专项训练卷(2)空间观念与几何直观-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(青岛版·新教材)

答：购买光学器材的单价为100元，购买电学器材 ∴.△ABD≌△ECD(SAS). 的单价为140元. (2),在△ABC中，点D是边BC的中点， 专项训练卷（三）推理能力与模型观念 (2)设电学器材订购数量为y套，则光学器材的 SAARSAAC 1.B2.A3.A4.B5.B6.D7.C8.B 订购数量为(10一y)套：由题意， :△ABD2△ECD 9.D10.C ∴SAo=SAD: 得：0（10=y)十140y≤1240，解得，3≤)S6 5△A阳=5， 1.g12.60em1B4014 15.(-1,7) y为正整数， 第二步：作∠A■∠a,如图所示 .S△cm=SAD+S△D■5十5=10， 16.30°或52.5 y=3,4,5,6, 即△ACE的面积为10. 17.证明：由题意得，AB=AC,AD=AE,∠BAC= ∴共有4种方案： 2L.解：(1)证明：∠ACB=∠DCE=a, ∠EAD=90°，∴.∠ABC=∠ACB=45°， 方案一：电学器材订购3套，光学器材订购？套， ∠ACD-∠BCE. ∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE, 总费用为：3×140+7×100=1120（元）： 第三步：以点A为圆心，以长度为2a的线段为 CA-CB, ∴∠BAE=∠CAD.在△ABE和△ACD中， 方案二：电学器材订购4套，光学器材订购6套 半径画弧，交∠A的两边于B,C两点，如图所示， 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE AB=AC, 总费用为：4×140+6×100=1160（元）： △ABC即为所求 CD=CE, ∠BAE=∠CAD,∴.△ABE≌△ACD(SAS), 方案三：电学器材订购5套，光学器材订购5套， △ACD≌△BCE(SAS),.BE=AD. AE=AD. 总费用为：5×140+5×100=1200（元）： (2)△CPQ为等楼直角三角形 ∴.∠B=∠ACD=45,∴.∠BCD=∠ACB+ 方案四：电学器材订购6套，光学器材订购4套， 证明：由(1)，得BE=AD, ∠ACD=45°+45°=90°，∴.DC⊥BE 总费用为：6×140+4×100=1240（元）： 18.解：(1)A(一3,3)，B(一3,4) AD,BE的中点分别为点P,Q,∴.AP=BQ 18,解：(I)设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的 最低总费用为1120元： :△ACD≌△BCE,∴.∠CAP=∠CBQ 平路路程分别是工千米，y千米，根据题意，得 答：有4种方案，最低总费用为1120元. AB=4-（-3)-7,SaAo-2 ×7×3 CA-CB, 23,解：(1)设购买一个A品牌的足球需x元，则购买 10.5. 在△ACP和△BCQ中，∠CAP=∠CBQ, 解得一5：答：比赛的下坡路程、 y=15, 一个B品牌的足球需(x十30)元，由题意，得 (2)(一3，-n) AP=BQ 2500-2×200 F+30,解得，x-50, (3),△OPA的面积是△OPQ面积的2倍，点O .△ACP≌△BCQ(SAS), 下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米， 到直线AB的距离都是3，.AP=2PQ,此时点 .CP=CQ,且∠ACP=∠BCQ 15千米. 经检验，x=50是原方程的解，且符合题意 P的坐标为（一3，n),则点Q的坐标为（一3， 又：∠ACP+∠PCB=90°， (2)设运动员B骑行时的上坡速度是4千米/时， x十30=80， ),当点P在x轴的下方时，则有一（一3）= ∠BCQ+∠PCB=90°， 则运动员B骑行时的下坡速度是2a千米/时，根 答：购买一个A品牌的足球需50元，购买一个B 2(-一n),解得n=一则点P的坐标为 3 .∠PCQ=90°， 品牌的足球需80元 ,△CPQ为等腰直角三角形. 影题意，利二-是-品解得a=16经检酸 (2)第一次购买B品牌足球2000=25个，购买A 80 (-3,-):当点P在x轴的上方时，则有n- 22.解：(1)证明：CF⊥AE,BD⊥AE,∠MAN= 15是原方程的根，且符合题意，.运动员B骑行 90°，∴.∠BDA=∠AFC=90°，.∠ABD+ 时的上坡速度是15千米/时. 品牌足球0 =50个， (一3)=2[n一（一）门，解得n=1,则点P的坐标 19.解：(1)证明：在△OAC和△OBD中， ∠BAD=90°，∠BAD+∠CAF=90°， OA-OB. 第一次购买足球总费用为：2500十2000=4500 为(-31D.综上所述，点P的坐标为(-3，-) ·∠ABD=∠CAF,在△ABD和△CAF中 ∠AOC=∠BOD (元)， 或(-3,1) ∠ADB=∠CFA, OC-OD, 第二次购买总费用为：50(1十8%)×50十80×0. 19.解：(1)证明：，CD平分∠ACB,,∠DCB= ∠ABD=∠CAF,∴.△ABD≌△CAF(AAS) ∴.△OAC2△OBD(SAS).∴.AC=BD. 9×25-4500(元)， ∠1.又∠1=∠D,∴∠DCB=∠D,∴DF∥BC. AB-CA, (2)如图所示，延长DE,AF交于点B, 答：第二次购买费用与第一次相同。 (2):DF∥BC,∠DFE=36°，，∠B=∠DFE= (2)FC+EF=BE.理由如下，，∠1=∠2 36°.在△ABC中，∠A=40°，∠B=36°， ∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC= 专项训练卷（二）空间观念与几何直观 .∠ACB=180°-40°-36°=104° ∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF, 1.B2.A3.D4.D5.D6.A7.D8.A 又：CD平分∠ACB,∠I-名∠ACB=52, ∴，∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.在△ABE 9.B10.D ∠ABE=∠CAF, 11.50°12.8513.(1,4)14.50°或65或80 .∠2=180°-40°-52°=88. 和△CAF中，AB=AC, DE∥AC,∴.∠C=∠D 15.AD=BD(答案不唯一)16.270 20.解：(1)证明：，点D是边BC的中点，.BD= ∠BAE=∠ACF, 在△OAC和△OBD中， 17,解：第一步：作出线段4的垂直平分线，得到长度 BD=CD, .△ABE≌△CAF(ASA), ∠C=∠D. CD.在△ABD和△ECD中，∠ADB=∠EDC, .BE=AF,AE=CF, OC=OD, 为2a的线段FM,如图所示， AD=ED. .CF+EF=AE十EF=AF=BE. ∠AOC=∠BOD,。优密卷八年缓上册数学·Q 6.小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个|10.在探究证明“三角形的内角和是180”时，综合实践小组的 专项训练卷（二） 角的平分线.如图所示，一把直尺压住射线OB,另一把直尺 同学作了如图所示四种辅助线，其中无法证明“三角形内 空间观念与几何直观 压住射线OA并且与第一把直尺交于点P,小明说：“射线 角和是180”的是( OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( 一、选择题 A.在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上 1.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平 B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等 衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的 C.三角形的三条高交于一点 设计上，使对称之美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽图 D.三角形三边的垂直平分线交于一点 A.如图①所示，过点C作EF∥AB 案是轴对称图形的是( B.如图②所示，过AB上一点D作DE∥BC,DF∥AC C.如图③所示，延长AC到点F,过点C作CE∥AB D.如图④所示，过点C作CD⊥AB于点D 二、填空题 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB于点E,CD 11.如图所示，直线a仍，直线1与a,b分别相交于A,B两点， DE,∠CBD=28°，则∠A的度数为() AC⊥AB交b于点C.若∠1=40°，则∠2 第6题图 第7题图 A.34° B.36 C.38 D.40 7.如图所示，在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°，点P 为直线CB上一动点，并沿直线CB从右向左移动.若点P 与△ABC三个顶点中的至少两个顶点构成等腰三角形时， 第2题图 第3题图 则将点P在直线CB上进行标记，那么满足条件的点P的2.如图所示，在△ABC中，∠B=30,∠C=50°，通过观察尺 0 3.如图所示，用纸板挡住了三角形的一部分，小明根据所学知 位置有( 规作图的痕迹，∠DEA的度数是 识很快就重新画出了一个与原来完全一样的三角形，他的 A.4个 B.5个 依据是( C.6个 D.8个 A.SSS B.SAS C.AAS D.ASA 8.问题背景：在△ABC中，AB=AC,如果过某一顶点的直线 线4.如图所示，AB,CD相交于点E,且AB=CD,试添加一个条 13.如图所示，在△ABC中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为 可以将△ABC分割成两个等腰三角形，求∠A的大小，某 件使得△ADE≌△CBE.现给出如下五个条件：①∠A (4,1),点C的坐标为(3,4)，点D在第一象限（不与点C重 数学学习小组的成员在自主探究后得出如下结果：①∠A= ∠C;②∠B=∠D:③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB, 合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 其中符合要求的有() 36,@∠A=90,③∠A=108,④∠A=180 你认为其中 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 正确的结果有( A4个 B.3个 C.2个 D.1个 9.下列说法不正确的是( 14.如图所示，已知点P是射线ON上一动点，∠AON=50°，若 第4题图 第5题图 A.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合 孙 △AOP为等腰三角形，则∠A= 5.三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1+∠2+∠3 B.全等的两个三角形一定关于某直线对称 的度数是() C.轴对称图形的对称轴至少有一条 A.90 B.120° C.1359 D.180 D.线段是轴对称图形 -33 15.如图所示，在△ABC中，AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为「19.如图所示，在△ABC中，CD平分∠ACB,CD交边AB于21.如图①所示，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a, 点D、E,AD与BE交于点F,要使△BDF≌△ADC,还需 点E,在边AE上取点F,连接DF,使∠1=∠D (1)求证：BE=AD. 添加一个条件，这个条件可以是 (只需填写 (1)求证：DF∥BC (2)当a=90°时，取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接 个). (2)当∠A=40°，∠DFE=36°时，求∠2的度数 CP,CQ,PQ,如图②所示，判断△CPQ的形状，并加以 证明. 第15题图 第16题图 16.空间观念生活中常见一种折叠拦道闸，如图①所示.若想 求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图形，如 图②所示，BA垂直于地面AE于点A,CD平行于地面 AE,则∠ABC+∠BCD= 三、解答题 17,如图所示，已知线段a和∠a,求作△ABC,使AB=AC= 2a,∠A=∠a.(使用直尺和圆规，不写画法，保留作图 22.(1)如图①所示，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点 痕迹) B,C分别在∠MAN的边AM,AN上，且AB=AC,CF⊥AE 20.如图所示，在△ABC中，点D是边BC的中点，连接AD 于点F,BD⊥AE于点D,求证：△ABD2△CAF. 并延长到点E,使DE=AD,连接CE. (2)迁移应用：如图②所示，点B,C分别在∠MAN的边 (1)求证：△ABD≌△ECD. AM,AN上，点E,F在∠MAN内部的射线AD上，∠1， (2)若△ABD的面积为5，求△ACE的面积 ∠2分别是△ABE,△CAF的外角，已知AB=AC,∠1= 18.如图所示，在平面直角坐标系内，已知点A的坐标为 ∠2=∠BAC,猜想BE,FC与EF的数量关系，并说明 (一3，一3)，点B的坐标为（一3,4），点P为直线AB上任 理由 意一点（不与A,B重合），点Q是点P关于x轴的对 称点 (1)连接OA,OB,请求出△ABO的面积. (2)若点P的纵坐标为n,则点Q的坐标为 (3)若△OPA的面积是△OPQ的面积的2倍时，请求出此 时点P的坐标 34