第04讲 直线与圆的位置关系（知识详解+4典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年浙教版数学九年级下册重难点讲义与测试

宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 第04讲直线与圆的位置关系（知识详解+4典例分析+习题巩固） 切线的 常作辅助线：连结切点与圆心 性质 经过切点的半径垂直于圆的切线 数” d与r的大 直线与 一小关系 dkr台相交 定义法 与圆只有一个公共点 直线与 圆的位 的直线是圆的切线 d=r台相切 圆的位 置关系 切线 形 直线与圆的 d>r→相离 置关系 的判 若d=r,则直线和圆相切 位置关系 定 距离法 定理 经过半径外端并且垂直这 常见证明方法归类：①有半径，有切点，证垂直：②有 条半径的直线是圆的切线 切点，连半径，证垂直；③无切点，作垂直，证相等 目标导航 知识详解 知识点01：直线与圆的位置关系 知识点02：切线的判定和性质 知识点O3:过圆上一点作圆的切线 典例分析 考点1：切线的判定 考点2：切线的性质 (举三反三) 考点3：直线与圆的位置关系在最值问题中的应 考点4：动圆问题 用 习题巩固 一、单选题(6) 二、填空题(4) 三、解答题(4) 知细详解 【知识点1】直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 ⊙ 宋老师数学图文制作室 ⑧初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 一般地，当直线与圆有唯一 一般地，当直线与圆没有公 定义 般地，当直线与圆有两个公 公共点时，叫做直线与圆相 共点时，叫做直线与圆相交 共点时，叫做直线与圆相离 切. 0 0 0 图示 d 直线1和⊙0相交 直线1和⊙0相切 直线1和⊙0相离 公共点个数 1 0 圆心到直线的距离d 与半径r的关系 d<r d=r d>r 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 直线1和⊙0相较 直线1和⊙0相切 直线1和⊙0相离 总结 曰d<r. 台d=r 台d>r. 【知识点2】切线的判定和性质 类别 文字语言 符号语言 图示 2 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期味 :OA是⊙0的 切线的 (1)判定定理：经 半径，】经过点A 过半径的外端并且垂 判定方 且 直这条半径的直线是 法 圆的切线 1⊥0A,÷I 名 ⊙0的切线 切线满足两个条件：(1)直线和半径垂直；(2)直线要过半径的外端缺一不可，否则不成立，如下图： ⊙y 类别 文字语言 符号语言 图示 (2)距离法：圆 心到直线的距离 :d=r, d 等于半径 ÷1是⊙0 的切 r，该直线是圆 切线的 线 的切线 判定方 法 (3)定义法：与 :1与⊙0 只有 圆只有一个公共 一个公共点， 点的直线是圆的 ·1是⊙0 的切 切线. 线 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 切线的 :⊙0与1相切 经过切点的半径 性质定 于点A 垂直于圆的切线 理 :0A⊥1. 易混淆： “圆的切线”这个要素在性质定理中是作为条件，在判定定理中是作为结论， 【知识点3】过圆上一点作圆的切线 根据切线的判定定理可知：过圆上一点作圆的切线，即为过该点作该点与圆心连线的垂线与过一点作已知直线的垂线 方法相同 典例分新 【题型一】切线的判定 【典例1-1】(2024九年级下·浙江专题练习)如图，在矩形ABCD中，BC=6,AB=3,⊙O是以BC为直径的圆， 则直线AD与⊙O的位置关系是 D B 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键， 作OE⊥AD于E,则OE=AB=3,由题意得出半径=3，由d=r,即可得出结论. 【详解】解：如图所示：作OE⊥AD于E. 则OE=AB=3, BC=6, 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 :OB=二BC=3, :OE=OB,即圆心到直线的距离等于半径， :直线AD与圆O相切. 故答案为：相切. E D ■J 【典例1-2】(24-25九年级上浙江台州期末)如图1，在⊙O的内接四边形ABCD中，BC=CD,连接AC,BD.过 点C作BD的平行线，分别与AB,AD的延长线交于点E,F. D 图1 图2 (1)求证：EF是圆O的切线： (2)如图2，若AB是⊙O的直径，AB=10,AC=BD,求CE的长. 【答案】(1)证明见解析； 2)CE=53, 【分析】(1)连接OC,根据弧、弦、圆心角的关系得BC=DC,然后由垂径定理推论得OC⊥BD，又BD∥EF, 则OC⊥EF,从而求证； (2)连接OC,根据弧、弦、圆心角的关系得AC=BD,BC=DC,则AD-CD=BD-CD,即AC=BC,故 5 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 AD=BC=DC,从而有∠C0B=60°，然后由圆周角定理得∠ACB=90,由直角三角形牲质得性质BC=4B=5, 通过勾股定理求得AC=5√3，最后由平行线的性质和等角对等边即可求解. 【详解】(1)解：连接0C,如图， F E BC=DC, :BC=DC, .OC⊥BD, :BD∥EF, .OC⊥EF, :0C是圆0半径， .EF是圆O的切线： (2)解：连接0C,如图， .AC=BD,BC=DC, 6 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 ·AC=BD,BC=DC, AD-CD=BD-CD, :AC=BC, :AD=BC DC. .∠C0B=60°， .∠BAC=∠ABD=30°， :AB是圆O的直径， .∠ACB=90°， :AB=10, C-号8=5， AC=VAB2-BC2=V102-52=5V5, BD∥EF, ∴.∠E=∠ABD=∠BAC=30°， .CE=AC=53. 【点睛】本题考查了切线的判定，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，平行线的性质，等角 对等边，直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键 【典例1-3】(2025九年级下·浙江专题练习)如图，已知ABC中，AC=BC,AD是ABC外接圆⊙O的直径，过 点C作BD的垂线交BD的延长线于点E,连接CD,求证： 7 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期未 E D (I)CD平分∠ADE; (2)CE是⊙O的切线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题 的关键。 (I)根据等腰三角形的性质得到∠CAB=∠ABC,等量代换得到∠ADC=LCDE,根据角平分线的定义即可得到结论： (2)连接OC,根据三角形的内角和定理得到∠DCE+LCDE=90°，根据等腰三角形的性质得到∠OCD=∠ODC,求 得∠0CE=90°，根据切线的判定定理即可得到结论. 【详解】(1)证明：：AC=BC, ·∠CAB=∠ABC, :∠CDE=∠CAB,∠ADC=∠ABC, :ZADC ZCDE, .CD平分∠ADE; (2)证明：连接0C, CE⊥BE, ∠E=90°， LDCE+∠CDE=90°， 8 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期末 .OC=OD, :Z0CD =Z0DC, :∠ODC=LCDE, :∠OCD=∠CDE, ∴∠0CD+∠DCE=90°， :∠0CE=90°， OC⊥CE, .OC是圆0的半径， CE是圆O的切线. C A D 【变式1-1】(24-25九年级下浙江宁波阶段练习)如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点；PC与⊙O相切 于点C,若∠P=42°，则∠A= 【答案】24 【分析】本题考查了直角三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，连接OC,由切线的性质得∠OCP=90°，求出 ∠COP的度数，再根据圆周角定理即可得到∠A,掌握以上知识点是解题的关键. 【详解】解：如图，连接OC, 9 宋老师数学图文制作室 ©初高中数学备课备考 教学课件、讲义、单元、月考、期中期床 P:PC与⊙O相切于点C, ∠0CP=90°， .∠P=42°， :∠C0P=90°-∠P=90°-42°=48°， ∠A=}∠C0P=24°， 2 故答案为：24. 【变式1-2】(2025九年级下·浙江·专题练习)如图，ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P, PE⊥AC于E.求证：PE是⊙O的切线. A ○ B 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的性质，能综合运用这些性质进行推理是解答本题的关 键 连接OP,由等边对等角可得∠OPB=∠B=∠C,可知OP∥AC,由PE⊥AC,进而可推出PE⊥OP,即可证明结论. 【详解】证明：连接OP, 10 第04讲 直线与圆的位置关系（知识详解+4典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：直线与圆的位置关系 知识点02：切线的判定和性质 知识点03：过圆上一点作圆的切线 典例分析 （举三反三） 考点1：切线的判定 考点2：切线的性质 考点3：直线与圆的位置关系在最值问题中的应用 考点4：动圆问题 习题巩固 一、单选题（6） 二、填空题（4） 三、解答题（4） 【知识点01】直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 定义 一般地，当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交. 一般地，当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切. 一般地，当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离. 图示 直线 和 相交 直线 和 相切 直线 和 相离 公共点个数 2 1 0 圆心到直线的距离 与半径 的关系 公共点名称 交点 切点 直线名称 割线 切线 总结 直线 和 相交 . 直线 和 相切 直线 和 相离 . 【知识点02】切线的判定和性质 类别 文字语言 符号语言 图示 切线的 判定方 法 （1）判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 是 的半径， 经过点 且 , 是 的切线. 切线满足两个条件：（1）直线和半径垂直；（2）直线要过半径的外端.缺一不可，否则不成立，如下图： 类别 文字语言 符号语言 图示 切线的 判定方 法 （2）距离法：圆心到直线的距离 等于半径 ，该直线是圆的切线. ， 是 的切线. （3）定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线. 与 只有一个公共点， 是 的切线. 切线的 性质定 理 经过切点的半径垂直于圆的切线. 与 相切于点 ， . 易混淆： “圆的切线”这个要素在性质定理中是作为条件，在判定定理中是作为结论. 【知识点03】过圆上一点作圆的切线 根据切线的判定定理可知：过圆上一点作圆的切线，即为过该点作该点与圆心连线的垂线.与过一点作已知直线的垂线方法相同 【题型一】切线的判定 【典例1-1】（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【典例1-2】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在的内接四边形中，，连接，．过点作的平行线，分别与，的延长线交于点，． (1)求证：是的切线； (2)如图，若是的直径，，，求的长． 【典例1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知中，，是外接圆的直径，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求证： (1)平分； (2)是的切线． 【变式1-1】（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，是的直径，P是延长线上一点；与相切于点C，若，则 ° 【变式1-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，中，，以为直径的交边于，于．求证：是的切线． 【变式1-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，是直径，弦于，点在上，且，连接，． (1)求证： (2)延长到，使，作直线．如果．求证：直线为的切线． 【题型二】切线的性质 【典例2-1】（24-25九年级下·浙江·阶段练习）如图，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，于点E，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，点在上，以为半径的圆与相切于点．是边上的动点，当为直角三角形时，的长为 ． 【典例2-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，点在以为直径的上，，点在上由点开始向点运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点． (1)求证：； (2)如果，求证：为的切线． 【变式2-1】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，与相切于点C，线段交于点A，过点A作的切线交于点D．若，，则的半径等于（　　）    A．4 B．5 C．6 D．12 【变式2-2】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，已知点D是以为直径的上一点，过点D作的切线，交的延长线于点C，与相切，交直线于点E． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【变式2-3】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图是的两条切线，切点分别为A，D；是的直径，，过点A作于F，交于点E． (1)求证：； (2)若，求长． 【题型三】直线与圆的位置关系在最值问题中的应用 【典例3-1】如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0） 【典例3-2】如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为2，为轴上一动点，切于点，则当最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【典例3-3】如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为 ． 【变式3-1】正方形ABCD与正方形AEFG如图所示，AB=5，AG=4．现将正方形AEFG绕点A旋转一周． 在旋转过程中，当∠CBG最小时，点F到AB边的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，已知直线与轴交于两点，的半径为1，为上一动点，切于点．线段长度的最小值是 ． 【变式3-3】矩形中，，，点在边上，将沿翻折，点落在处，当最小时， ． 【题型四】动圆问题 【典例4-1】（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线相交于点，，半径为2cm的⊙P的圆心在直线上，且位于点O左侧的距离6cm处．如果⊙P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么（　　）秒钟后⊙P与直线CD相切． A．2 B．10 C．2或10 D．6或8 【典例4-2】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图是边长为的菱形，，一动点以的速度从出发，沿着菱形的边依次经过后回到点，停止运动．连结，若以为圆心，为半径作，当与相切时，需要时间（    ） A．或秒 B．或秒 C．或秒 D．或秒 【典例4-3】如图，直线、相交于点，，半径为的圆的圆心P在直线上，且与点的距离为，若点以的速度由A向B的方向运动，当运动时间为 时，与直线相切． 【变式4-1】（2025九年级下·浙江·学业考试）在中，．若以1为半径的圆在所在平面上运动，则这个圆与的三条边的公共点最多有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】如图，在直线上有相距5cm的两点和（点在点的右侧），以为圆心作半径为1cm的圆，过点作直线．将以的速度向右移动（点始终在直线上），则与直线在 秒时相切． 【变式4-3】如图，在中，，，，点O以的速度在的边上沿的方向运动．以O为圆心作半径为的圆，求运动过程中与三边所在直线首次相切和第三次相切的时间间隔． 一、单选题 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，若与直线相交，则半径r的值或取值范围为（  ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为．如果以的速度沿由到的方向运动，那么与直线相切时，运动的时间为（ ） A． B． C．或 D．或 3．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，为的直径，C为外一点，过点C作的切线，切点为B，连接交于D，．点E在右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则的大小是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·浙江·期末）如图，菱形的顶点，，在上，过点作的切线交的延长线于点．若的半径为，则的长为（　　） A． B． C． D． 5．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，点A是上一定点，点B是上一动点、连接、、、分别将线段、绕点A顺时针旋转到，，连接，，，，下列结论正确的有（　　） ①点在上；②；③；④当时，与相切． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，在中，E是半径上一点，射线，交圆于B，P为上任一点，射线交圆于C，D为射线上一点，且，下列结论：①为的切线；②；③，其中正确的结论有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 二、填空题 7．（2024九年级下·浙江·专题练习）在矩形中，，，点O在对角线上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形只有一个公共点，那么线段的长是 ． 8．（24-25九年级下·浙江·期中）如图，在等腰三角形中，，经过A，B两点的与边切于点A，与边交于点D，为的直径，连结，若，则的度数为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向以个单位/秒的速度平移，使与y轴相切，则平移的时间为 秒．    10．（24-25九年级下·浙江金华·阶段练习）如图，点是外一点，是的切线，点为切点，交于点，点是优弧上一点，若，则的度数为 三、解答题 11．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，，为的直径，点在上，连接，，点在的延长线上，，． (1)求证： (2)求证：与相切； (3)若，，求的长． 12．（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 13．（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，已知中，，与切于点，与、分别交于点、，与的延长线交于点，连接、，延长交于点，已知． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为，求图中阴影部分的面积．(结果保留π) 14．【综合探究】如图所示，四边形为菱形，，点从点向点运动，速度为，运动时间为秒．过点作的垂线交直线于点为的外接圆，交菱形对角线于点，连接． (1)求证：． (2)当为何值时，与相切？ (3)当t为何值时，为等腰三角形？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $