专项训练卷(2)模型观念、推理能力与跨学科-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(沪科版·新教材)

。优密卷八年级上册数学·☐ 678 M3283092) 专项训练卷（二） 模型观念、推理能力与跨学科 68 一、选择题（每小题都出A,B,C,D四个选项，其中只有一个 第5题图 第6题图 广164203032N/m 是符合题目要求的) 6.中国象棋历史悠久，战国时期就有关于它的正式记载，观察 A.青海湖水深16.4m处的压强为188.6cmHg 1.某物体在力F的作用下，沿力的方向移 如图所示的象棋棋盘，我们知道，行“马”的规则是走“日”字 动的距离为s,力对物体所做的功w与， B.青海湖水面大气压强为76.0cmHg 对角（图中向上为进，向下为退），如果“帅”的位置记为 100 的对应关系如图所示，则下列结论正确 (5,1),“马2退1”后的位置记为(1,4)（表示第2列的“马” C.函数表达式p=h十P。中自变量h的取值范围是h≥0 向下走“日”字对角到达第1列的位置)，那么“马8进7”后 D.p与h的函数表达式为p=9.8×10h十76 的是() 05101520a 的位置可记为( 二、填空题 A.W=8 B.W=20s A.(8,4) B.(7,4) C.(7,3) D.(7,2) 10.(毫州利辛期末)如图所示，一张不规则卡片放置在4×4的 160 7.模型观念如图所示为一次函数y=kx十b(k 正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶 C.W=8s D.5= 和b为常数且k≠0，b≠0)的图象，则一次函数 点叫作格点，点A,B,C均在格点上，若点A的坐标为 2.对于命题“若a>b,则|a|>b”,能说明它是假命题的反例 y=bx十k的图象大致是( (0,1),点B的坐标为(3，一1)，则点C的坐标为 是() 封 A.a=3,b=2 B.a=3,b=4 C.a=-3,b=-2 D.a=2,b=-2 3.某种弹簧秤最大能称10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为8.有一题日：“如图所示，∠ABC=40°，BD 第10题图 第11题图 0 12cm,每挂重1kg物体，弹簧伸长0.5cm,在弹性限度内， 平分∠ABC,过点D作DE∥AB交BC 11,如图所示，直线m是△ABC中边BC的垂直平分线，点P 挂重后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的 于点E,若点F在AB上，且满足DF 是直线m上的一动点.若AB=5,AC=4,BC=7,则 函数关系式为( DE,求∠DFB的度数.”小贤的解答：以 △APC周长的最小值为 D为圆心，DE长为半径画圆交AB于点F,连接DF,则 12.如图所示，A(一2,3)，B(3,2)是平面直角坐标系中的两 线 A.y=12-0.5x B.y=12+0.5x DE=DF,由图形的对称性可得∠DFB=∠DEB.结合平 点，在x轴上有一点C能使AC与BC的长度之和最小，则 C.y=10+0.5x D.y=0.5x 行线的性质可求得∠DFB=140°.而小军说：“小贤考虑的 点C的坐标为 4.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( 不周全，∠DFB还应有另一个不同的值”.下列判断正确的 A.∠A=20°，∠B=70° BA-B=∠C 是() A.小军说的对，且∠DFB的另一个值是40 C.∠A-∠B=∠C D.∠A=∠B=2∠C B.小军说的不对，∠DFB只有140°一个值 5.如图所示，已知点P是射线ON上一动点（不与点O重合）， C.小贤求的结果不对，∠DFB应该是20° ∠O=30°，若△AOP为钝角三角形，则∠A的取值范围 D.两人都不对，∠DFB应有3个不同值 第12题图 第13题图 是( 9.如图①所示是我国青海湖最深处的某一截面图，青海湖水 13.(合肥期末)如图所示，在等边△ABC中，AO⊥BC,垂足为 A.0°<∠A<60 孙 面下任意一点A的压强p(cmHg)与其离水面的深度h(m) O,且OA=8,E是线段OA上的一个动点，连接BE,线段 B.90°<∠A<180 的函数表达式为p=h十p。,其图象如图②所示，其中p BF与线段BE关于直线AB对称 C.0°<∠A<60°或90°<∠A<150 为青海湖水面大气压强，k为常数且k≠0.根据图中信息分 (1)连接AF,则∠EAF的度数为 D.0°<∠A<30°或90°<∠A<130 析（结果保留一位小数），下列结论正确的是() (2)连接OF,当OF的长取得最小值时，AF的长为 -27 三、解答题 17.模型观念用600张甲种木板（规格：20cm×20cm)和40019.【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起 14.推理能力已知2y十1与3x一3成正比例，且x=6时， 张乙种木板（规格：20cm×10cm)制作A,B两种顶部无 天地良心”，某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简 y=17. 盖的木盒若干个，A,B两种木盒尺寸（单位：cm)如图所 易杆秤，小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行 (1)求y与x之间的函数表达式， 示，为了降低成本，制作木盒时，甲种术板不裁开，除棱以 调试，请完成下列方案设计中的任务 (2)将(1)中函数图象向上平移5个单位长度后得到直线 外其他地方不拼接，且甲、乙两种木板刚好全部用完」 【知识背景】如图所示，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡， 11,求直线11对应的函数表达式，并回答：点P(4,3)是否 (1)求可制作A,B两种木盒各多少个？ 根据杠杆原理推导得：(m。十m)·1=M·(a十y),其中秤 在直线1上？ (2)已知A种木盒的销售单价是B种木盒的两倍，且两种 盘质量m。克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘 木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元，设B种 的水平距离为L厘米，秤纽与零刻线的水平距离为α厘米， 木盒的销售单价为：元.当制作这批木盒的成本为2100 秤砣与零刻线的水平距离为y厘米. 元时，为使这批木盒的销售利润最大，两种木盒的销售单 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定m。=10,M=50,最 价应分别定为多少元？销售这批木盒的最大利润为多 大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为 15.如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1， 少元？ 50厘米。 网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上)」 任务一：确定1和a的值】 (1)在图中画出△ABC关于直线L对称的△A,B,C1: (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出 (2)在直线L上找出点P,使得△PBC周长最小，在图中标 关于l,a的方程 出点P的位置 (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至 (3)已知点D在格点上，且△BCD和△BCA全等，请画出 末刻线时，杆秤平衡，请列出关于1，a的方程。 所有满足条件的△BCD.(点D与点A不重合) 优计密卷 (3)根据(1)和(2)所列方程，求出1和a的值. 任务二：确定刻线的位置 (4)根据任务一，求y关于m的函数表达式， (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请 写出相邻刻线间的距离 18.如图①所示，AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a 杆秤示意图 AD,BE交于点M. 秤 16.模型观念(1)【模型启迪】如图①所示，在△ABC中，D为 (1)求证：BE=AD 边BC的中点，连接AD并延长至点H,使DH=AD,连 (2)用含a的式子表示∠AMB的度数.（直接写出结果） 接BH,则AC与BH的数量关系为 ,位置关系 (3)当a=90°时，取AD,BE的中点分别为点P,Q,连接 为 CP,CQ,PQ,如图②所示，判断△CPQ的形状，并加以证明. (2)【模型探索】如图②所示，在△ABC中，D为边BC的中 秤盘 点，连接AD,E为边AC上一点，连接BE交AD于点F, 且BF=AC.求证：AE=EF 28-又：AE=EF,EF+FD=BD+AE=2AB. ∴.2a-2= 19,解：(1)如图所示，设∠2.：EA=EC, ,点P的坐标为（一25）. ,。设/A回2=文 ∴AF=20A=4 ED=AB=3 (3)点P到x轴，y轴的距离相等 CE平分∠ACB. 14.解：(1)2y+1与3x一3成正比例 .∠ACB=2x .设2y+1=k(3x-3)(k≠0) 23.解：(1)证明：如图①所示， 1或7 AB- AC “当=6时，y=17 在Rt△ABC中，，∠ACB=90° .点P的坐标为（一4,4）或(12,12)，点P在第二象限或 ∠ABC= ∠ACB=2x, .34十1=k(18一3)， /A30", 第一象限. 在△ABC中，x+2x+2x=180° ∠ABC=60,BC=2AB. 15.解：(1)由图知，A在B处的北偏东37方向，距离5km “.x=36° 解得女一3： 处：C在B处的南偏东80方向，距离6km处. ∴.∠A-36 :BD平分∠ABC, (2)∠ABC =63 (2)∠A=∠2， ÷2y+1-3(3z-30, ∠1=∠DBA=∠A=30° 理由：如图所示，过点B画一条南北方向的直线DE 。/2=38 7 'BDIAC. 北 ∴y-2x-4 .∠DFC-90-36'=54 六AE-BE-空AB, 名km,3 ,.∠】=DFC54 做y与x之间的两数表达式为y-乙一4 20,解：(1)设y与x之间的函数表达式为y一kx十b(k,b为 BC=BE 常数，且k≠0》 (2)由0，知y-x-4 .△EBC是等边三角形. 将x-0,y-32和x-10,y-50代人y-r十b, ,将图象向上平移5个单位长度后得到直线1， (2)如图②所示，延长ED使得DW一DM,连接MW. :∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线 直线对应的函数表达式为y=2工一4+5 DE⊥AB于点E, 6=32, ,∠ADE=∠BDE=60°，AD-BD, :南北方向直线平行 9 “y与x之间的函数表达式为y-写x+32, 即y=x十1. 又DM=DW, ∠ABD ∠A ∠CBE-∠C=80 .△WD八是第边三角形 ,∠ABD+∠ABC+∠CBE=18O°， 2)当y-5时，即5=号+32，解得z=-15, 当=时y-×4+1=15≠3 ..MW-DM '.∠AC=180=37=80=63 16.解：(1)证明，：∠1+∠ABC=180°，∠2+∠ACB=180° 故点P(4,3)不在直线1上 在△WGM和△DBM中 ∠2，∴∠ABC=∠ACB 华氏5度时所对应的摄氏温度为一15℃。 15.解：(1)如图所示，△A1B1C,即为所求 ∠W=∠MDB,MW=DM,∠WMG=∠DMB. (3)可胞 .△WGMa△DBM,(ASA) △AC为等厦三角形 .BD-WG-DG+DM. ∠A=60°+ 当y女时2-号十32，解得x=一40， ..AD=DG+DM ,等限△ABC为等边三角形 (2)∠A=60°， 此时的摄氏温度为一40℃. ∠ABC+∠ACB=18D°-∠A=120 21.解：【现与计算】(1)45 (211 :∠1+∠ABC-180,∠2+∠ACB=180, 【边角规律再探】 .∠1=180° ∠ABC,∠2=180°-∠ACB, (】)证明，A月=AD 1+∠2=360（∠AC+∠ACB)=360 :设∠ABD-∠ADB- 设∠BDC-B. 17.解：(1)如图所示，找到点B关于AC的对称点B:,连接 AC-AD. (2》如图所示，点P即为所求 2 AB:,BC即可. :.∠ACD-∠ADC-a+B. (3)如图所示，点D1,D,D,即为所求 在△ABE和△DCE中，∠AEB-∠DEC 16.解：(1)AC-BHAC∥BH .∠BAE十∠ABE-∠EDC十∠ECD, (2)证明：如图所示，延长AD至点G,使DG=AD, (3)AD=DG一DN,理由如下： ∠CAB十a=B+a+B, 连接BG 如图③所示，延长BD至点H,使得DH=DN,连接NH. ∠CAB=2 :D为边C的中点， 由(1)，得DA-DB,∠A-30 .∠BAC=2∠BDC. BD-CD. :DE⊥AB于点E (2)①7.5②15y<18 在△ACD和△GBD中 ∴∠2=∠3=60°.∠4=∠5=0 CD=BD,∠ADC=∠GDB. △NDH是等边三角形， 专项训练卷（二） AD-DG, ∴，NH=ND,∠H=∠6=60 模型观念、推理能力与跨学科 ,△ACD≌△GBD,(SAS) AC=BG,∠CAD=∠BGD 60， 1,C2.D3.B4.D5.C6.D7.B8.A BF-AC ∠BNG+∠7-∠6+∠7， (2)如图所示，作出BC的垂直平分线交BC于点D,作直 9.A10.(3,2)11.9 .BG=BF 即∠DNG=∠HNB. 线AD,则直线AD将△ABC分成面积相等的两部分. 12.1,0) ∴∠BGD=∠BFG=∠AFE, 在ADNG和AHNB中 (3)如图所示，设BC交y轴于点Q,由图可知点Q(0,2) 设点B到y轴的距离为,点C到y轴的距离为,由 13.(1)60°(2)4解析：(1)△ABC是等边三角形，且 ./AE/CAD ∠DNG ∠HNB,DN HN,∠H=∠2 即∠AFE=∠EAF ,△DNG≌△HNB.(ASA) 图可知h1=2,h,=1, AO⊥BC, 1 ..AE=EF. 1 ∴.DG=HB. 则Sane=Sanm+Seo=PQ·h+PQ·h:= ∠EAB-2∠BAC-30°， 17,解：(1)设可制作A种木盒x个，制作B两种木盘y个。 :HB-HD+DB-ND十AD 由题意知，△AFB≌△AEB,(SAS) .DG=ND+AD. PQh:+k,)=2PQ×3. ∠FAB=∠EAB=30°， .AD-DG-ND. ,./BAE=60” 解得-100， v=100. 专项训练卷（一）空间观念与运算能力 :△BPC的积等于3，母PQX3=3, 2)如图所示，延长AF至点P,使AP=AO,由题意知，点 解得PQ=2, F在线段AP上运动， 客，可制作A种木盒100个，制作B两种木盒100个， (2)设B种木盒的销售单价为：元，则A种木盒的销售单 1.B2.D3.D4.C5.D6.C7.D8.A 点P的坐标为(0,0)或(0,4) 价为2：元 ,设利洞为和元 .B10.四11.1212.年1.(1)90(2)30 18.解：(1)610 则=100×2+100-2100 (2)第一层有1个 300r-2100. 14.解：(1)点P在x轴上， 第二层有(1+2)个 ,两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元， ,,a十5=0。，a=-5, 第三层有(1十2十3)个， .212+t54 .2a-2=2×(-5)-2=-12, “点P的坐标为(12,0). 以此类推，第n层有1十2十3十…十一 2(十1)个 7≤1≤18 =300>0, (2)点Q的坐标为(4,5)，直线PQ∥x轴， s=2n(m+1 当OF⊥AP时，OF最题，此时∠AOF=30 …四随（的增大面增大， a十5=5，.a=0, 又OA=8, .当t-18元时，出最大，为300×18-2100-3300（元）， 47 “此时A种木盒的销售单价是36元，B种木盒的销售单 解得x=45, .AF=OC=y,D'F=QA=1, 价是18元，最大利润是3300元. 最小内角的度数为36成45， .D(-y-1,1), 18,解：(1)证明：：∠ACB=∠DCE一g, (3)∠BAD=∠EAF,∠BAE=∠DAF .∠ACD=∠BCE 在△BAE和△DAF中， CD的中点坐标为（仁，） 在△ACD和△BCE中， ∠BAE-∠DAF,AB-AD,∠B-∠D, CA-CB,∠ACD=∠BCE,CD-CE, 6.解：(1)描出以表格中数据为坐标的各点，并连线，如图 ∴△BAE≌△DAF,(ASA)∴.AE=AF 由愿意可知(，士)在直线AB上， ∴△ACD△BCE,(SAS) ∠F=75,∠EAF=180°-76×2=30， 所示 .BE=AD. ∴.∠BAD=∠EAF=30°. 安-(-2x(）-2 2 (2)△ACD≌△BCE ∠B=25',.∠ACB-180-∠B-∠BAD=125 解得y=3, ∠CAD ∠CBE :125÷25=5,△ABC为5倍角三角形， ∴，C(0,3),D'(-4,1). :在△ABC中，∠BAC+∠ABC=180°-a, ,∠D=25,∠DCE=∠ACB=125 设AC的表达式为y-1r+b1 ”,BAM+/ABM=1B0"- .∠CED= 180°-∠D DCE=30 “在△ABM中.∠AMB=180 (180°-a)=a, ,125°÷25=5，∴.△DEC为5倍角三角形. b=3, (3)△CPQ为等樱直角三角形. ∴.图中的m倍角三角形有△ABC和△DEC,它们都是5倍 ,y=3x+3 证明：由(1)，得BE一AD 角三角形 设AD的表达式为y=k:x十b:, :AD,BE的中点分别为点P,Q, 3.解：(1)原点O经过一次甲方式移动得到(2,1)，(2,1)经过 123456789n .AP=BQ. (2)一次 次甲方式移出指到M(4,2》 k:=一 ·AACDS2A月CF 原点0经过一次乙方式移动得到(1,3)，(1,3)经过一次乙 :所对应的函数表达式是y=6十b, ∴.∠CAP-∠CBQ ,.将〔0,6)代入，想5=6. 1=一4：+b2 方式移动得到N(2,6). 62= 在△ACP和△BCQ中 设直线MN的表达式为y=ex十b (3)由(2)知函数表达式是y=6x+8. CA=CB,∠CAP=∠CBQ,AP=BQ D当x=11时，y=6×11+6=72, y=- I-3 △ACPa△BCQ.(SAS) 1b=10, .供水时间达到11h时，箭尺的读数为72cm ..CP=CO,且∠ACP=∠CO ,直线1的表达式为 ②当y-90时，即6x+6-90. 又∠ACP+∠PCB=0°， (2)设原点O按甲方式移动舞次，则按乙方式移动(10 解得x=14, ∴∠BCQ+∠PCB-90', 脚经过14h,箭尺读数为g0cm, )次 ../PC0=90 原点O按甲方式移动次后得到点(2m,),点(2n,n按 本次实验记录的开始时阿是上午8：00 .△CPQ为等腰直角三角形 :当箭尺读数为90cm时是22：00. 乙方式移动(10一N)次后得到点Q(十10,30一2m), 19,解：(1)由题意得m-0,y-0, Z,解：【问题情境】ASA 设=W十10，=302相 ma=10,M-50..10l-50a,.1=5a =30 2( 100= 2x+50 【类比解答】26 易错专项训练卷（一） (2)由题意，得m一1000，y=50, ,无论每次按甲方式还是乙方式移动，最终点Q都落在 【拓展延伸11)BE=一CD, ,.(10+1000)1-50(a十50)，.1011-5a=250, 条确定的直线￥ =2r+50上， 一次函数中易错题常见类型 01-5a=250.解得{-0.5， (3)由D(2)可得-5a .直线4的表达式为y=一2x+50, 证明，如图所示，延长BE,CA交 l=2.5. 点F，期∠BAF 1801 4.解：1)1817 1.C2.-42 (4)由(3)可知11-2,5，a=0.5, (2)设D(0,y),y<0, ∠BAC=90. :BE⊥CD 3.解：(1)根据一次函数的定义，得2一m一1 2.5(10+m)=50(0.5+yy=20m 当-2≤y<0时，2 y 餐得m=土】. .∠BED=90°=∠BAC d(A,D)=5×2十4×(-y)=15, 又，m一1≠0，即m≠1， ∠BDC=∠ABF+∠BED=∠ACD+∠BAC (5)由(4)可知：y=20m当m=0时，则有y=0:当 y=一 ∠ABF=∠ACD. “.当m一一1，？为任意实数时，这个雨数是一次函数 (2》根据正比的数的定义，利2一：=】.W+40 m=100时，则有y=5:当m=200时，则有y=10:当m 当y<-2时，2<-y, 又AB=AC, 解得口士】。州=一4。 300村，有v=15斯网=4D0对，有v=20:当m=500 d(A,D)-4×2-3y-15, △ABF2△ACD,(ASA),BF-CD, 又：m一1≠0，即m≠1 时，则有y-25:当m-600时，则有y-30:当m-700时 由【问题情境】可知，BE一FE一 ∴，当m=一1，m=一4时，这个函数是正比例函数 则有y=35:当m=800时，则有y=40:当m=900时，则 y=- 3 BF.:BE-7CD. 4.解：(1)：y随x的增大而增大， 有y=45,当m=1000时，则有y=501 ∴1-2m>0 ,相邻刻线间的距离为5厘米 D(o.-5)成(0.-) (2)BE-FD 5.解：(1)证明：如图①所示，在DC上截取DE=BD,连 8.解：问愿探究 专项训练卷（三）阅读理解、探究拓展 接AE 与数学文化 y-5x+1 "'AD3C。,AB=AE。∠A月D=AED 当m<时，随x的增大而增大 当x=0时y=1山 1,解：(1)建立如图所示的直角坐标系 ,∠ABD=2∠C,∠AED=2∠C. (2):一次函数y=(1一2mx十m+1的图象经过第一 当y=0时时，里=一5： ,四象限 (2)点C的坐标为(2,1)，点D的坐标为（一2，一1）. ∠AED=∠C+∠EAC,∠C=∠EAC 'E=AEAB。 .A(-5,0),B(0,1) (3)如图所示，点E即为所求 :1-2m<0, :.CD=EC+DE=AB+BD. ∴0A=5,0B-1 w+1>0, (2)AB+BD AC. 过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D,图略 证明：如图②所示，在AC上截取AF=AB,连接DF 可证得△AOB≌△CDA,(AAS) 解得m> 2 AD是∠BAC的平分线 .AD=0DB=1,CD=0A=5, ∴∠BAD=∠FAD. .0D■0A+DA=6. 六当m>2时，一次函数y=1一2m)x十m十1的象经 (AB-AF, ∴C(-6,5). 过第一，二、四象限 在△ABD和△AFD中 ∠BAD=∠FAD 拓晨应用： (3)一次函数y-(1一2m)x十m+1的图象与y轴的交 AD=AD. 由题意，得A(一1.0) 点在x轴的上方 2.解：(1)3 ∴，△ABD2△AFD,(SAS) ,射线AB与直线y=一2x平行， (2》设最小内角的度数为x°，则最大角为2x°， ∠AFD- ∠B-2∠C,BD-DF 设直线AB的表达式为y=一2x十 当量小角是等授三角形的顶角时。则底角为2x“, ,∠AFD=∠C+∠FDC, 则0=(-2)×（一1）+b,解得b=-2 得2x+2x十x-180 .∠FDC=C. 。V一27一2， 新得m>-1且m≠字 解得x-36. ∴FC-FD-BD 如图所示，延长AC交y轴于点C,瑶长AD至点D',使 ∴.AC=AF+FC=AB+BD. AD-AC',设C(0y),过点D作DF⊥x轴于点F 当m>一1且m≠时，一次函数y=(1一2m)x十m十1 当最小角是等腰三角形的底角时，测底角为x°， 得2x+x+x=180, 由问题费出可知△COA≌△AFD'(AAS), 的图象与y轴的交点在x轴的上方