在四边形ABCD中，AB=8,CD=4,且AB∥CD,AD=BC,AB 与CD间的距离为6，O为AB的中点，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐 标系 (1)求等腰梯形ABCD的外接圆E的方程； (2)已知直线1：√3x-y+12=0,过直线1上的动点P作圆的两条切线交圆E于 M,N,求当四边形PMEN的面积取得最小值时，直线MN的方程 18.（17分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，E是棱 PA的中点 (1)证明PC∥平面BDE; (2)设该四棱锥外接球的体积为V,当V取最小值时，求： (i)四棱锥P-ABCD的体积； (ⅱ)平面BDE与平面PCD夹角的余弦值. 19（17分)已知椭圆c:手+长=1a>6>0),箱圈c的左、右袋点分别是，3. |=2,离心率为2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过F,的直线与椭圆C交于A,B两点. (i)若OA⊥OB,记线段AB的中点为M,求M的坐标； (ⅱ)若点A在第一象限，直线AF交椭圆C于另一点D,设，？分别是 △AFB,△AFD的内切圆半径，求r-?的最大值 数学试题卷第4页共4页 Q。夸克扫描王 极速扫描，就是高效简2025年11月A佳教育高二期中联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A B A C D A B 1.【答案】D 【解析】A={x∈Zx≥1}，B={xx≤5}，AAB=L,2,3,4,5},选D 2.【答案】A 【解析】21=1-i=2,2+i=2z,2=i,选A. 3.【答案】B 【解析】直线1的斜率=a+2-1=2+1≥L,领斜角的取值范围为 ππ】 4’2 ,选B. 1-0 4.【答案】A 【解析】当a=1时，直线1：x+y-1=0,l2:x-y+1=0,此时有1⊥12.当1⊥1，时， 有a2-1=0,即a=±1，所以“a=1”是“1⊥12”的充分不必要条件，故选A. 5.【答案】C 【解析】可用多种方法，由空间向量得CD=Ca+B+BD,两边平方得CD2-C+ B+BD2+2CAAB+2CBD+2ABBD，整理得CA.BD=6，所以 co<CM:0则<C4-D=120,故异面直线AC与BD所成角为60°. 6.【答案】D 【解析】圆x2+y2+4x+3=0的标准方程为(x+2)2+y2=1,圆心为F(-2,0),半径 为5=1.(x-2)+y2=36,圆心为F(2,0),半径为5=6.设所求圆的圆心为P, 半径为r,则PE=r-1,PF=6-r,|PF+PF=5>FF=4,所以圆心P的轨 迹是以E,F,分别为左、右焦点的椭圆.故选D 7.【答案】A 【解析在Rt△PEE,中，直线P,的斜率为2，则PF=2PF,又P-PF=2a, 所以PF=4a,PF引=2a,由勾股定理得c=V5a.由三角形等面积法可得 x2ax4a=a+4a+25@)k,解之得a=-l,6=2-。=4,故双南线的方程 =1，选A 为x2上 数学参考答案第1页（共8页) 8.【答案】B 【解析】曲线「1：xx-yy=2,曲线「是双曲线一部分和圆的一部分构成的图象， 当x<0,y<0时，曲线方程可化为-x2+y2=2; 当x<0,y≥0时，曲线方程可化为-x2-y2=2; 当x20,y≤0时，曲线方程可化为x2+y2=2; 当x≥0，y>0时，曲线方程可化为x2-y2=2; 曲线「2：x+y=2,曲线「2是由四条线段构成的图象， 当x<0,y<0时，曲线方程可化为x+y=-2; 当x<0,y≥0时，曲线方程可化为x-y=-2; 当x≥0，y≤0时，曲线方程可化为x-y=2; 当x≥0，y>0时，曲线方程可化为x+y=2; 故「，「2在第一、三、四象限各1个交点，共3个交点 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 0 10 11 答案 BCD AC BCD 9.【答案】BCD 【解析】对于A,AB=V(2-1)2+(1-1)2+(2-0)2=V5，,故A不正确；对于B, 40(4,3,1)-(1,1,0)=(3,2,1),故B正确；对于C,因为AB=(1,0,2),BC(22,-1), 所以AB.BC=1×2+0×2+2×(-1)=0,于是有AB⊥BC,故C正确；对于D, (4,5,2)AB=0,（-4,5,2)AC=0,所以(-4,5,2)是平面ABC的一个法向量，故D 正确，所以选BCD. 10.【答案】AC 【解析送项A:内2版受≤2x名≤2+受，keZ,可得c名≤x≤a+骨keZ, 6 即高数f(创的单词增区同为云血+引kZ,故A正确：选项B: s如2×骨-1，则函数f()的图家关于直线x=号对称，故B错民，故C正确 选项D:南[受0，可得-≤2x-≤-，则-2≤2sim2-引}1，则 -3≤2sin 2x-}1s0.申若x登0，则函数()的植城为[-30小，放D辑 误.故选AC 数学参考答案第2页（共8页) 11.【答案】BCD 【解析】如图建立空间直角坐标系， 别有后号L.c@o, D一 所以BC=(-1,0,-1),BF=(-元，0，-)， 又因为级-〔G5,所以F=盛+8-G5小+(-0，-2)=（G51-刘 由DC⊥平面BBCC得BB,CC的一个法向量可以是DC=(0,1,0),于是设直线EF 3 专牛西丽CC所减角为0，所以s血6-@(，0CGA片 1 1 3 3 )2,1 因为元∈[0，]，所以sin6e 所以 a- 3 cos0∈ 6110 31 故A不正确；对于B,若C,D,E,F四点共面，则存在 实数，，使那=n丽+0c,即目-对-习小号@).即 -= 2 2= 3 2 12 3 x+y,解得{x=- 3 ,故当元=)时，C,D,E,F四点共面，所以B正 1-2=y \y-2 角：时于c,丽-后-小所以r18c居l-小(-10-)-0， 得号，C正确：对于D,因为原2-，所以时 店小兮-明-x写写5，故D压确，所以 选BCD. 数学参考答案第3页（共8页) 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12.【答案】y=3 【解析】过点(3,3)，垂直于y轴的直线方程为y=3.故答案为y=3. 13【答案】-2或月 【解析】由圆x2+y2-2ax+4y+4=0,得(x-a)+(y+2)2=a2.所以若直线 3x-4y-12=0与圆x2+y2-2ax+4y+4=0只有一个公共点等价于点(a,-2)到直 线3-4-12=0的距离等于以，即B0t8--4,解得a=2或a=方故填-2 V32+42 14.【答案】2 【解折】由点道法易知C1,CB的斜率之款为-草，又=6，所以 k@=-b3 K AB 63令Acy,a5-,PG0),则子-是=1.由o+30i:0 =0,得1=-3x.又C,B,P三点共线，故m=k代入=尽， b2 KAB -当-0 -x-（-3x)1 出 名=3。离心e=日小+=2，2 X 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【解析】(1)由定义得，点M的轨迹是以F(-2,0),F(2,0)为焦点，且2a=2的 双曲线， 故C的方程为X2-》=1 3 5分 （2)由题意得，C的渐近线方程为y=±5x, 以FF,为直径，则∠FMF2为直角，且OM=2, 从而得到点M到x轴的距离为V3, 所以四边形M,N的面积S=2Sa5s=2×)×4×5=4W5. 13分 2 数学参考答案第4页（共8页) 16.【解析】(1)由(a+c(a-c)=b(b-V2c,得b2+c2-a2=V2bc.l分 COs4-bito-abc_ .3分 2bc 2bc 2 “4∈(0，)，A=元. 5分 4 又iasc=sn4,osc-2ce(0x刘，c-f .7分 (2)4=c m4snc’“7=6Ba=v2c .9分 22 ac=2W6,a=2,c=V6. .12分 设AC边上的高为h, sinc= a2,h=5 .15分 17.【解析】(1)由已知可得圆心在y轴上，设圆心E(0,b),半径为r,则圆的方程为 x2+(y-b)}2=r2. .2分 16+b2=2 由B(4,0),C(2,6)代入得 .4分 4+(6-b2=r21 [b=2 解得 r=V20 .6分 故圆的方程为x2+(y-2)=20. .7分 （(2)四边形PMEW的面积=2 SAPME=2xPMr=√PE-.r.…9分 要使四边形PMEN的面积最小，则圆心到直线I上的，点的距离最小 过圆心作直线1的垂线， 垂线的方程为y=- 3t+2. 11分 [√5x-y+12=0 5v3 X= 联立 解得 y=- 3t+2 9 y=2 则面积最小时， P …13分 数学参考答案第5页（共8页)》 因为P,M,E,N四，点共圆，直径为PE, +y213 其方程为x2+5V5 y+9=0. .14分 2 联立x+0-22=20与x+5 x+y2 2 2y+9=0, 得直线MN的方程为√5x-y+10=0. 故所求的直线MW的方程为V3x-y+10=0. .15分 18.【解析】(1)证明：连接AC交BD于点O,连接EO. 1分 因为底面ABCD是正方形，所以O为AC的中点. 又因为E是棱PA的中点，所以EO∥PC..4分 又EOC面BDE,PC丈面BDE, 所以PC∥平面BDE. .5分 (2)(i)连接PO,设PO=x,四棱锥外接球的半径为R. 因为P-ABCD是正四棱锥，所以球心在直线PO上 所以R2=(x-R)2+0C2=(x-R)2+2..7分 以-2-x+到5. 2x= 当且仅当x=√2时取“=” .9分 此时，nx2x2xV反=4y5 …11分 3 B (ⅱ)如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系. 12分 由(i)可知PO=√2，所以PA=PB=PC=PD=2, 所以BE⊥PA,DE⊥PA, 所以PA⊥面BDE,所以面BDE的法向量可以是AP. 又因为40，-V2,0),P(0,0,V2), 所以P=(0,V2,2),P=2. ..14分 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),则nDC=0且n-DP=0 由D-V2,0,0),C0,V2,0),P0,0,V2), 得DC=(N2,V2,0),DP=(N2,0,V2) 所以 2x+2y=0,即y=- 2x+22=0' (2=-x 数学参考答案第6页（共8页） 令x=1,得n=(,-l,-1),川=5. …16分 设平面BDE与平面PCD的夹角为O, 所以eas0=ka到b-2-月 2×√3 3 所以平面BDE与平面PCD夹角的余孩值为Y6 17分 19.【解析】(1)由FF=2c=2,得c=1. 1分 由离心率e=-5,得a=2. .2分 a 2 则b2=a2-c2=1.… .3分 所以精图C的标准方根为号+y广-1 4分 (2)(i)由（1)得点F坐标(1,0)， 易得过点F,的所有直线与椭圆一定有两个不同的交点 由OA LOB可得OA.OB=0. ..5分 ①直线B斜率不存在时，在精圆方程中令x=1,得y= 2 不妨设 号，-所以00丽-1兮0，所以不成a6分 ②直线AB斜率存在时，设直线AB的斜率为k,则其方程为y=k(x-1) 设A(x,),B(x2,2), y=k(x-1) 由方程组 2+2s1 消去y,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0 4k2 则有+名2炉+1？ 2k2-2 2k2+1 .7分 0A0B=x3+y=x5+k2(x-1(x-1)=(k2+1)xx2-2(x+x)+2 （k2+1(2k2-2) 44 2k2+1 2k2+ 2-0 所以k=±√2. .8分 当=万时，与+5为+%=5(：+云2小目-2列-29 数学参考答案第7页（共8页) 所以，点M的坐标是 ，-5 9分 同理当k=-√2时，点M的坐标是 综上所述，点M的坐标是 或 4√2 55 10分 (iⅱ)直线AB的方程可化为x=y+1. x=y+1 由方程组 写*yr=1消去得+2到210 x2 -2t -1 则有%+%2+2？%2K2+1 所以2h=为+2：11分 又=号，所以2=%+，则月2产 k y 12分 同理设D(5⅓)，则⅓=-。片。 2x+3 13分 所以斯-2 2E2SAADRSAA-SAMOESAEE-SADRE C△ABE C△ADF 2a 2a =c-y2+y2=Y2(←y+为）e…a 2W2 4 …14分 y-y）=2.4xy √2x丛 √2xy .15分 2V6 19 3 当且仅当号=9y,即x 35 .V10 时取等号. 2 10 .16分 1 故-5的最大值为 3 17分 数学参考答案第8页（共8页）