专题09 一次函数与几何综合压轴题型汇编（十九大高频题）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题09 一次函数与几何综合压轴题型汇编 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 2 【题型三 一次函数已知面积相等求动点坐标】 4 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 6 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 9 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 10 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 12 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 15 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 16 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 17 【题型十一 一次函数过定点问题】 19 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 22 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 22 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 24 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 25 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 26 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 29 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 30 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 32 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 1．如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B，两点，，点C是直线上与A、B不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是6时，求点C的坐标． 3．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)直接写出不等式的解集． 4．如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点． (1)求直线的函数关系式； (2)如图2，若点为线段上一点，且的面积为5，求点的坐标． 【题型三 一次函数已知面积关系求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上求一点，使，求点坐标． 2．如图，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，与直线交于点．已知． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，直线与轴交于点，直线经过点，，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线上有一点，使得的面积是面积的倍，请求出点的坐标； (3)根据图象，直接写出的解集为________． 4．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与直线：相交于点． (1)直接写出直线的表达式 ； (2)若，直接写出x的取值范围 ； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将沿直线折叠，使点A与点B重合．折痕与x轴交于点C，与交于点D． (1)点A的坐标为______；点B的坐标为______； (2)求的长度，并求出此时直线的表达式； (3)在x轴上有一点P，使是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标． 5．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为． (1)直接写出________，________，________． (2)求四边形的面积． (3)轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 1．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 2．如图，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点. (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)若点在轴上，且是直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 4．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，为等腰直角三角形，，，则可证．由于三个直角的顶点都在同一直线上，因此我们将其称为“一线三直角”． (1)如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，则B点坐标为　　　　　． (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数解析式； (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段BC上的中点，点Q是直线上的一动点．若，求Q点坐标． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若 的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 4．如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且． (1)求直线的解析式； (2)为线段上一个动点，过点作轴，交直线于点，若，求此时点的坐标； (3)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 1．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 2．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图，若，直接写出点P的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标为_____； (2)求点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)在第一象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线与交于点，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有点，使得，请求出点的坐标； (3)已知平行于轴且位于轴左侧有动直线，分别与交于点、，且点在点的下方，点为轴上动点，且是以MN为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标． 4．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，两点，与直线交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，若，求m的值； (3)点M为射线上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． (1)求直线的表达式； (2)当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【题型十一 一次函数过定点问题】 1．对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作． (1)已知，求． (2)已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式． (3)设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离． 2．已知直线（k为常数，且）， (1)当直线l经过原点时，求直线l的表达式，并直接写出此时y的值随x的值的增大而变化的情况； (2)下面是嘉嘉和淇淇两人的说法： 嘉嘉：将点向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点Q，则点Q一定落在直线l上； 淇淇：无论k取何值，该一次函数的图象总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． 3．一次函数的图像恒过定点． (1)若一次函数的图像还经过点， ①求该一次函数的表达式； ②将点向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后恰好落在该一次函数的图像上，求m的值； (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 4．如图1，直线分别交轴、轴于，两点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 1.一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点，点．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段于点D，交直线于点E．其中实数a、b满足． (1)求直线AB解析式； (2)如图，当时，求E点坐标； (3)在（2）的条件下，点H在直线上运动，当为等腰三角形时，求点H的坐标． 2.如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 1．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 2．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 3．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 4.如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； (3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 1.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 2.已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 1.如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 2.如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 3.综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 1.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 1.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 1.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 一次函数与几何综合压轴题型汇编 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 2 【题型三 一次函数已知面积相等求动点坐标】 8 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 15 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 25 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 31 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 42 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 58 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 66 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 68 【题型十一 一次函数过定点问题】 80 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 85 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 90 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 95 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 104 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 107 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 117 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 121 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 132 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； 【详解】（1）解：设直线的函数解析式是， 点坐标为，点坐标为， ，解得， 直线的函数解析式是， 故答案为：； （2）解：过点作轴，交于， 点是一次函数图象上的一个动点， 设点，则， ， 则， 解得， 点的坐标为，； 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 1．如图，直线上与轴、轴分别交于两点，于点，点为直线上不与点重合的一个动点． (1)点坐标为（   ）；点坐标为（   ）； (2)线段的长； (3)当的面积是时，求点的坐标． 【答案】(1), (2) (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数的坐标、线段长度及面积问题，运用代数运算与几何结合思想， （1）通过坐标轴上点的特征求坐标； （2）用勾股定理和三角形面积公式求线段长； （3）设点坐标结合面积公式列方程求解； 关键是熟练一次函数性质和几何公式，易错点是忽略绝对值导致漏解；解题思路：（1）分别令为0求坐标；（2）先算长，再用面积法求；（3）设坐标，用面积公式列方程求坐标． 【详解】（1）解：令代入，解得，则点坐标为 令代入，解得点坐标为； 故答案为：,； （2）由（1）得； 根据的面积得其中， 所以，解得    ； 故． （3）设点的坐标为 的面积以为底，且， 点到轴的距离为， 则 解得 当时，点的坐标为 当时，点的坐标为 故点的坐标为或． 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B，两点，，点C是直线上与A、B不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)当的面积是6时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据已知得出C点的纵坐标是解决问题的关键． （1）依据题意，根据直线解析式求出点B坐标及长度，结合得出长度，从而得出点A坐标，进而可以得解； （2）依据题意，先根据面积及长度可得点C纵坐标的绝对值，结合点是直线上与A、B不重合的动点可得点 C纵坐标，继而代入解析式得出答案． 【详解】（1）解：由题意，， 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为， 把点代入得， 直线的解析式为； （2）解：∵的面积是6， 点C的纵坐标的绝对值为， 点是直线上与A、B不重合的动点， 点C的纵坐标是， 把代入可得：， 点C的坐标是． 3．如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，一次函数图象与y轴的交点为，与x轴的交点为D． (1)求一次函数的表达式； (2)一次函数的图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、一次函数交点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先确定A点的坐标，然后利用待定系数法计算一次函数解析式即可； （2）设点，再确定点D坐标，易知，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）根据两直线交点解不等式即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图像与一次函数的图像交于点， ∴，解得， ∴点的坐标； ∵一次函数的图像过点和点， 则有，解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设点， ∵点P在一次函数的图象上， ∴， 对于一次函数，令， 则有，解得， ∴点，故， 根据题意可知：， ∴，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴点的坐标或； （3）解：由（1）知，结合函数图像， 所以不等式的解集为． 4．如图1，已知点和点坐标分别为和，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接交轴于点． (1)求直线的函数关系式； (2)如图2，若点为线段上一点，且的面积为5，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）过点作轴于点，证明，进而求得 再根据待定系数法求解即可； （2）过点作轴于，设点的坐标为，根据建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作轴于点， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点和点坐标分别为和， ∴， ∴ ∴ ∴ 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为 （2）如图2，过点作轴于， 设点的坐标为， 当时，， ， ∴ ， ， ∴ 解得：， ． 【题型三 一次函数已知面积关系求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)在轴上求一点，使，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了正比例函数的应用，三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设直线的函数表达式为，将点代入直线的函数表达式计算即可得解； （2）先计算出，从而得出，设，则，再由三角形的面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入直线的函数表达式可得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴， 解得：或， ∴或． 2．如图，直线分别交轴、轴于点，直线分别交轴、轴于点，与直线交于点．已知． (1)求直线对应的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)在轴上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)存在，或 【分析】本题主要考查一次函数的相关知识，掌握待定系数法求一次函数解析式，两直线交点坐标的计算方法，三角形面积计算，根据图象的性质确定函数值大小等知识是解题的关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据两点直线相交，联立方程组求解可得点E的坐标，即可求解； （3）设点的坐标为，先求出，根据，得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入， ， 解得：      （2）解：， ， ∴点C坐标为， 把代入，得， 解得：， ， 令，得， 把代入，得， 点坐标为，     ∴当时，． （3）解：存在．设点的坐标为，在中，令，得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或． 3．如图，直线与轴交于点，直线经过点，，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)直线上有一点，使得的面积是面积的倍，请求出点的坐标； (3)根据图象，直接写出的解集为________． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，熟练掌握待定系数法，求出函数解析式． （）利用待定系数法求出直线的解析式即可； （）先求出，，设，然后求出，再通过的面积是面积的倍，得出，然后求出的值即可； （）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，，， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：由直线得，当时，， ∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴， 设， ∵的面积是面积的倍， ∴， 解得：或， ∴或； （3）解：由上可得，， ∴的解集为， 故答案为：． 4．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，点为两函数图象的交点，且点的横坐标为2． (1)求一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使得?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了求一次函数的关系式，一次函数与几何图形， 对于（1），先求出点C的坐标，再根据待定系数法求出直线关系式； 对于（2），先求出点A的坐标，即可得，再根据三角形的面积公式得出答案； 对于（3），先求出，再根据三角形的面积得，结合点A的坐标即可求出答案. 【详解】（1）解：把代入得， ， 设， 把，代入可得： 解得： ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ∴， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， 当在轴上时，，即， ， ， 点的坐标为或. 5．如图，一次函数的图象与轴、轴分别相交于点、，直线经过点和点，直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)在直线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查待定系数法，两直线的交点，坐标与图形． （1）先运用待定系数法求出直线的解析式为，解方程组可得点M的坐标； （2）由，，得到，，因此．对于函数，令，得到，从而，设，根据列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线经过点和点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵直线相交于点 ∴解方程组，得， ∴． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴． 对于函数，令，则， ∴， ∴， ∵点N在直线上， ∴设， ∴，即， 解得， 当时，，即； 当时，，即； 综上，存在点或，使得． 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系xOy中，过点的直线与直线：相交于点． (1)直接写出直线的表达式 ； (2)若，直接写出x的取值范围 ； (3)直线与y轴交于点M，在x轴上存在点P，使得是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标 ． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数与不等式，等腰三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）将点代入，确定点B的坐标，分别把A，B的坐标代入，解答即可； （2）根据交点坐标的意义，结合图象解答即可； （3）分为：及三种情形讨论得出结果． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 故 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴． （2）解：根据题意，得图象交点为， ∵， ∴． （3）解：根据题意，得， 故，， 同理可得，； 故； 当时，得到，此时， 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 当时，设，则，， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 综上所述：点P的坐标为或或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，直线过点C． (1)求m和b的值； (2)直线与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒． ①若的面积为10，求t的值； ②是否存在t的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①7秒；②存在，或或8 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点C，，； （2）①由题意得：，中，当时，，，，即可求解； ②分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， ∴点， ∵直线过点C， ， 解得； （2）①由题意得：， 中，当时，， 解得， ∴， 中，当时，， 解得， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴， 解得， 则t的值7秒； ②设点，点A、C的坐标为：， 当时，则点C在AP的中垂线上，即， 解得：； 当时，则点P在点C的正下方，故， 解得：； 当时， 同理可得：或（舍去） 故：当或或8时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中②，要注意分类求解，避免遗漏． 4．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点A、B，再将沿直线折叠，使点A与点B重合．折痕与x轴交于点C，与交于点D． (1)点A的坐标为______；点B的坐标为______； (2)求的长度，并求出此时直线的表达式； (3)在x轴上有一点P，使是等腰三角形，不需计算过程，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3)，，， 【分析】（1）令求出x的值，再令求出y的值即可求出A、B两点的坐标； （2），根据翻折变换的性质用x表示出的长，再根据勾股定理求解即可得到的长度，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据x轴上点的坐标特点设出P点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可． 【详解】（1）解：令，，所以点B的坐标为， 令，，所以点A的坐标为 故答案为：， （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， 由折叠性质知， 设，则， 在中，， 由勾股定理得  即， 解得：， ∴的长为； ∴点C的坐标为， 设直线的表达式为，则 ， 解得 ∴直线的表达式为， （3）设P点坐标为， 当时，，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或（不合题意，舍去）． ∴P点坐标为，，，． 【点睛】此题比较复杂，考查的是坐标轴上点的坐标特点、等腰三角形的定义、一次函数、勾股定理及两点间的距离公式，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解． 5．如图，已知函数的图像与轴交于点，一次函数（）的图像经过点，与轴及函数的图像分别交于点，，且点的坐标为． (1)直接写出________，________，________． (2)求四边形的面积． (3)轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)或或或 【分析】本题属于一次函数综合题，涉及知识点有运用待定系数法求一次函数解析式、两直线的交点坐标、等腰三角形的性质、坐标与图形性质，勾股定理等知识点，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． （1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）设，求出，，，分三种情况，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：直线的解析式为， ∴令，解得：， ∴， ， ； （3）解：设， ∵， ∴，，， ①当时，则， ∴，即， ∴， ∴或（与点B重合，舍去）， ∴； ②当时，则， ∴， ∴， ∴或， ∴或； ③当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述点P的坐标为或或或． 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 1．已知：直线与轴、轴分别相交于点和点，点在线段上．将沿折叠后，点恰好落在边上点处． (1)求出、两点的坐标； (2)求出的长； (3)点是坐标轴上一点，若是直角三角形，求点坐标． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为 (2)3 (3)或或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键． （1）令和令，可求、两点的坐标； （2）由勾股定理求出的长，再由轴对称的性质，用含的式子分别表示、的长，在中根据勾股定理列方程求出的长； （3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别相交于点和点 时；时 点坐标为，点坐标为． （2）解：由折叠得，，，， ，， ， ， ， ， 解得：； 故长为． （3）解：当时，则点； 当时，， 如图，设， ∴ 解得： ∴点； 当时， 如图，设， ∴ 解得： ∴点， 综上所述：点E的坐标为或或． 2．如图，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点. (1)求直线的函数关系式； (2)连接，求的面积； (3)若点在轴上，且是直角三角形，请求出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)直线的函数关系式为 (2)的面积为 (3)点坐标为或 【分析】（1）本题主要考查了一次函数图像上的点、求函数解析式等知识点，先根据一次函数解析式确定点D的坐标，然后运用待定系数法即可解答；掌握函数图像上的点满足解析式是解题的关键； （2）本题主要考查了函数图像上点、三角形的面积等知识点，先求出点A、C的坐标，进而求得的长，然后根据即可解答；掌握数形结合思想是解题的关键； （3）本题主要考查了坐标与图形、勾股定理等知识点，分、、为直角三种情况解答即可；掌握分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，，则点， 设直线的表达式为：， 将点，代入函数关系式中， 得， 解得， 则直线的函数关系式为. （2）解：令，则，即点， 由直线的表达式知，点； 由点A、的坐标得：， 则. （3）解：由题意得：不可能为直角； 如图，过点作轴于点，此时为直角，即. 当为直角时，设点，则，，， ∵， ∴， 解得：，即点的坐标为：． 综上，点坐标为：或． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的综合题，一次函数的实际应用，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 1．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 2．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，C，，过点A作轴，垂足为A，过点C作轴，垂足为C，两条垂线相交于点 (1)求线段AC的长； (2)如图2，将图1中的折叠，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕交于点D，交于点E，连接，求点D的坐标； (3)是射线上的一个动点，过点M的另一条直线与y轴相交于点请直接写出与全等时，点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M点坐标为或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理，三角形全等的性质是解题的关键 （1）根据点A与点C是一次函数与x轴，y轴的交点，求出A、C点坐标，即可求AC的长； （2）由折叠可知，，在中，，解得，即可求D点坐标； （3）设，当≌时，，可求；当≌时，，可求 【详解】（1）解：当时，， ，即， 当时，， ，即， ； （2）解：由折叠可知，，， ， ， 在中，， 解得， ； （3）解：设直线AC的解析式为， ， 解得， ， 设， 当≌时，， ， 解得或舍， ； 当≌时，， ， 解得或舍； ； 综上所述：M点坐标为或 3．如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，直线经过点，． (1)求直线与的函数解析式． (2)求的面积． (3)如图2，是线段上的一动点，是线段上的一动点，连接，，．若与全等，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，全等三角形的性质．掌握用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键． （1）用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可； （3）分为或两种情况，利用对称性和一次函数的平移解答即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. 设直线的函数解析式为. 将点，代入， 得解得 直线的函数解析式为. （2）解：点，，， ，， . （3）解：分两种情况： ①如图1，当时，，. ， ， ，. 把代入，得， 点. ②如图2，当时，， . 直线的函数解析式为， 直线的函数解析式为. 将与联立，解得 点. 综上所述，点的坐标为或． 4．如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 1．如图1，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为．点在直线上． (1)求直线的表达式； (2)点D是x轴上的一个动点，当时，求点D坐标； (3)如图2，点E坐标为，连接，在直线上是否存在一点P，使得，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)D的坐标为或 (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得直线的表达式为； （2）求出，，知，故，得，即可得D的坐标为或； （3）分两种情况：当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，证明，设，可得，从而，直线解析式为，联立，解得；当P在上方时，同理可得． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：把代入得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴D的坐标为或； （3）解：在直线上存在一点P，使得，理由如下： 分以下两种情况讨论： 当P在下方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当P在上方时，过C作于H，过H作轴，过C作于M，过E作于N，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵，， ∴， 解得， ∴， 由，可得直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 同理可得， 综上所述，P的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，三角形面积，全等三角形的判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 2．如图1，为等腰直角三角形，，，则可证．由于三个直角的顶点都在同一直线上，因此我们将其称为“一线三直角”． (1)如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，则B点坐标为　　　　　． (2)如图3，在平面直角坐标系中，直线的函数解析式为分别与y轴，x轴交于点A，B，将直线绕点A顺时针旋转得到，求的函数解析式； (3)如图4，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段BC上的中点，点Q是直线上的一动点．若，求Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）过点B作交点D，证明得，求出，进而可求出点P的坐标； （2）过点B作交点P，过点P作轴于点Q，证明，确定点P的坐标，设直线的解析式为，求解即可 （3）先求出直线的解析式，得出，然后根据求出即可求解． 【详解】（1）解：过点B作交点D， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，点， ∴， ∴， ∴点． 故答案为：； （2）解：过点B作交点P，过点P作轴于点Q， ∵， ∴，    ∵， ∴， ∴， ∵直线分别与轴，轴交于点，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴， ∵点P在第二象限， ∴点． 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为； （3）解：如图， ∵点，轴，轴， ∴． ∵P为线段BC上的中点， ∴． 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本题考查了一线三直角全等模型，等腰直角三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，坐标与线段的转化，熟练掌握一线三直角全等模型是解题的关键． 3．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称． (1)求直线的表达式； (2)设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点，连接． ①若，则点的坐标为 ； ②若 的面积为，则点的坐标为 ； ③已知为线段的中点，连接，若在线段上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点F的坐标 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）①设点，则点)，则，由，，则，，，再由勾股定理得，，则，由此求解即可； ②设点， ，点在直线上，，，，进行求解即可； ③过点作交于，过点作轴于，根据，是等腰直角三角形，再证，得出，，根据点为线段的中点，，求出，设，则， 待定系数法求直线的解析式为，点在上，，代入得方程解方程即可． 【详解】（1）解：对于，令，， ， 令， ， ， ， 点与点A关于轴对称， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； （2）解：①设点， ， ，， ，，， ， 是直角三角形， ， ， ， ， 故答案为：； ②设点， 点在直线上， ， 点在直线上， ， ， 的面积为， ， ， 或； ③过点作交于，过点作轴于， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ，， 点为线段的中点，， ，， 设，则，，则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 点在上，， ， 解得：， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握待定系数法求一次函数解析式． 4．如图1，直线与轴、轴分别交于点和点，点在轴负半轴，且． (1)求直线的解析式； (2)为线段上一个动点，过点作轴，交直线于点，若，求此时点的坐标； (3)点是的中点，为直线上的一个动点，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出直线与坐标轴交点坐标，再求出点坐标，再由待定系数法求解； （2）设点坐标为，则点坐标为，再由，建立方程求解； （3）当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于，证明，设点，表示出，再代入，求解；当点在点上方时，构造同样辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点和点， 当；当，此时， 点，点， ． ， ， ∴点． 设直线的解析式为， ， 直线的解析式为； （2）解：设点坐标为， ∴点坐标为， ． ， ， ∴ 此时点坐标为； （3）解：如图，当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 点是的中点，点，点， 点． 设点． ， ， ， ∴ ∴点坐标为； 当点在点上方时，构造同样辅助线： 同理， 点是的中点，点，点， 点． 设点． ， ， ， ∴ ∴点坐标为； 综上所述：点或． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点是线段上一点，将沿着折叠，点落在点处，连接． (1)求点、点的坐标； (2)若点落在线段上，求点的坐标； (3)在轴是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（）把和分别代入一次函数解析式解答即可求解； （）由勾股定理可得，由折叠的性质可得，，，即得，设，则，在中，利用勾股定理求出的值即可求解； （）分点在轴右侧和左侧两种情况，分别画出图形，利用全等三角形的判定和性质和勾股定理解答即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， 解得， ∴； （2）解：当点落在线段上，如图， ∵，， ∴，， ∴， 由折叠得，，，，则， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴； （3）解：当点在轴右侧时，如图，过点作于点，过点作轴于，过点作的延长线于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， 设点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得， ∴； 当点在轴左侧时，如图，过点作，则， ∵， ∴， 由上可知，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 1．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，一次函数的图象经过点，并与轴交于点为直线上的动点． (1)求直线的解析式； (2)当点的横坐标比纵坐标大时，求的面积； (3)当时，求点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)的面积为 (3)点F的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰三角形判定与性质等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）求出，由一次函数的图象经过点，可得，故直线的解析式为； （2）求出，，可得，再求出，即可得； （3）当F在右侧时，设交y轴于G，由，可得，设，由，有，解得，知，可得直线的解析式为，联立，可解得，当在左侧时，，即轴，即可得． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 一次函数的图象经过点， ， 直线的解析式为； （2）解：如图： 在中，令得， ， 在中，令得， ， ， 在中，令得：， 解得， ， ， 的面积为9； （3）解：当F在右侧时，设交y轴于G，如图： ， ， 设，则，， ， ， 解得， ， 由，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得， ； 当在左侧时， ∵， ∴，即轴， ， 在中，令得， ； 综上所述，点F的坐标为或 ． 2．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． （1）求直线的函数解析式； （2）设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点M的坐标； ②连接，如图，若，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）；（2）①或者，②或 【分析】（1）先确定出点B坐标和点A坐标，进而求出点C坐标，最后用待定系数法求出直线BC解析式； （2）先表示出PQ，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）分点M在y轴左侧和右侧，设M点坐标为（x，0）,然后表示出点P的坐标，由对称得出∠BAC=∠ACB，∠BMP+∠BMC=90°，所以，当∠MBC=90°即可，利用勾股定理建立方程即可x2+9+45=（6-x）2； 【详解】解：（1）对于 由得：，∴ 由得：，解得﹐∴， ∵点C与点A关于y轴对称，∴ 设直线的函数解析式为，则 ，解得：， ∴直线的函数解析式为， （2）设，则、 如图，过点B作于点D， ， ， ，解得， ∴或者． （3）如图，当点M在y轴的左侧时， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， ∵， ∵，∴ ∴ ∴ 设，则 ∴， ， ， ∴，解得， ∴． 当点M在y轴的右侧时，如图， 同理可得． 综上，点P的坐标为或． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解； （2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式； （3）利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，， ，， ，，，，， ， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ，， ∴， 点为直线上一点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为， 将沿着所在直线折叠，点落在轴负半轴上， 设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏． 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线的图象与轴轴分别交于，两点．直线的图象与轴交于．直线与直线交于点． (1)求点的坐标及直线的表达式； (2)若点在直线上，且为直角三角形，直接写出点的坐标； (3)在轴上是否存在点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)点，直线的表达式为：． (2)点E的坐标为或； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，坐标与图形，一次函数的图象及性质，勾股定理，直角三角形的性质，数形结合和分类求解是解题的关键． （1）当时，，得到点，再由待定系数法即可求解； （2）分时，时两种情况，分别求出点E的坐标； （3）设点的坐标为，根据题意可得，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：，即点， ∵直线经过点， ∴， 解得：， 则直线的表达式为：． （2）当中时，，解得 ∴， 当中时，，解得 ∴， 当时，为直角三角形， 此时，则， 故； 当时，为直角三角形，过作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，得， ∴， 综上，点E的坐标为或； （3）存在，理由： 当点P在y轴左侧时， ∵，则， 即， 设， 由点A，P，C的坐标得，，， 得，即点； 当点在y轴右侧时，则与左侧时的点P关于点H对称，故此时 综上，存在，点的坐标为或 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 1．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】点的坐标是． 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ∴点的坐标是． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)的长为_____，点的坐标为_____； (2)求点的坐标，并求出直线的函数解析式； (3)在第一象限内是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)， (3)或或 【分析】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是分情况讨论． （1）由点A和点B的坐标，可得到，，然后依据勾股定理可求得的长，然后依据翻折的性质可得到的长，于是可求得的长，从而可得到点D的坐标； （2）设，则，中，依据勾股定理可求得x的值，从而可得到点，然后利用待定系数法求解即可； （3）分三种情况解答，情况一：，；情况二：，；情况三：，，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，． ∵沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． ∴， ∴， ∴； （2）设，则． 在中，，即， 解得：， ∴． 设的解析式为，将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； （3）解：情况一：，，过点P作轴于点E． ∵， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． ∴， ． ∴，， ∴点P的坐标为 ． 情况二：， 过点P作轴于点F． ∵， ∴，， ∴． 又∵，， ∴ ． ∴，． ∴，， ∴点P的坐标为 ． 情况三：，， 过点P作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴四边形是矩形， ． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． 设， ∴，， 由， ∴， ∴​​， 所以点P的坐标为． 综上，点的坐标为或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线的函数表达式为，直线与交于点，与x轴交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若直线上有点，使得，请求出点的坐标； (3)已知平行于轴且位于轴左侧有动直线，分别与交于点、，且点在点的下方，点为轴上动点，且是以MN为直角边的等腰直角三角形，请求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出B点坐标可得，设，分两种情况讨论：当点P在左侧时，当点P在右侧时，根据面积分别求出P点坐标即可； （3）设动直线与x轴交点的横坐标为t，则，求得，当且时，；当且 时，，分别联立方程求解即可． 【详解】（1）解：设的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴的函数解析式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线上有一点P， 设， 当点P在左侧时，， 解得， ∴； 当点P在右侧时，， 解得， ∴； 综上可得：或； （3）解：设动直线与x轴交点的横坐标为t， ∴， ∴， 当且时，， ∴， 解得，此时； 当且 时，， ∴， 解得，此时； 综上所述：或． 4．如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于，两点，与直线交于点C． (1)求一次函数的解析式； (2)在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F，若，求m的值； (3)点M为射线上一动点，点N为直线上一动点，是否存在点M，N使得是以点M为直角顶点的等腰直角三角形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或8 (3)或 【分析】（1）把，代入，进行列方程组，再解得，即可作答． （2）理解题意，得，，因为，，则，再建立方程，最后解得出方程的解，即可作答． （3）先理解题意，得出点C坐标，在x轴上取一点M，在直线上取一点N，使得，且，分别过N，C作x轴的垂线，垂足为H，I．再进行分类讨论，运用数形结合思想以及等腰直角三角形的性质，证明，则把点的坐标代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，把，代入得到 解得， ∴一次函数的解析式是 （2）解：∵在x轴上有一点，过点P作x轴的垂线，与直线交于点E，与直线交于点F， ∴，， ∵， ∴， ， ， 则或， 或； （3）解：或，过程如下： 依题意，联立方程组， 解得， 点C坐标 在x轴上取一点M，在直线上取一点N，使得，且，分别过N，C作x轴的垂线，垂足为H，I． 第一种情况，当点在的延长线上时，如图所示： ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 又， ， ，， 设， 则 ， 把点代入， 得， 解得； 第二种情况：当点在线段上时， ∵是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 又， ， ，， 设，则 ， 把点代入， 得， 解得， 综上所述或． 【点睛】本题考查了一次函数的几何综合，求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点是直线上方第一象限内的动点． (1)求直线的表达式； (2)当为等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）分三种情况，结合全等三角形的判定和性质解答，即可求解． 【详解】（1）解：直线交轴于点， ， 直线的解析式是； （2）解：当时，， 点   如图，当为直角顶点时， 过作轴于，过作于， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，①， ②， 由①②解得：，， ， ， 如图，当为直角顶点时，过作轴于， 同理可证， ，即， 又， ， 如图，当为直角顶点时，过作轴于， 同理可证， ，即， 又， ， 综上所述，点坐标为或或． 【题型十一 一次函数过定点问题】 1．对于平面直角坐标系中的任意两点，，我们把叫做，两点间的直角距离，记作． (1)已知，求． (2)已知点O为坐标原点，动点满足，请写出y与x之间的关系式． (3)设点是一定点，点是直线上的动点，我们把的最小值叫做点到直线的直角距离．试求点到直线的直角距离． 【答案】(1)7 (2) (3)6 【分析】（1）根据题中所给出的两点的直角距离公式即可得出结论； （2）根据坐标原点点坐标为，再由两点的直角距离公式即可得出结论； （3）先根据题意得出关于的式子，再由绝对值的几何意义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：∵，，， ∴， ； （3）解：∵点在直线上， ∴， ∵， ， 又可取一切实数，表示数轴上实数所对应的点到数1和所对应的点的距离之和，其最小值为6， 到直线的直角距离为6． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象，涉及的知识有：绝对值的代数意义，弄清题中的新定义是解本题的关键． 2．已知直线（k为常数，且）， (1)当直线l经过原点时，求直线l的表达式，并直接写出此时y的值随x的值的增大而变化的情况； (2)下面是嘉嘉和淇淇两人的说法： 嘉嘉：将点向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点Q，则点Q一定落在直线l上； 淇淇：无论k取何值，该一次函数的图象总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】(1)，的值随的值的增大而增大 (2)见解析 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，坐标点的平移，一次函数值的求解，熟练掌握相关性质为解题关键． （1）将点代入，求出k的值，根据函数性质判断即可； （2）分情况，将点带入函数解析式进行判断即可． 【详解】（1）解：将代入中，得 ， 解得， 直线的表达式为 此时的值随的值的增大而增大； （2）选择嘉嘉的说法： 由题意得，点的坐标为 将代入中， 解得 点一定落在直线上 选择淇淇的说法： 由题意得 当时， 该一次函数的图象总经过点． 3．一次函数的图像恒过定点． (1)若一次函数的图像还经过点， ①求该一次函数的表达式； ②将点向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度后恰好落在该一次函数的图像上，求m的值； (2)当时，一次函数的最大值和最小值的差是6，求b的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】本题考查了求解一次函数的解析式，平移的性质，一次函数的性质； （1）把点，代入，再求解即可； ②先得到平移后的，再代入即可得到答案； （2）先求解一次函数为，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数为； ②将点向右平移1个单位，再向上平移个单位后为， ∴， 解得：； （2）解：∵一次函数的图象恒过定点， ∴，即， ∴一次函数为， 当时，随的增大而增大， ∵， ∴当，函数最小值为：， 当，函数最大值为：， ∴，解得：， ∴， 当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，函数最大值为：， 当，函数最小值为：， ∴，解得：， ∴， 综上所述，． 4．如图1，直线分别交轴、轴于，两点． (1)求直线的解析式； (2)如图2，已知直线，无论取何值，它都经过第二象限内的一个定点，分别连接，求的面积； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数综合题、三角形的面积等知识，解题的关键是确定一次函数解析式，确定直线与坐标轴的交点坐标． （1）用待定系数法求解即可； （2）当时，，即可知道直线过定点，求出直线解析式得到点的坐标，可求面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，坐标代入得．， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：在中，当时，， ∴直线过定点， 设直线的解析式为：， ∵在函数图象上， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令，则， ∴， ∴． 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 1.一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点，点．过B点作垂直于直线AB的直线交x轴于点C，过A点的直线交线段于点D，交直线于点E．其中实数a、b满足． (1)求直线AB解析式； (2)如图，当时，求E点坐标； (3)在（2）的条件下，点H在直线上运动，当为等腰三角形时，求点H的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）根据实数a、b满足，可得到，，再将、两点坐标代入求解即可； （2）根据、长度结合勾股定理可得出长度，取为的中点，连接，证明为等边三角形，从而得到，根据，可得出的长度和，从而得出点坐标，为等边三角形，继而求得直线的解析式，根据三角形外角性质可得，从而得到，结合等边三角形性质可得出点纵坐标，代入到直线的解析式即可求得E点坐标； （3）根据题意考虑四种情况①当时，作轴于点，②，③当时，作作轴于点，④当时，作作轴于点，于点，根据上述情况作出草图，利用勾股定理，含角的直角三角形，等腰三角形的性质与判定分别求解即可． 【详解】（1）解：实数a、b满足，，， ，， ，， 将，代入得： ，解得， 直线AB解析式为； （2）解：由（1）可得：，， ， 取为的中点，连接， , , ， , 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点坐标为：即， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 由图可知，点的纵坐标为，将其代入得：，解得， 点的坐标为； （3）解：①如图，当时，作轴于点， 此时， ， ， ， 此时点H的坐标为即； ②由（2）可知，， 当点H位于点时，为等腰三角形， 此时点H的坐标为； ③如图，当时，作作轴于点， ，， ， ， 此时点H的坐标为即； ④如图，当时，作作轴于点，于点， 此时为等腰三角形， 为中垂线， ， ， ， ， ， ，， ， ， 此时点H的坐标为即； 综上所述，H的坐标可以为或或或． 【点睛】本题考查了求待定系数法一次函数解析式，绝对值和算术平方根非负性，坐标与图像，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 2.如图，直线与直线交于点，与轴交于点，直线经过点，直线分别交轴．直线、于，，三点． (1)求m的值及直线的函数表达式； (2)当点在线段上（不与点，重合）时，若，求的值； (3)设点关于直线的对称点为，若点在直线，直线与轴所围成的三角形内部（包括边界），直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）由题意得，点、、的坐标分别为：、、，，则，即可求解； （3）关于直线的对称点为，当点落在直线上时，则，解得：；当落在上时，同理可解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入得：， 解得：，即点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：由题意得，点、、的坐标分别为：、、， ， 则， 解得：或； （3）解：关于直线的对称点为， 当点落在直线上时， 则， 解得：； 当落在上时， 则， 解得：， 故． 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得 （2）根据待定系数法求得的表达式，进而可求得A的坐标 （3）点D的坐标为，点E的坐标为，得出EF，DE的长度，再由题意得出关于m的一元二次方程，解方程即可 【详解】（1）解：将代入得：1=2a ∴a=， ∴函数 （2）由题意设y=kx+2，将代入得：1=2k+2， 解得k=， ∴ 令y=0，则，解得x=4， ∴ （3）∵点D为直线上一点，其横坐标为， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， 分两种情况： 当时，，解得， ∴， ∴D的坐标为 当时，，解得 ∴， ∴D的坐标为 综上所述：D的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式以及分类讨论思想的运用是解题关键 2.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点可求出直线的解析式，根据可得点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入直线求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：，解得， 则， ∵，且点位于轴正半轴上， ∴， 将点，代入直线得：，解得， 则． （2）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴， 将点代入得：， 解得， 则， 所以点的坐标为． 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 1．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，在y轴上取一点C，，连接． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)在线段上取一点D，若点D的横坐标为2，请你在x轴上找一点P，使得的值最小，并求出此时点P的坐标． (3)在x轴上找一点Q，使得为等腰三角形，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1)， (2)点P的坐标为 (3)的坐标为或或或. 【分析】（1）先求出点A，B的坐标，可得，，然后设，则，在中，根据勾股定理，可求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式，即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，则，求出直线的表达式，即可求解． （3）如图，为等腰三角形，设，求解，分情况如下：当时， 当时， 当时，再进一步利用勾股定理求解即可. 【详解】（1）解：把代入得：， ∴ 把代入得：， ∴， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：作点C关于x轴的对称点，则；连接交轴于，则，此时最短； 把代入得：， ∴， 设直线的表达式为， 把代入得， ∴， ∴直线的表达式为， 将代入得， ∴点P的坐标为． （3）解：如图，为等腰三角形，设， ∵，， ∴， 当时，则， 解得：，（舍去）， ∴， 当时，则， 解得：或， ∴，， 当时，则， 解得：， ∴， 综上：的坐标为或或或. 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，等腰三角形的定义，勾股定理的应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 2．如图，直线：与轴相交于点，直线：经过点，与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)求点的坐标； (3)设点的坐标为，是否存在的值，使得的值最小？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）把点，点代入直线，求出、的值即可； （2）解由直线和直线的解析式所构成的方程组，所得的解即可得出点坐标； （3）作直线，作点关于直线的对称点，连接，利用待定系数法求出其解析式，根据点在直线上求出的值即可． 【详解】（1）解：∵点，点在直线：上， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （2）∵直线：与直线：交于点， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； （3）如图，作直线，再作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接， ∴直线垂直平分， ∴， ∴，此时的最小值为， 则点即为所作，其坐标为， ∵直线：与轴相交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴当的值为时，的值最小．    【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，待定系数法确定一次函数的解析式，轴对称最短路线问题，两直线的交点坐标，直线与坐标轴的交点，垂直平分线的性质，两点之间线段最短等知识．通过作出辅助线，利用轴对称的性质求解是解题的关键． 3．已知一次函数的图象过，两点，且与轴交于点． (1)求此一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)已知点在轴上，若使的值最小，求点的坐标． 【答案】(1)此一次函数的解析式为； (2)； (3)点的坐标为． 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，轴对称—最短路线问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （）把，代入，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式； （）根据一次函数解析式求出点的坐标，再根据即可求解； （）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：由一次函数得，令，得到， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短得出此时的值最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴当时，， 解得， ∴点的坐标为． 4.如图，长方形摆放在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，，，的平分线在直线上，且交于点P． (1)求直线的函数表达式； (2)如图①，若点D在线段上运动（不与点A，P重合），设点D的横坐标为x，在点D的运动过程中，试求出的面积S与x的函数关系式； (3)如图②，请在y轴上找一点N，使的周长最小，并求出此时点N的坐标和的周长． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）长方形的性质，得到，，平行线的性质结合角平分线的定义推出，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，进而得到，用含的表达式表示出的长，三角形的面积公式求出S与x的函数关系式即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出的解析式，进而求出点的坐标，求出的长，进而求出的周长即可． 【详解】（1）解：∵长方形， ∴，， ∴， ∵的平分线在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则：， 解得：， ∴； （2）过点作轴，交轴于点，交于点，则：， 由（1）知，直线的解析式为， ∵点在线段上，且不与点A，P重合，横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：； （3）作点关于轴的对称点，连接，则：， ∵的周长， ∴当点在线段上时，的周长最小为的长， 同（1）法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， 作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值为． 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 1.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 【答案】（1）（0,4）；（3,0）；（2）2.4；（3）的坐标是． 【分析】（1）根据一次函数解析式与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）先求出AB的长度，再根据等面积法求出高，即点到直线的距离； （3）作轴于点，证明，即可求出C的坐标. 【详解】解：（1）令x=0,得y=4,∴ 令y=0,解得x=3， ∴ （2）由图知 设点到直线的距离为 则： （3）如图，作轴于点． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴，，． 则的坐标是． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及全等三角形的判定与性质. 2.已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）根据平行得出k=，求出与想、y轴的交点坐标，即可求出面积； （2）根据垂直求出a的值，求出组成的方程组的解，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行， ∴k=， 即直线l1：y=x﹣4， 当x=0时，y=﹣4， 当y=0时，x=3， 所以直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积是=6； （2）设过原点且垂直于直线l1的直线的解析式为y=ax， 则a•=﹣1， 解得：a=﹣， 即y=﹣x， 解方程组 得： ， = ， 即原点到直线l1的距离是 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题关键是能根据两直线平行和垂直求出k和a的值． 3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 【答案】（1）一次函数解析式为y=x+3；（2）a=4；（3）原点到直线AB的距离为． 【分析】(1)把A、B两点坐标代入y＝ kx ＋ b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b，即可得到一次函数解析式； (2)根据一次函数图象上点的坐标特征,把(a，6)代入一次函数解析式中可求出a的值； (3)先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用面积法求原点到直线AB的距离. 【详解】把代入得， 解得． 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得； ， 设原点到直线AB的距离为h， 则， 解得， 所以原点到直线AB的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解本题的要点在于能否求出一次函数的解析式. 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 1.如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 2.如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1) ，； ，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值； （）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）①∵矩形，，， ∴，，， ，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，过点，点， ∴， ∴， ∴直线解析式， 故答案为，； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小， ∵，， ∴设直线解析式， ∴，解得 ∴直线解析式， 当时，y， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． （2）如图：作于， ∵， ∴且， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， 则有， ∴， ∴直线解析式． 3.综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)4或 (3)存在， 或或 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分两种情况分别用含有m的代数式表示出根据列出方程,求出m的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线, 为对角线，为对角线，分别讨论求解即可, 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴, ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得， ∴交点C的坐标为 ∴． （2）①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得，； 当时， ∴ ∴ ∵ ∴， 解得，； 综上所述，m的值为4或； （3）解：∵，且轴，点D在上， ∴， ∴, 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)E点坐标或 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求的长即可； （2）过D点作轴交于G点，证明 ，设，，则，由D点在直线上，将D点坐标代入直线解析式求出t的值，可得C点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）过D点作轴交于G点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵D点在直线上， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， E点坐标 或 理由如下： 由(2)可知， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； 综上所述：E点坐标或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 1.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 2.已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 【答案】(1)8，D（0，8） (2)①B（，），C（，）； ②a=2 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，易证△BGA≌△CHB（AAS），进一步可得BG=CH，AG=BH，设B（m，m+8），表示出点C坐标，将点C坐标代入直线l解析式即可求出m，进一步确定点B和点C坐标； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，同①中的方法可得点B和点C坐标，进一步可知BM=CN，从而△BDM≌△CDN（AAS），易证四边形ADCE为平行四边形，根据平行四边形的性质可知点C横坐标等于点E横坐标，可得−a+=-2a，即可求出a的值． 【详解】（1）将点（-16，0）代入y＝x+b， 得-8+b=0， 解得b=8， ∴点D（0，8）， 故答案为：8，（0，8）； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，如图所示： 则∠G=∠H=90°， ∴∠GBA+∠GAB=90°， ∵AB⊥BC，∠BAC=45°， ∴∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴AB=AC，∠HBC+∠GBA=90°， ∴∠HBC=∠GAB， ∴△BGA≌△CHB（AAS）， ∴BG=CH，AG=BH， 设B（m，m+8）， 则BG=CH=m+11，AG=BH=-m， ∴C（m+11，-m+8）， ∵点C在直线l上， ∴（m+11）+8=-m+8， 解得m=−， ∴B(−，)，C（，）； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，如图所示： 设B（n，n+8）， 则BG=n+8-a，AG=-n， ∴CH=BG=n+8-a，BH=AG=-n， ∴点C（n+n+8-a，n+8-n）， 将点C坐标代入直线l解析式， 得（n+n+8-a）+8=n+8-n， 解得n=a−， ∴点C的横坐标为−a+， ∴BM=CN， 在△BDM和△CDN中， ∴△BDM≌△CDN（AAS）， ∴BD=CD， 若四边形ABDE为矩形， 则BD=AE， ∴CD=AE， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∴CE∥AD， ∴xC=xE， ∵直线AE的解析式为：y＝x+a， 当y＝x+a=0时，x=-2a， ∴xE=-2a， ∴−a+=-2a， 解得a=-2， 即当a=-2时，四边形ABDE为矩形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质等，本题综合性较强，难度较大． 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 1.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以 ，解得． ∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得， ∴, 由,得， ∴， ； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或， ∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)满足条件的P的坐标为或或或 【分析】（1）求出直线，的解析式，构建方程组即可解决； （2）利用证明，则，，求出点T的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图，分四种情况：当四边形为菱形时；当四边形是菱形时；当四边形是菱形时；当点N在B的右侧，为菱形时；分别画出图形求解即可． 【详解】（1）   解：令直线中的，则， 则， ∴点A的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式得, 设直线为：，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线为，代入可得， ， 解得：， ∴直线为：， 联立， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：过点D作交于T，过点T作轴于H，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 则， ∴， 把代入， 解得：． （3）解：如图所示，    当时，直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 当四边形为菱形时，连接交于，作于， ∵，，， ∴由角平分线定理得：， 又∵，， ∴， ∴，设， ∵在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 设直线为，代入,得： ， 解得：， ∴直线为：， 当时，， ∴的坐标为； 当四边形是菱形时，可得直线的解析式， 当时，， ， 当四边形是菱形时，在直线时， ∴， ∵与关于x轴对称， ； 当点N在B的右侧，为菱形时， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上所述，满足条件的P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识点，综合性较强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）对于直线的解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，再联立两直线解析式即可求出A的坐标； （2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）若以为边，设点，分情况利用菱形的性质和两点间距离公式列式求出a的值，然后可得点P坐标，进而可得点Q的坐标；若为对角线，由菱形的性质可得与互相垂直平分，求出点P坐标，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：分别与轴、轴交于点、， 当时，； 当时，； 点坐标为，点坐标为， 直线：与直线：交于点， ， 解得：， 当时，， 点A坐标为， （2）解：设点坐标为， 的面积为，， ， ， 点， 设直线解析式为：， 代入得：， ， 直线的解析式为：； （3）解：存在； 若以为边，设点，如图，    当四边形是菱形时， ，， ， ，舍去， 点， ∵， 点； 当四边形是菱形时， ∵，， ， （舍去），， 点， 点； 若为对角线， 以、、、为顶点的四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点的纵坐标为， 当时， 解得：， 点， 点坐标为； 综上所述：存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数图象的交点坐标，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点间距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 1.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $