2.2切线长定理讲义 2025-2026学年浙教版数学九年级下册

2.2切线长定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】应用切线长定理证明 3 【题型2】应用切线长定理求解 4 【题型3】应用切线长定理解决周长问题 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2024秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A．5，（90°+∠P） B．7，90°+ C．10，90°-∠P D．10，90°+∠P 2.（2024•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=2，∠P=60°，则AB=（　　） A． B．2 C． D．3 【知识点2】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线                ∴PT的平方=PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线        ∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD． 1.（2024•温州）如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，PA=2，则⊙O的直径AB等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2.（2024•西城区）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=8，那么PA的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D． 【题型1】应用切线长定理证明 【典型例题】既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形 【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 【举一反三2】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法： ①PA＝PB； ②OP⊥AB； ③四边形OAPB有外接圆； ④M是△AOP外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【举一反三3】如图，四边形ABCD三边切⊙O于F、G、H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系为：            ． 【举一反三4】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为　　cm． 【举一反三5】如图，圆O与四边形ABCD四边都相切，试讨论四边形ABCD边与边之间有何关系． 【题型2】应用切线长定理求解 【典型例题】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 【举一反三1】如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（　　） A. B. C. D.1 【举一反三2】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　） A. B. C. D. 【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是　　cm． 【举一反三4】如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB＝5，BC＝7，CD＝8，DE＝9，EA＝4，则的值是　　． 【举一反三5】如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝6，∠APB＝90°．点C是上一动点（C与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM＝x，BN＝y． 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【举一反三6】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径． 【题型3】应用切线长定理解决周长问题 【典型例题】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　 　） A.12 B.13 C.14 D.15 【举一反三1】如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　 ） A.20cm B.15cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【举一反三2】如图所示，⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD＝5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F． （1）△AEF的周长是　   　； （2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连接CD，则五边形DBEFC的面积是　   　． 【举一反三3】如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，AC＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为　    　． 【举一反三4】已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA＝6，求△PCD的周长． （2）若∠P＝50°求∠DOC． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2切线长定理 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】应用切线长定理证明 5 【题型2】应用切线长定理求解 8 【题型3】应用切线长定理解决周长问题 14 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】切线长定理 （1）圆的切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． （2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． （3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． （4）切线长定理包含着一些隐含结论： ①垂直关系三处； ②全等关系三对； ③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到． 1.（2024秋•夏津县校级期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B，CD切⊙O于点E，分别交PA，PB于点C，D．若PA=5，则△PCD的周长和∠COD分别为（　　） A．5，（90°+∠P） B．7，90°+ C．10，90°-∠P D．10，90°+∠P 【答案】C 【分析】根据切线长定理，即可得到PA=PB，ED=AD，CE=BC，从而求得三角形的周长=2PA；连接OA、OE、OB根据切线性质，∠P+∠AOB=180°，再根据CD为切线可知∠COD=∠AOB． 【解答】解：∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA=PB=10，ED=AD，CE=BC， ∴△PCD的周长=PD+DE+PC+CE=2PA，即△PCD的周长=2PA=10； 如图，连接OA、OE、OB． 由切线性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，DB=DE，AC=CE， ∵AO=OE=OB， 易证△AOC≌△EOC（SAS），△EOD≌△BOD（SAS）， ∴∠AOC=∠EOC，∠EOD=∠BOD， ∴∠COD=∠AOB， ∴∠AOB=180°-∠P， ∴∠COD=90°-∠P． 故选：C． 2.（2024•西宁）如图，PA，PB与⊙O分别相切于点A，B，PA=2，∠P=60°，则AB=（　　） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】先判断出PA=PB，进而判断出△PAB是等边三角形，即可得出结论． 【解答】解：∵PA，PB与⊙O分别相切于点A，B， ∴PA=PB， ∵∠APB=60°， ∴△PAB是等边三角形， ∴AB=AP=2． 故选：B． 【知识点2】切割线定理 （1）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 几何语言： ∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线                ∴PT的平方=PA•PB（切割线定理） （2）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 几何语言： ∵PBA，PDC是⊙O的割线        ∴PD•PC=PA•PB（切割线定理推论）（割线定理） 由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD． 1.（2024•温州）如图，PT切⊙O于点T，经过圆心O的割线PAB交⊙O于点A、B，已知PT=4，PA=2，则⊙O的直径AB等于（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据切割线定理得PT2=PA•PB从而可求得PB的长，也就得到了AB的长． 【解答】解：∵PT2=PA•PB，PT=4，PA=2， ∴PB=8， ∴AB=6， 故选：C． 2.（2024•西城区）如图，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，如果PB=2，PC=8，那么PA的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】B 【分析】已知了PB、PC的长，由切割线定理可得PA2=PB•PC，进而可求出PA的长． 【解答】解：∵PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线， ∴PA2=PB•PC=16，即PA=4； 故选：B． 【题型1】应用切线长定理证明 【典型例题】既有外接圆，又有内切圆的平行四边形是（　　） A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.矩形或菱形 【答案】C 【解析】根据矩形、菱形、正方形的性质逐个判断即可． A、矩形只有外接圆，没有内切圆，故本选项不符合题意； B、菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意； C、正方形既有外接圆，也有内切圆，故本选项符合题意； D、矩形只有外接圆，没有内切圆，菱形只有内切圆，没有外接圆，故本选项不符合题意； 故选：C． 【举一反三1】如图所示，PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°，下列说法不正确的是（　　） A.PA＝PB B.∠APO＝20° C.∠OBP＝70° D.∠AOP＝70° 【答案】C 【解析】根据切线长定理得A，B是正确的；再根据切线的性质定理以及直角三角形的两个锐角互余得D是正确的；根据切线的性质定理得C错误． ∵PA，PB是⊙O的切线，且∠APB＝40°， ∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO，∠A＝∠B＝90°， ∴∠OBP＝∠OAP， ∴C是错误的． 故选：C． 【举一反三2】如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M．给出下列四种说法： ①PA＝PB； ②OP⊥AB； ③四边形OAPB有外接圆； ④M是△AOP外接圆的圆心． 其中正确说法的个数是（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】根据切线长定理判定①，根据线段垂直平分线的判定判断②，根据四边形的外接圆判断③，根据三角形的外心判定④. 解：∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴PA＝PB，所以①正确； ∵OA＝OB，PA＝PB， ∴OP垂直平分AB，所以②正确； ∵PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°， ∴点A、B在以OP为直径的圆上， ∴四边形OAPB有外接圆，所以③正确； ∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM， ∴M不一定为△AOP外接圆的圆心，所以④错误． 故选：C． 【举一反三3】如图，四边形ABCD三边切⊙O于F、G、H，说明AB+CD与BC+AD的大小关系为：            ． 【答案】AB+CD＜BC+AD 【解析】根据切线长定理和三角形的三边关系解答即可. 过点A作⊙O的切线，切点为点M，交BC于点E， 由题意得，DG＝DH，CG＝CF，AH＝AM，EM＝EF， 从而可得BC+AD＝BF+AH+CD＝BE+AE+CD， 在△ABE中，BE+AE＞AB， 则BE+AE+CD＞AB+CD． 即AB+CD＜BC+AD． 故答案为：AB+CD＜BC+AD 【举一反三4】直线PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，且∠APB＝120°，⊙O的半径为4cm，则切线长PA为　　cm． 【答案】 【解析】连接OP，由切线长定理易求得∠APO＝60°； 连接OA，在Rt△OAP中，根据⊙O的半径及∠APO的度数即可求得PA的长． 如图，连接OP． ∵PA、PB分别切⊙O于点A、B， ∴∠APO＝∠APB＝60°． 连接OA，则∠OAP＝90°． Rt△OAP中，OA＝4cm，∠APO＝60°， ∴PA＝OA÷tan60°＝． 故答案为：． 【举一反三5】如图，圆O与四边形ABCD四边都相切，试讨论四边形ABCD边与边之间有何关系． 【答案】解：∵圆O与四边形ABCD四边都相切， ∴AG＝AH，DF＝DG，BE＝BH，CE＝CF， ∴AG+DG+CE+BE＝AH+DF+CF+BH， ∴AD+BC＝AB+CD， 即四边形ABCD的对边的和相等． 【题型2】应用切线长定理求解 【典型例题】如图，直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB＝6cm，OC＝8cm，则BE+CG的长等于（　　） A.13 B.12 C.11 D.10 【答案】D 【解析】根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解． ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵CD、BC，AB分别与⊙O相切于G、F、E， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠BCD，BE＝BF，CG＝CF， ∴∠OBC+∠OCB＝90°， ∴∠BOC＝90°， ∴BC＝＝10， ∴BE+CG＝10（cm）． 故选：D． 【举一反三1】如图，在等腰三角形ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（　　） A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】连OM，ON，利用切线长定理知OM，ON分别平分角BMN，角CNM，再利用三角形和四边形的内角和可求得△OBM与△NOC还有一组角相等，由此得到它们相似，通过相似比可解决问题． 连OM，ON，如图， ∵MD，MF与⊙O相切， ∴∠1＝∠2， 同理得∠3＝∠4， 而∠1+∠2+∠3+∠4+∠B+∠C＝360°，AB＝AC ∴∠2+∠3+∠B＝180°； 而∠1+∠MOB+∠B＝180°， ∴∠3＝∠MOB，即有∠4＝∠MOB， ∴△OMB∽△NOC， ∴＝， ∴BM•CN＝BC2， ∴＝． 故选：B． 【举一反三2】如图，PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若△PCD的周长等于3，则PA的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】直接利用切线长定理得出AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB，进而求出PA的长． ∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D， ∴AC＝EC，DE＝DB，PA＝PB ∵△PCD的周长等于3， ∴PA+PB＝3， ∴PA． 故选：A． 【举一反三3】如图，过⊙O外一点A引切线AB、AC，B、C为切点，若∠BAC＝60°，BC＝8cm，则⊙O的直径是　　cm． 【答案】 【解析】连接OB、OA，设OA与BC相交于点D．首先由切线长定理求得∠BAO的度数，即可得出∠BOA的度数；进而可在Rt△OBD中，根据BD的长以及∠BOA的度数，求出OB的长，即可求得⊙O的直径． 如图，连接OB、OA，则∠OBA＝90°． ∵AB、AC分别切⊙O于B、C， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAO＝∠BAC＝30°． ∴OA垂直平分BC． 在Rt△OBD中，BD＝BC＝4cm，∠BOD＝60°， ∴OB＝BD÷sin60°＝． 故⊙O的直径是cm． 故答案为： 【举一反三4】如图，已知圆O内切于五边形ABCDE，切点分别是M、N、P、Q、R，且AB＝5，BC＝7，CD＝8，DE＝9，EA＝4，则的值是　　． 【答案】 【解析】先设AM＝x，BM＝y，根据圆O内切于五边形ABCDE得出AM＝AR，BM＝BN，CN＝CP，DP＝DQ，EQ＝ER，AR＝AM，再根据AB＝5，BC＝7，CD＝8，DE＝9，EA＝4分别表示出AM、BM、AR的长，再根据AB＝5，AM＝AR列出方程组，即可求出AM、MB的长． 设AM＝x，BM＝y， ∵圆O内切于五边形ABCDE， ∴AM＝AR，BM＝BN，CN＝CP，DP＝DQ，EQ＝ER，AR＝AM， ∴BN＝y， ∵AB＝5， ∴x+y＝5， ∵BC＝7， ∴CN＝CP＝7﹣y， ∵CD＝8，∴DQ＝DP＝y+1， ∵DE＝9， ∴EQ＝ER＝8﹣y， ∵EA＝4， ∴AR＝AM＝y﹣4， ∴y﹣4＝x， ∴， 解得：， ∴AM＝，MB＝， ∴＝＝； 故答案为： 【举一反三5】如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，PA＝6，∠APB＝90°．点C是上一动点（C与点A、B不重合），过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点M、N，设AM＝x，BN＝y． 求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围． 【答案】解：∵MA＝MC＝x，BN＝CN＝y，则MN＝x+y． ∴MP＝6﹣x，NP＝6﹣y． 在直角△MNP中，根据勾股定理可得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2． 即72﹣12x﹣12y＝2xy ∴y＝ 即y＝，（0＜x＜6） 【举一反三6】如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，切点分别为点A、B、E，若△PCD的周长为18cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径． 【答案】解：连接OA，OP，则OA⊥PA， 根据题意可得：CA＝CE，DE＝DB，PA＝PB， ∵PC+CE＝DE+PD＝18， ∴PC+CA+DB+PD＝18， ∴PA＝×18＝9（cm）， ∵PA、PB是⊙O的切线， ∴∠APO＝∠APB＝30°， 在Rt△AOP中，PO＝2AO，AO＞0， 故OA2+92＝（2AO）2， 解得：OA＝3， 故⊙O的半径为：3cm． 【题型3】应用切线长定理解决周长问题 【典型例题】以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O，过点C作直线切半圆于点F，交AB边于点E，若△CDE的周长为12，则直角梯形ABCE周长为（　 　） A.12 B.13 C.14 D.15 【答案】C 【解析】根据切线长定理知：AE＝EF，BC＝CF；根据△CDE的周长可求出正方形ABCD的边长；在Rt△CDE中，利用勾股定理可将AE的长求出，进而可求出直角梯形ABCE的周长． 设AE的长为x，正方形ABCD的边长为a， ∵CE与半圆O相切于点F， ∴AE＝EF，BC＝CF， ∵EF+FC+CD+ED＝12， ∴AE+ED+CD+BC＝12， ∵AD＝CD＝BC＝AB， ∴正方形ABCD的边长为4； 在Rt△CDE中，ED2+CD2＝CE2，即（4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得：x＝1， ∵AE+EF+FC+BC+AB＝14， ∴直角梯形ABCE周长为14． 故选：C． 【举一反三1】如图，△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，已知AD＝10cm，小明准备用剪刀沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下一块三角形（△AMN），则剪下的△AMN的周长为（　 ） A.20cm B.15cm C.10cm D.随直线MN的变化而变化 【答案】A 【解析】利用切线长定理得出DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE，进而得出答案． ∵△ABC是一张三角形的纸片，⊙O是它的内切圆，点D是其中的一个切点，AD＝10cm， ∴设E、F分别是⊙O的切点， 故DM＝MF，FN＝EN，AD＝AE， ∴AM+AN+MN＝AD+AE＝10+10＝20（cm）． 故选：A． 【举一反三2】如图所示，⊙D的半径为3，A是圆D外一点且AD＝5，AB，AC分别与⊙D相切于点B，C．G是劣弧BC上任意一点，过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F． （1）△AEF的周长是　   　； （2）当G为线段AD与⊙D的交点时，连接CD，则五边形DBEFC的面积是　   　． 【答案】（1）8；（2）9 【解析】（1）根据切线长定理就可证明BE＝EG，FG＝FC，则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF＝AB+AC，据此即可求解； （2）当G为线段AD与⊙D的交点时，EF于AD垂直，根据△AEG∽△ADB求得EF的长，根据S五边形DBEFC＝S四边形ABDC﹣S△AEF求解． （1）如图1所示：连接ED，DG，FD，CD， ∵AB，AC分别与⊙D相切于点B，C， ∴AB＝AC，∠ABD＝∠ACD＝90°， ∵⊙D 的半径为3，A是圆D外一点且AD＝5， ∴AB＝＝4， ∵过G作⊙D的切线，交AB于点E，交AC于点F， ∴BE＝EG，FG＝FC， 则△AEF的周长是：AE+EG+FG+AF＝AB+AC＝8． 故答案为：8； （2）如图2，AG＝AD﹣DG＝5﹣3＝2． ∵在△AEG和△ADB中，∠ABD＝∠AGD＝90°，∠BAD＝∠EAG， ∴△AEG∽△ADB， ∴＝，即＝， ∴EG＝， ∴EF＝2EG＝3， ∴S△AEF＝EF•AG＝×3×2＝3． 又∵S四边形ABDC＝2S△ABD＝AB•BD＝3×4＝12， ∴S五边形DBEFC＝12﹣3＝9． 故答案为：9． 【举一反三3】如图，⊙I为△ABC的内切圆，AB＝9，BC＝8，AC＝10，点D、E分别为AB、AC上的点，且DE为⊙I的切线，则△ADE的周长为　    　． 【答案】11 【解析】根据切线长定理，可将△ADE的周长转化为AB+AC﹣BC的长，由此得解． 如图； 设DE、BD、BC、CE与⊙I的切点分别为F、G、H、M，由切线长定理知： BH＝BG、CH＝CM、EM＝EF、FD＝DG、AM＝AG； 则AG+AM＝AB+AC﹣BC＝11； 所以△ADE的周长＝AD+DE+AE＝AD+DG+EM+AE＝AG+AM＝11． 【举一反三4】已知PA、PB分别切⊙O于A、B，E为劣弧AB上一点，过E点的切线交PA于C、交PB于D． （1）若PA＝6，求△PCD的周长． （2）若∠P＝50°求∠DOC． 【答案】解：（1）连接OE， ∵PA、PB与圆O相切， ∴PA＝PB＝6， 同理可得：AC＝CE，BD＝DE， △PCD的周长＝PC+PD+CD＝PC+PD+CE+DE＝PA+PB＝12； （2）∵PA PB与圆O相切， ∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠P＝50°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， 在Rt△AOC和Rt△EOC中， ， ∴Rt△AOC≌Rt△EOC（HL）， ∴∠AOC＝∠COE， 同理：∠DOE＝∠BOD， ∴∠COD＝∠AOB＝65°． 学科网（北京）股份有限公司 $