第15章 轴对称图形与等腰三角形素养提升检测卷-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(沪科版·新教材)

优密卷八年级上册数学·口 6.已知P,Q为∠AOB内两点，且∠AOP=∠POQ=∠QOB=12.在△ABC中，AB=AC,∠C=30°，点D在边BC上，连接 第15章素养提升检测卷 3∠AOB,PM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,PQ⊥OP, AD,若△ABD为直角三角形，则∠DAC的度数 为 则下面结论正确的是() 13.如图所示，∠AOB=30°，E为∠AOB平分线上一点，EC⊥ 女回时网：120分钟 言满分：150分 A.PM>QM B.PM=QN C.PM<QN D.PM=PQ OB于点C,EF∥OB交OA于点F,若EC=3,则OF的长 题号 三 四 五 六 七 总分 7.E运算能力在△ABC中，AB=4,∠B=∠C=15°，则△ABC 为 得分 的面积是() A.2 B.4 C.6 D.8 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 8.(池州青阳期末)如图所示，已知，BD为△ABC的角平分 每小题都给出A,B,C,D四个选项，其中只有一个是特合 线，且BD=BC,E为BD延长线上的一点，BE=BA.下列 题目要求的。 第13题图 第14题图 结论：①△ABD2△EBC:②∠BCE+∠BCD=180; 1.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是 14.如图所示，在四边形ABCD中，∠BAD=121°，∠B=∠D ③AD=AE=EC:④AC=2CD.其中正确的有( 斜边AB上的高，若AD=3cm,则斜边AB的长为( 90°，点M,N分别在BC,CD上. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.3 cm B.6 cm C.9 cm D.12 cm 9.如图所示，在等边△ABC中，BD⊥AC于点D,QD=1.5, (I)当∠MAN=∠C时，∠AMN+∠ANM= (2)当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM= 点P,Q分别为AB,AD上的两个定点且BP■AQ一2，在 BD上有一动点E使PE+QE最小，则PE十QE的最小值 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 第1题图 第2题图 为( ) 15.如图所示，在△ABC中，CA=CB,D是AB的中点 2.(滁州全瓶期末)如图所示，在△ABC中，∠C=90°，∠A= A.3.5 B.4 ∠B=42°，求∠ACD的度数 15°，斜边AB的垂直平分线交AC于点E,交AB于点D, 0 AE=10cm,则BC的长度为() A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm 3.如图所示，点O是△ABC中∠BCA,∠ABC 第8题图 第9题图 第10题图 的平分线的交点，已知△ABC的面积是12， 周长是8，则点O到边BC的距离是( 10.如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥ 线 A.1 B.2 BC于点D,∠ACB的平分线交AD于点E,交AB于点 C.3 D.4 F,FG⊥BC于点G.则以下结论：①BF=CF:②AF= 16.(阜阳太和期中)如图所示，在△ABC中，AB的垂直平分 4.将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角 FG:③△AEF为等边三角形：①AD=CG.其中正确 线分别交AB,BC于点E,F,AC的垂直平分线分别交 形的三个角上各挖去一个圆调，最后将正方形纸片展开，得 的有() AC,BC于点M,N. 到的图案是( A.1个B.2个 C.3个 D.4个 (1)若BC=10cm,求△AFN的周长， 60o 60 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） (2)若∠BAC=118°，求∠FAN的度数， 11.数学文化剪纸艺术是最古老的中国民间 E A 艺术之一，很多剪纸作品体现了数学中的 5.如图所示，在△ABC中，边AC的垂直平分线 对称美.如图所示，蝴蝶剪纸是一幅轴对称 交边AB于点D,连接CD.若∠A=50°，则 ∠BDC的大小为( 图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点E的坐标 A.90° B.100° 为(m,1),其关于y轴对称的点F的坐标为(2，n),则 C.120 D.130 (m十m)22的值为 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分》 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 七、（本题满分12分） 17.尺规作图.（必须保留作图痕迹） 19.如图所示，△ABC是等腰三角形，D,E分别是腰AB及22.如图所示，△ABC是边长为6的等边三角形，P是边AC (1)如图①所示，∠AOB内有两点M,N,要求在∠AOB内 AC延长线上的一点，且BD-CE,连接DE交边BC于点 上一动点，由A向C运动（与A,C不重合），Q是CB延长 作出一点P,使点P到∠AOB两边的距离相等和到两点 G.求证：GD=GE. 线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方 M和N的距离也相等. 向运动(Q与B不重合)，过点P作PE⊥AB于点E,连接 (2)如图②所示，在公路MN一旁有两个村庄A,B,现要 PQ交AB于点D. 在公路MN上修建一个电视转播站P,且使P到这两个村 (1)当∠BQD=30时，求AP的长 庄的路线最短，请你把P的位置作出来. (2)运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变， 求出线段ED的长：如果变化，请说明理由 A· 20.(合肥瑶海区期中)如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC, 2 边AC上的中线BD把△ABC的周长分为15和17两 部分. (1)求AB和BC的长 (2)若AB<BC,且点D到边BC的距离为4，求点D到 18.格点△ABC(顶点是网格线的交点)在平面直角坐标系中 八、（本题满分14分） 的位置如图所示. 边AB的距离， 23.探究拓展（宣城月考）在Rt△ABC中，∠ACB=90°， (1)将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移8个 ∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E. 单位长度，画出平移后的△A,B,C,,并写出顶点B1的 (1)如图①所示，连接EC,求证：△EBC是等边三角形 坐标. (2)点M是线段CD上的一点（不与点C,D重合），以BM (2)作△ABC关于y轴的对称图形△AzB,C:,并写出顶点 为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE的延长 B:的坐标 线于点G.请在图②中画出完整图形，并求出MD,DG与 (3)求△ABC的面积. 六、（本题满分12分） AD之间的数量关系. 21.推理能力如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是 (3)如图③所示，点N是线段AD上的一点，以BN为一 ∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E,点F在AC上， 边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE的延长线于 BD-DF. 点G.试探究ND,DG与AD之间的数量关系，并说明 求证：(1)CF=EB. 理由 (2)AB=AF+2EB. 24.△CDE是等膜三角形 ∠ADB=60,,∠ADC=∠BDC=30 16解：(1)EF是AB的垂直平分线， 19.证明：如图所示，过点O分别作OE⊥AB,OF⊥BC ,DC⊥AB,∴.∠DCB=∠DCA=90', .FB=FA. OG1CD,OH⊥AD,分别交AB,BC.CD,DA于点E,F .∠B=∠DAB=90°-30°=60°， ,MN是AC的垂直平分线 G,H. ∴，∠ADB=∠B=∠DAB=6O ..NA =NC. :△ADB是等边三角形. ∴BF+FN+NC AF+FN+AN-BC-10(cm). 2)CE/DA .△AFN的周长为10cm, /BEC=/ADB-60. (2)在△ABC中，，∠BAC=118 ,∠CEB=∠CBE=∠ECB=6O /B=1Q0 ∠BAC=180°-118=62 △CEB是等边三角形 由1)，得FB=FA,NA=NC CE= BE=CB. △ABF,△ACN是等厦三角形， 20.解：(1)，AB-AC,边AC上的中线BD把△ABC的周长 ∠BDC=30°，∠DCB=90°， ∠B=∠BAF,∠C=∠CAN, 分为15和17两部分， BC=BD,CE=BD ∴∠BAF+ <CAN 则∠AEO-∠AHO-90° <8 ∠C-62° .∠FAN=∠BAC-(∠BAF+∠CAN)=118 当AB+AD-AC+2AC-15时，解得AC-10-AB, AO平分∠BAD,∠OAE=∠OA ∴E是BD的中点，∴AE是边BD的中线， 62“=56, ∠AEO ∠AHO ∴.底边BC-17一 号×10-12. :△ADB是等边三角形， 图/FA入N的度数为56 在△OAE和△OAH中，∠OAE ZOAH .AELDB 17.解：(1)如图所示，MN的垂直平分线与∠AOB的平分线 ,10,10,12能构成三角形， OA=0A, 23.解：(1)D证明：CA=CB,CD-CE,∠CAE 的交点P即为所求. ,AB和BC的长分别为10,12： .△OAEQ△OAH.(AAS ∠CED AE-AH. ∴.∠ACB=180°-2a,∠DCE=180°-2a 当AB+AD=AC+AC=17时，解得AC=兰=AB. 同理，得BE=BF,CF=CG,DG=DH, ∴.∠ACB=∠DCE, .AB+CD=AD+BC. ∴.∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB, ∴底边50-15-号×号-警 20.解：(1)∠B-60',∠BDA-∠BAD. ∠ACD=∠BCE ,∠BAD=∠BDA=60°，AB=AD CD AC-BC. AB...CD- AD,∠DAC=∠C 在△ACD和△BCE中，∠ACD=∠BCE ∴∠BDA-∠DAC+∠C-2∠C. CD=CE (2)如图所示，画出点A关于直线MN的对称点A',连接 AB和BC的长分别为兰，28 33 :∠BDA=60°，.∠C=30°， ∴△ACD△BCE,(SA5)∴BE-AD A'B交MN 于点P,莲接AP (2》证明：如图所示，延长AE到点M,使EM=AE,连 ②△ACD≌△BCE, "A,A关于直线MN对称， 综上所述，AB的长为10或号，BC的长为12或号 接DM ∴∠CAD=∠CBE=a+∠BAO AP-A'P. (2)如图所示，过点D作DM⊥BC :∠ABE=∠AOB+∠BAO, 由两点之间线段最短可知，线段A'B的长即为AP十BF 于点M,DN⊥AB于点N ,∠CBE+a= ∠AOB+∠BAO, AB<BC. .∠BAO+a+a=∠AOB+∠BAO, 的最小值，故点P即为所求点. .AB-10,BC=12. .∠A)B=2a, :BD是△ABC的中线， (2)证明，如图所示，作BPIMN交MN的延长线于点 P,作DQ⊥MN于点Q BCP ∠BCA CAM+∠AMC, AB·DN=BCDM 又∠CAB=。=45',CA-CB, :点D到边BC的距离DM为4， AE-EM. ∴.∠ABC=∠CAB=45°，.∠BCA=90 在△ABE和△MDE中，{∠AEB=∠MED :CM⊥AE,.∠AMC=90', 18.解：(1D如图所示，△A:B1C,即为所求.顶点B,的条标为 ·点D到边AB的距离DN-2马 BE-DE. ∴，∠BCA=∠AMC,∴，∠BCP=∠CAM 50 2L.证明：(1)：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DC⊥AC, △ABE≌△MDE,(SAS) ∠BPC ∠CM (2)如图所示，△A:B:C即为所求，顶点B:的坐标为 DE=DC ∠B=∠MDE,AB=DM=CD. 在△CBP与△ACM中，∠BCP=∠CAM (3,2). 在Rt△CDF和R△EDB中， .∠ADC=∠B+∠BAD=,∠MDE+ BC=AC. (③)5-2X3-×2X2-×1X1 2×1×3- DF=DB. ∠BDA-∠ADM. .△CBP2△ACM.(AAS) DC=DE DM-DC ∴BP CM .Rt△CDFSRU△EDB.(HL,) 在△MAD与△CAD中 ∠ADM=∠ADC 同理，得CM=DQ. 6-2- .CF-EB AD=AD。 .DQ=BP (2)AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,CDLAC, ,△MAD≌△CAD,(SAS),.∠MAD=∠CAD. ∠BNP-∠DNQ 在△BPN与△DQN中， BPC-∠DQN 8 .CD-DE 在Rt△ADC与Rt△ADE中， 21,解：(1)： BP=DQ. CD=DE DFI BC.DE LAB. .△BPN2△DQN,(AAS).BN=ND, AD-AD ,∠FDC=∠AED=90 N是BD的中点 Rt△ADC≌Rt△ADE,(HL.) 在R△FDC中， ”.AC=A上， C- 25=65 chit-c ∴AB=AE+EB=AC+EB=AF十CF+EB= AB=BC. ∴.∠C=∠A=65, 42,-四2.3 AF+2EB 22.解：(1)：△ABC是等边三角形，∠A■∠AC=0 .∠EDF-360°-65°-155”-90°-50 又∠BQD=30°，+∠QDB=30°=∠ADP,.∠APD=90 (2)证明：如图所示，接BF 19,证明：如图所示，过点E作EF∥AB交BC的菇长线于 :AB=BC,且点F是AC的 又：P,Q的运动遽度相同，Q=BD=AP=立AD,而 中点， AD+BD=6.∴.3AP=6.∴AP=2, BF⊥AC,∠ABF=∠CBF= 第15章素养提升检测卷 E下A月，.FmB. 《2)ED的长不变，过点P作PF∥QC交AB于点F,则 ∠ABC ∠ACB=∠FCE,∴∠F=∠FCE △APF是等边三角形，AP=AF=PF,又：PE⊥AB 1.D 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.C 9.C AE- ∴.∠CFD+∠BFD=90°： 10.C11,112.30或60°13.6 'PF∥QC,∴∠FPD=∠BQD,∠PFD=∠QBD. ∠CBF+∠BFD=90, 14.(1)121(2)118 在△DGB与△EGF中， I∠FPD-∠BQD, ,∠CFD=∠CBF, 15.解：：CA=CB,∴△ABC是等腰三角形.：∠B=42 I∠DGB=∠EGF, 在△PDF和△QDB中，PF=QB, ∠CFD= ∴∠A=∠B=42,∠ACB=g6,又：D是AB的中 ∠ABC B ∠F ∠PFD -∠QBD BD=EF, ∴△PDF≌△QDB,(ASA) 22.证明：(1)，DC平分∠ADB,,∠ADC=∠BDC 点，CD平分∠ACB,∠ACD=豆 ∠ACB=48. .△DGB2△EGF.(AAS)∴，GD=GE ..FD=BD. 又：AE=EF,EF+FD=BD+AE=2AB. ∴.2a-2= 19,解：(1)如图所示，设∠2.：EA=EC, ,点P的坐标为（一25）. ,。设/A回2=文 ∴AF=20A=4 ED=AB=3 (3)点P到x轴，y轴的距离相等 CE平分∠ACB. 14.解：(1)2y+1与3x一3成正比例 .∠ACB=2x .设2y+1=k(3x-3)(k≠0) 23.解：(1)证明：如图①所示， 1或7 AB- AC “当=6时，y=17 在Rt△ABC中，，∠ACB=90° .点P的坐标为（一4,4）或(12,12)，点P在第二象限或 ∠ABC= ∠ACB=2x, .34十1=k(18一3)， /A30", 第一象限. 在△ABC中，x+2x+2x=180° ∠ABC=60,BC=2AB. 15.解：(1)由图知，A在B处的北偏东37方向，距离5km “.x=36° 解得女一3： 处：C在B处的南偏东80方向，距离6km处. ∴.∠A-36 :BD平分∠ABC, (2)∠ABC =63 (2)∠A=∠2， ÷2y+1-3(3z-30, ∠1=∠DBA=∠A=30° 理由：如图所示，过点B画一条南北方向的直线DE 。/2=38 7 'BDIAC. 北 ∴y-2x-4 .∠DFC-90-36'=54 六AE-BE-空AB, 名km,3 ,.∠】=DFC54 做y与x之间的两数表达式为y-乙一4 20,解：(1)设y与x之间的函数表达式为y一kx十b(k,b为 BC=BE 常数，且k≠0》 (2)由0，知y-x-4 .△EBC是等边三角形. 将x-0,y-32和x-10,y-50代人y-r十b, ,将图象向上平移5个单位长度后得到直线1， (2)如图②所示，延长ED使得DW一DM,连接MW. :∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线 直线对应的函数表达式为y=2工一4+5 DE⊥AB于点E, 6=32, ,∠ADE=∠BDE=60°，AD-BD, :南北方向直线平行 9 “y与x之间的函数表达式为y-写x+32, 即y=x十1. 又DM=DW, ∠ABD ∠A ∠CBE-∠C=80 .△WD八是第边三角形 ,∠ABD+∠ABC+∠CBE=18O°， 2)当y-5时，即5=号+32，解得z=-15, 当=时y-×4+1=15≠3 ..MW-DM '.∠AC=180=37=80=63 16.解：(1)证明，：∠1+∠ABC=180°，∠2+∠ACB=180° 故点P(4,3)不在直线1上 在△WGM和△DBM中 ∠2，∴∠ABC=∠ACB 华氏5度时所对应的摄氏温度为一15℃。 15.解：(1)如图所示，△A1B1C,即为所求 ∠W=∠MDB,MW=DM,∠WMG=∠DMB. (3)可胞 .△WGMa△DBM,(ASA) △AC为等厦三角形 .BD-WG-DG+DM. ∠A=60°+ 当y女时2-号十32，解得x=一40， ..AD=DG+DM ,等限△ABC为等边三角形 (2)∠A=60°， 此时的摄氏温度为一40℃. ∠ABC+∠ACB=18D°-∠A=120 21.解：【现与计算】(1)45 (211 :∠1+∠ABC-180,∠2+∠ACB=180, 【边角规律再探】 .∠1=180° ∠ABC,∠2=180°-∠ACB, (】)证明，A月=AD 1+∠2=360（∠AC+∠ACB)=360 :设∠ABD-∠ADB- 设∠BDC-B. 17.解：(1)如图所示，找到点B关于AC的对称点B:,连接 AC-AD. (2》如图所示，点P即为所求 2 AB:,BC即可. :.∠ACD-∠ADC-a+B. (3)如图所示，点D1,D,D,即为所求 在△ABE和△DCE中，∠AEB-∠DEC 16.解：(1)AC-BHAC∥BH .∠BAE十∠ABE-∠EDC十∠ECD, (2)证明：如图所示，延长AD至点G,使DG=AD, (3)AD=DG一DN,理由如下： ∠CAB十a=B+a+B, 连接BG 如图③所示，延长BD至点H,使得DH=DN,连接NH. ∠CAB=2 :D为边C的中点， 由(1)，得DA-DB,∠A-30 .∠BAC=2∠BDC. BD-CD. :DE⊥AB于点E (2)①7.5②15y<18 在△ACD和△GBD中 ∴∠2=∠3=60°.∠4=∠5=0 CD=BD,∠ADC=∠GDB. △NDH是等边三角形， 专项训练卷（二） AD-DG, ∴，NH=ND,∠H=∠6=60 模型观念、推理能力与跨学科 ,△ACD≌△GBD,(SAS) AC=BG,∠CAD=∠BGD 60， 1,C2.D3.B4.D5.C6.D7.B8.A BF-AC ∠BNG+∠7-∠6+∠7， (2)如图所示，作出BC的垂直平分线交BC于点D,作直 9.A10.(3,2)11.9 .BG=BF 即∠DNG=∠HNB. 线AD,则直线AD将△ABC分成面积相等的两部分. 12.1,0) ∴∠BGD=∠BFG=∠AFE, 在ADNG和AHNB中 (3)如图所示，设BC交y轴于点Q,由图可知点Q(0,2) 设点B到y轴的距离为,点C到y轴的距离为,由 13.(1)60°(2)4解析：(1)△ABC是等边三角形，且 ./AE/CAD ∠DNG ∠HNB,DN HN,∠H=∠2 即∠AFE=∠EAF ,△DNG≌△HNB.(ASA) 图可知h1=2,h,=1, AO⊥BC, 1 ..AE=EF. 1 ∴.DG=HB. 则Sane=Sanm+Seo=PQ·h+PQ·h:= ∠EAB-2∠BAC-30°， 17,解：(1)设可制作A种木盒x个，制作B两种木盘y个。 :HB-HD+DB-ND十AD 由题意知，△AFB≌△AEB,(SAS) .DG=ND+AD. PQh:+k,)=2PQ×3. ∠FAB=∠EAB=30°， .AD-DG-ND. ,./BAE=60” 解得-100， v=100. 专项训练卷（一）空间观念与运算能力 :△BPC的积等于3，母PQX3=3, 2)如图所示，延长AF至点P,使AP=AO,由题意知，点 解得PQ=2, F在线段AP上运动， 客，可制作A种木盒100个，制作B两种木盒100个， (2)设B种木盒的销售单价为：元，则A种木盒的销售单 1.B2.D3.D4.C5.D6.C7.D8.A 点P的坐标为(0,0)或(0,4) 价为2：元 ,设利洞为和元 .B10.四11.1212.年1.(1)90(2)30 18.解：(1)610 则=100×2+100-2100 (2)第一层有1个 300r-2100. 14.解：(1)点P在x轴上， 第二层有(1+2)个 ,两种木盒的销售单价之和不低于21元而不超过54元， ,,a十5=0。，a=-5, 第三层有(1十2十3)个， .212+t54 .2a-2=2×(-5)-2=-12, “点P的坐标为(12,0). 以此类推，第n层有1十2十3十…十一 2(十1)个 7≤1≤18 =300>0, (2)点Q的坐标为(4,5)，直线PQ∥x轴， s=2n(m+1 当OF⊥AP时，OF最题，此时∠AOF=30 …四随（的增大面增大， a十5=5，.a=0, 又OA=8, .当t-18元时，出最大，为300×18-2100-3300（元）， 47