专项训练卷(3)推理能力与模型观念-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(青岛版·新教材)

优密卷八年缓上册数学·Q 5,推理能方已知a,b为实数且满足a≠一1，b≠一1，设M= 专项训练卷（三） a+6+7w=,1 b 1 推理能力与模型观念 +1十b+1 4 ①若ab=1时，M=N:②若ab>1时，M>N:③若ab<1 第8题图 第9题图 第10题图 时，M<N;④若a+b=0,则MN≤0. 一、选择题 10.推理能力如图所示，在△ABC中，AB=AC,∠B=40°，D 则上述四个结论正确的有() 1.推理能力尺规作图：如图①所示，在△ABC中，∠C=45 为线段BC上一动点（不与点B,C重合），连接AD,作 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 AC>AB,在AC边上求作一点P,使∠PBC=45°.如图 ∠ADE=40°，DE交线段AC于点E,以下四个结论： 6.推理能力阅读，正如一束阳光.孩子们无论在哪儿，都可以 ②所示是三名同学的作法，其中正确的有( ①∠CDE=∠BAD:②@当D为BC的中点时，DE⊥AC: 感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广鲴的世界.某 ③当△ADE为等腰三角形时，∠BAD=20°；④当 区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活 ∠BAD=30时，BD=CE.其中正确的结论有() 动.甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 地同时出发，参加分享活动.甲同学的速度是乙同学的速度 二、填空题 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点.若设 11.◆推理能力如图所示，在△ABC中，∠A=96°，延长BC到D, 侧 ∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1,∠A,BC与∠ACD 2.模型观念近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争 乙同学的速度是x米/分，则下列方程正确的是( 的平分线相交于点A2,以此类推，∠A,BC与∠A,CD的平分 取的重要项目，如图所示，A,B,C三地都想将高铁站的修 x1.2x A.800-400 =4 线相交于点A,则∠A,的度数为 建项目落户在当地，但是，国资委为了使A,B,C三地的民 12.推理能力如图所示，在△ABC中，AB=AC,AD是BC 封 众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A,B， 400800 800400 C.1.2x =4 C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在( x D.1.2z =4 边上的高，点E,F是AD的三等分点，若△ABC的面积为 120cm2,则图中阴影部分的面积为 A.AB,BC两边垂直平分线的交点处 4 0 7.厂模型观念若关于x的方程工 B.AB,BC两边高线的交点处 z-2 x- +1无解，则a的值 CAB,BC两边中线的交点处 为( A.1 B.2 C.1或2 D.0或2 D.∠B,∠C两内角的平分线的交点处 3.我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知 8.模型观念一副直角三角板如图所示摆放，点F在CB的延 线 第11题图 第12题图 第13题图 识.如图所示是油纸伞的张开示意图，AE=AF,GE=GF,则 长线上，∠C=∠DFE=90°，若DE∥CF,则∠BEF的度数 13.推理能力如图所示，AB=AC,AD=AE,∠BAC= △AEG≌△AFG的依据是( 为() ∠DAE,∠1=15°，∠2=25°，则∠3= A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS A.10 B.15 C.20 D.25 14.推理能力如图所示，已知AB=A1B,A,B1=A1A:, 9.推理能力如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC,以点A A:B:=A,A,若∠A=70°，则∠A.-1A.B.-1的度数 为圆心，以任意长为半径画弧交射线AB,AC于两点，分别 以这两点为圆心，以适当的定长为半径画弧，两弧交于点E, 作射线AE交BD于点I,连接CI,以下说法不正确的 第3题图 第4题图 是() 4.模型观念如图所示，在△ABC中，AD是△ABC的角平分 A.CI平分∠ACB 第14题图 第15题图 线，点E,F分别是AD,AB上的动点，若∠BAC=50°，当 B.S△IB:S△Ae=AB:AC 15.推理能力如图所示，将正方形OABC放在平面直角坐标 BE十EF的值最小时，∠AEB的度数为() C.∠DIA+∠ICA=909 系中，O为坐标原点，点A的坐标为(3,4)，则点B的坐标 A.105 B.115 C.120 D.130 D.点I到A,B,C三点的距离相等 为 -35 16.●模型观念在一个三角形中，如果一个角 19.(石家庄模拟)小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的21.模型观念定义：若分式M与分式N的差等于它们的积， 是另一个角的3倍，这样的三角形我们称 数学知识，设计了如图①所示的测量方案：先在池塘外的 即M一N=MN,则称分式N是分式M的“互联分式”.如 之为“灵动三角形”，例如，三个内角分别 空地上任取一点O,连接AO,CO,并分别延长至点B,点 1 为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”.如图所示 D,使OB=OA,OD=OC,连接BD 与中2因为动 +1x+2(x+1)(x+2万'x+× ∠MON=60°，在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥ OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于 2++习所以中是中的互联分式 1 1 点C(规定0°<∠OAC<60).当△ABC为“灵动三角形” 1)判断分式，5是否是分式子2的互联分式”，请说明 时，则∠OAC的度数为： 理由 三、解答题 用图 17.推理能力将两个大小不同的含45°角的直角三角板按如 (1)如图①所示，求证：AC=BD ②小红在求分式的“互联分式时，用了以下方法 图①所示放置，从中抽象出一个几何图形（如图②所示）， (2)如图②所示，但在实际测量中，受地形条件的影响，于 1 B,C,E三点在同一条直线上，连接DC与AE交于点F 是小亮采取以下措施：延长CO至点D,使OC=OD,过点 设十的互联分式”为N2中一N=+XN. 求证：DC⊥BE. D作AC的平行线DE,延长AO至点F,连接EF,测得 1 1 1)N- 2十y ∠DEF=120°，∠OFE=90°，DE=5m,EF=9m,请求出 池塘宽度AC. ∴N=2+y2+T 请你仿照小红的方法求分式考的~互联分式 (3)解决问题：仔细观察第(1)(2)小题的规律，请直接写出 18.模型现念某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一 密 实致a6的值，使号是十号的互联分式 段下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿 原路线返回起点（起点即终点），假定某运动员A在平路上 骑行的速度始终是25千米/时，下坡的骑行速度始终是 30千米/时，上坡的骑行速度始终是20千米/时，已知该运 20.推理能力如图所示，在△AOB和△COD中，OA=OB 动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时 OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°，连接AC,BD 51分钟. 交于点M,AC与OB交于点E,连接OM. (1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分 求证：(1)∠AMB=36 别是多少千米。 (2)MO平分∠AMD. (2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的 2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用 10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/时. 36答：购买光学器材的单价为100元，购买电学器材 ∴.△ABD≌△ECD(SAS). 的单价为140元. (2),在△ABC中，点D是边BC的中点， 专项训练卷（三）推理能力与模型观念 (2)设电学器材订购数量为y套，则光学器材的 SAARSAAC 1.B2.A3.A4.B5.B6.D7.C8.B 订购数量为(10一y)套：由题意， :△ABD2△ECD 9.D10.C ∴SAo=SAD: 得：0（10=y)十140y≤1240，解得，3≤)S6 5△A阳=5， 1.g12.60em1B4014 15.(-1,7) y为正整数， 第二步：作∠A■∠a,如图所示 .S△cm=SAD+S△D■5十5=10， 16.30°或52.5 y=3,4,5,6, 即△ACE的面积为10. 17.证明：由题意得，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∴共有4种方案： 2L.解：(1)证明：∠ACB=∠DCE=a, ∠EAD=90°，∴.∠ABC=∠ACB=45°， 方案一：电学器材订购3套，光学器材订购？套， ∠ACD-∠BCE. ∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE, 总费用为：3×140+7×100=1120（元）： 第三步：以点A为圆心，以长度为2a的线段为 CA-CB, ∴∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中， 方案二：电学器材订购4套，光学器材订购6套 半径画弧，交∠A的两边于B,C两点，如图所示， 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE AB=AC, 总费用为：4×140+6×100=1160（元）： △ABC即为所求 CD=CE, ∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌△ACD(SAS), 方案三：电学器材订购5套，光学器材订购5套， △ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD. AE=AD. 总费用为：5×140+5×100=1200（元）： (2)△CPQ为等楼直角三角形 ∴.∠B=∠ACD=45,∴.∠BCD=∠ACB+ 方案四：电学器材订购6套，光学器材订购4套， 证明：由(1)，得BE=AD, ∠ACD=45°+45°=90°，∴.DC⊥BE 总费用为：6×140+4×100=1240（元）： 18.解：(1)A(一3,3)，B(一3,4) AD,BE的中点分别为点P,Q,∴.AP=BQ 18,解：(I)设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的 最低总费用为1120元： :△ACD≌△BCE,∴.∠CAP=∠CBQ 平路路程分别是工千米，y千米，根据题意，得 答：有4种方案，最低总费用为1120元. AB=4-（-3)-7,SaAo-2 ×7×3 CA-CB, 23,解：(1)设购买一个A品牌的足球需x元，则购买 10.5. 在△ACP和△BCQ中，∠CAP=∠CBQ, 解得一5：答：比赛的下坡路程、 y=15, 一个B品牌的足球需(x十30)元，由题意，得 (2)(一3，-n) AP=BQ 2500-2×200 F+30,解得，x-50, (3),△OPA的面积是△OPQ面积的2倍，点O .△ACP≌△BCQ(SAS), 下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米， 到直线AB的距离都是3，.AP=2PQ,此时点 .CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ 15千米. 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意 P的坐标为（一3，n),则点Q的坐标为（一3， 又：∠ACP+∠PCB=90°， (2)设运动员B骑行时的上坡速度是4千米/时， x十30=80， ),当点P在x轴的下方时，则有一（一3）= ∠BCQ+∠PCB=90°， 则运动员B骑行时的下坡速度是2a千米/时，根 答：购买一个A品牌的足球需50元，购买一个B 2(-一n),解得n=一则点P的坐标为 3 .∠PCQ=90°， 品牌的足球需80元 ,△CPQ为等腰直角三角形. 影题意，利二-是-品解得a=16经检酸 (2)第一次购买B品牌足球2000=25个，购买A 80 (-3,-):当点P在x轴的上方时，则有n- 22.解：(1)证明：CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN= 15是原方程的根，且符合题意，.运动员B骑行 90°，∴.∠BDA=∠AFC=90°，.∠ABD+ 时的上坡速度是15千米/时. 品牌足球0 =50个， (一3)=2[n一（一）门，解得n=1,则点P的坐标 19.解：(1)证明：在△OAC和△OBD中， ∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°， OA-OB. 第一次购买足球总费用为：2500十2000=4500 为(-31D.综上所述，点P的坐标为(-3，-) ·∠ABD=∠CAF,在△ABD和△CAF中 ∠AOC=∠BOD (元)， 或(-3,1) ∠ADB=∠CFA, OC-OD, 第二次购买总费用为：50(1十8%)×50十80×0. 19.解：(1)证明：，CD平分∠ACB,,∠DCB= ∠ABD=∠CAF,∴.△ABD≌△CAF(AAS) ∴.△OAC2△OBD(SAS).∴.AC=BD. 9×25-4500(元)， ∠1.又∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,∴DF∥BC. AB-CA, (2)如图所示，延长DE,AF交于点B, 答：第二次购买费用与第一次相同。 (2):DF∥BC,∠DFE=36°，，∠B=∠DFE= (2)FC+EF=BE.理由如下，，∠1=∠2 36°.在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°， ∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC= 专项训练卷（二）空间观念与几何直观 .∠ACB=180°-40°-36°=104° ∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF, 1.B2.A3.D4.D5.D6.A7.D8.A 又：CD平分∠ACB,∠I-名∠ACB=52, ∴，∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.在△ABE 9.B10.D ∠ABE=∠CAF, 11.50°12.8513.(1,4)14.50°或65或80 .∠2=180°-40°-52°=88. 和△CAF中，AB=AC, DE∥AC,∴.∠C=∠D 15.AD=BD(答案不唯一)16.270 20.解：(1)证明：，点D是边BC的中点，.BD= ∠BAE=∠ACF, 在△OAC和△OBD中， 17,解：第一步：作出线段4的垂直平分线，得到长度 BD=CD, .△ABE≌△CAF(ASA), ∠C=∠D. CD.在△ABD和△ECD中，∠ADB=∠EDC, .BE=AF,AE=CF, OC=OD, 为2a的线段FM,如图所示， AD=ED. .CF+EF=AE十EF=AF=BE. ∠AOC=∠BOD, .△OAC≌△OBD(ASA),∴.AC=BD 44-2=4b+2, ,∠DEF■120°，∠OFE=90°， (3)根据题意，得b十b-br十e+0+2, 3.解：(1)53 大正方形的面积=(a十b十c), (2)如图①所示，延长DE,交AB于点M, 大正方形的面积=a+b3+e2+2ab+2bc+2ac, ∴∠BFE=90°，∠BEF=60°，∠B=30° 1 a=- .(a+b+c)'=a*+b*+c*+2ab+2bc+2ac. ,EF=9m,∴，BE=2EF=18m 解得 3 DE-5 m,.'.BD-BE+DE-23 m 3 六a=4b= 41 = 4” ∴.AC=23m. 答：池塘宽度AC为23m. 专项训练卷（四）数学文化、 则∠DEB=∠EMB+∠EBM,:CF∥AK,BG平 20.证明：(1)：∠AOB=∠COD=36°，∴.∠AOB+ 跨学科与阅读理解 分∠ABE,∴.∠EMB=18O°-∠MDF,∠EBM ∠BOC=∠COD+∠BOC,即∠AOC=∠BOD. 1.解：(1)∠2=∠3∠EFG=∠FGH内错角相 2∠ABG=2∠HBN,∠MDH=∠HDF=∠HNK= OAOB. 等，两直线平行 ∠MDF.∠HBN+∠DHB=∠HNK, 5.解：(1)一元一次方程3一2(1一x)■4x与分式方 在△AOC和△BOD中，∠AOC=∠BOD. (2)EF//GH, OC=OD, ∴，∠EFG+∠FGH=180, .∠DEB=(180°-∠MDF)+2∠HBN=180° 2-1一4一不是“相似方程”，理由如下： .△AOC≌△BOD(SAS),∴.∠OAC-∠OBD .∠1+∠2十∠EFG+∠3+∠4+∠FGH= :∠AEB是△AOE和△BME的外角， 180°+180°=360°， ∠MDF+2X(合∠MDF-∠DHB）-180- 解一元一次方程3一21一x)=4x,得x=2 ∴.∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC ∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∠MDF+∠MDF-2∠DHB=180°-2∠DHB. .∠AMB=∠AOB=36 :∠1=∠2，∠3-∠4， ∠DEB-∠DHB=60°，∴.∠DEB=180° 解分式方程告1得一 (2)如图所示，过点O作OG⊥AC于点G,OH1 .2(∠2+∠3)=180°， 2(∠DEB-60),.3∠DEB=300°，解得 BD于点H 检验：当x=2时，(2x+1)(2x-1)=0, ∠2+∠3=90°. ∠DEB=100. :∠ABC+∠2+∠3=180°， (3)如图②所示，过点E作EQ∥DN, 原分式方程无解， .∠ABC=180°-∠2-∠3=180°-90°=90° C D O F .一元一次方程3一2(1一x)=4:x与分式方程 即a=90°. 2x+1 则∠OGC=∠OHD=90°.：△AOC2△BOD (3):∠1=∠2，∠3=∠4，∠2+∠3=180°-, 2云一1=一不是“相似方程 ∴∠OCA=∠ODB. (2)由题意知，两个方程有相同的整数解， ∠1+∠4=180°-a. ∠OCA=∠ODB, :∠I+∠2+∠EFG+∠3+∠4+∠FGH 根据(1)，得∠DEB=∠CDE+∠ABE, 即mx十6=x+4m, 在△OCG和△ODH中， ∠OGC=∠OHD, 180+180°=360°， ,BM平分∠EBK,DN平分∠CDE, 2 OC-OD, 、x-m一6=〔二1）二2=4-mT .∠DEB=2∠NDE+180°-2∠EBM. m一1 m一1 .△OCG≌△ODH(AAS),∴.OG=OH, ∴.∠EFG+∠FGH=2a ,∠EFG+∠FGH+∠FOG=180°， ,∠DEB=100°，∴.∠EBM-∠NDE=40. :x为整数，m一1=1或2或一1或一2， ∴.MO平分∠AMD .m=2或3或0或一1 ∴.∠F0G=180°-2a. EQ∥DN,.∠DEQ=∠NDE, 3 21.解：(1) 是十2的“互联分式”，理由如下， 2.解：(1)证明：，OB⊥OC .∠EBM=40"+∠DEQ. 又，m取正整数，m=2或3。 3 、3 3(x+5)-3(x+2) ∴.∠BOD+∠COE=90. ,EQDN,DNBP,EQ∥BP, +2 6解：(1y=10或y=3号 x+5 (x+2)(x+5) BD⊥OA, .∠EBM+∠PBM+∠BEQ=18O°， 3 3 9 ∴，∠ODB=90° ,.40°+∠DEQ+∠PBM+∠BEQ=180°， (225 (x+2)(x+5)'z+2‘x+5-(x+2)(x+5 ∠BOD+∠B=90°， ∴.40°+∠DEB+∠PBM=180°， (3)根据“对称方程”可设2xr十1=y,则x= 小22×…6是2的 3 3 ∠COE=∠B. ∴.∠PBM=180°-100°-40°=40°， ∠PBM的度数不变，为40°. “互联分式” (2):BD⊥OA,CE⊥OA, 2y-1). (2)设考的互联分式”为N, ∴.∠CEO=∠ODB=90°. 4.解：1)证明：梯形ABDE的面积-2×？cb+ 1a-a十1 x+5 -N= 由题意，得0C=OB=OA=17cm, 则原方程化为之y一D+安2中 N 由(1)，得∠COE=∠B, 理得y+-a++1-。+ a a I∠CEO=∠ODB +N-号 梯形ABDE的面积=a+b)X(a+b) x+5 在△COE和△OBD中，∠COE=∠B, 2 y+ =a+I OC=0B. N=号，即分式的互联分式 .△COE2△OBD(AAS), i2Xjub+je-atb)x(atb) 2 六y=a或y= 为 ..OE =BD=8 cm, 化简可得：a+b=c2: .AE=OA-OE=17-8=9(cm). (2)如图所示： 2红十1-a或2红十1-子，解得-会或