第1章 勾股定理素养提升检测卷-【优＋密卷】2025-2026学年八年级上册数学(北师大版·新教材)

因为BD+CD=6+82=10=BC, C伏卷 所以△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°，所以 参考答案 CD⊥AB. 八年级上时数学·B (2)因为CD⊥AB,且AB=AC, 所以△ADC是直角三角形，所以AD十CD'= 在Rt△B'CD中，由勾股定理得B'C= 第一章基础达标检测卷 Sm=,所以（a3+e2-6)=,所以 AC:,AD+6=AC, 可得AD+8-MD+6,解得AD-2行 √/12+16-20(cm),即最短路程为20cm a3+b2=e2 1.D2.C3.C4.A5.C6.D7.A8.C 21.解：(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD2 21.解：由折叠可知AD=AF,DE=EF.由S△Aw= 9.B10.A 所以AC=6+23=8所以△ABC的周长为 BC2一BD2=252-152=400,所以CD=20m,所 1.22.1013.5014.6em15.g16.15 BF.AB=30 cm',AB-DC=5 cm,BF= 以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(m). 答：风筝的高度CE为21,7m 12cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF= 17,解：如图所示，连接AC. 8号+8号+10-2号 13cm,所以BC=AD=AF=13cm.设DE= 因为∠ADC=90°，AD=4m,CD=3m, 18.解：(1)不是. (2)由等积法知：号BDXDC=-2 BCX DH, x cm,EC=(5-x)cm,EF=z cm,FC=13- 所以AC1=AD+CD2=42+32=25. 理由如下： 12=1(cm).在Rt△ECF中，由勾股定理，得 因为AH=4,HK=6,KB=5, 解得DH=15X20=12(m.在R△BHD中，根 又因为AC>0m所以AC=5m. 25 EC2+FC2=EF2,即(5一x)2+12=x2,解得 因为BC=12m,AB 所以AH+KBHK2, 据勾殷定理得BH=√15一12=9(m). 13m, 亏所以SAae=AD·DE= 2×13× 所以以AH,HK,KB为边的三角形不是一个直 答：BH的长度为9m 所以AC+BC2=52+ 角三角形， 13 122=169. =16.9(cm2. 所以点H,K不是线段AB的勾股分割点， 2.解：1)证明：因为C一方，S6m 又因为AB=169. (2)设BK=x,则HK=24一8一x=16-x 1 22.解：(1)在△DCE中，∠CED=90°，DE=60海 所以AC+BC=AB ①当BK为最长线段时，根趣题意得，AH十 2b(6十a),Samm=2a(a-b),S两a形m= 里，CE=80海里，由勾股定理可得CD=100海 所以∠ACB=90 HK:=BK' 2 CD- 里.因为B是CD的中点，所以BE- 即8+(16-x)2=x2,解得x=10: 所以SaAD=SaAc一Sae=2X12X5 50(海里)，所以AB=BE一AE=50-16.6 ②当HK为最长线段时，根据题意得 AH+BK3=HK,即8十x=(16-x)',解得 0a-b.所以-0+ 1 2×3×4=24(m. 33.4(海里). x=6. 所以a2+b2=c. 客：小岛两端A,B的距离是33.4海里. 18.解：设旗杆的高度是xm,则绳子长为(x十1)m (2)设BF=x海里.在Rt△CFB中，∠CFB=90°， 综上所述，BK的长为10或6. (2)在R:△ABD中，由勾股定理，得AD 由勾股定理，得(x十1)=x+5,解得x=12. 19.证明：(1)因为△ACB和△ECD都是等腰直角三角 AB2-BD2=42-x2=16-x2.因为BD+CD= 所以CF2-CB2-BF2-502-x2=2500-x2,在 答：旗杆的高度是12m: Rt△CFE中，∠CFE=90°，所以CF2+EF? 形，所以AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠ECD= BC=6,所以CD=BC一BD=6一x,在 19.解：如图所示，过点C作CE⊥ 90°，所以∠ACB-∠BCE=∠ECD-∠BCE,即 Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=AC CE,即2500一x2+(50+x)2=6400,解得x= DN于点E,延长AA'交CE于 ∠ACE=∠BCD.在△ACE和△BCD中， CD2=52一(6-x)2=-11+12x-x”,所以16 点F,则∠AFC=90°，设A'F 14,所以C-名即C的值为层 (AC-BC. x=-11+12x-x2,所以x=9 xcm,则AF=(55十x)em,由题 23.解：(1)在Rt△ABC中，因为∠B=90°，AB= ∠ACE=∠BCD,所以△ACE≌△BCD 可得AC-65+35-100(cm),A'C-65cm.在 7cm,AC=25cm,所以BC=AC-AB=576, CE-CD. 第二章基础达标检测卷 Rt△A'CF中，CF=65一x,在R△ACF中， 所以BC=24cm. (SAS). CF2=100-(55+x)2,所以652-x2=1002 (2)如图所示，连接PQ,BP=7一 (2)由(1)可得，△ACE≌△BCD(SAS), 1.B2.B3.B4.A5.C6.B7.A8.B (55十x)2,解得x=25,所以A'F=25cm,所以 2=5(cm),BQ=6×2=12(cm). 所以∠BDC=∠AEC,BD=AE.因为∠ECD= 9.D10.B CF=60cm,又因为EF=AD=3cm,所以CE= 在Rt△BPQ中，由勾股定理，得 90°，所以∠CED+∠EDA+∠BDC=90°，所以1L.3512.>13.5 60十3=63(cm),所以拉杆把手C离地面的距离 PQ2=BP2+BQ2=169. ∠CED+∠EDA+∠AEC=∠AED+ 14.6415.5cm216./10-3 为63cm. 所以PQ=13cm ∠EDA=90°，所以∠EAD=90°.在Rt△AED AD=AB=a, 中，根据勾股定理可得AE+AD=ED,所以 1解：1mx(厉+3后-m)=25× 20,解：在△ADE和△ABF中 ∠D=∠ABF, ③设1秒后，AP-CQ,则-2A一-&，解得：- BD+AD*=ED (53+5-43)-2√5×23=12. DE=BF=b, 20.解：(1)如图①所示，把圆柱翩面展开.在 所以△ADE≌△ABF(SAS),所以AE-AF 第一章素养提升检测卷 R1△ADB中，AD+BD'=AB2. (2)(2-1)2+√5×(5-6)+√⑧■2-2√2+ C,∠DAE=∠BAF,SAADE=SAAF,所以 1+3-3√2+2√2=6-3√2 ∠EAF=∠EAB+∠BAF=∠EAB+ 1.B2.A3.B4.C5.B6.C7.C8.C ∠DAE=∠DAB=90',SE为米ACD=SNa最AB· 9.C10.B 导+6/厚-a-2+-2 连接EF,易知SAFCY一SAAFF十S△BCF一 11.612.17,144,14513.8x14.5015.4 因为AD=16cm,BD=5cm,所以AB=281. 16.13 (2)如图②所示，点B与点B‘关于PQ对称，可得 2[e+(a-b)(a+b)]-(a2+c-b), 17.解：(1)在△BDC中，BC=10,BD=6,CD=8. CD=16 cm,B'D=12 em.,优密卷八年级上册数学·B 要移至该门口4m及4m以内时，门铃就会自动发出语音10.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D “欢迎光临”.如图②所示，一个身高1.5m的学生刚走到 在AB边上，AD=AC,AE⊥CD,垂足为点F,与BC交于点 第一章素养提升检测卷 D处，门铃恰好自动响起，则该学生头顶C到门铃A的距 E,则BE的长是( ☑时阁：120分仲金渴分：120分 离为() A.1.5 B.2.5 题号 二 三 总分 cs D.3 得分 51 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 1L.在等腰三角形ABC中，AB=AC=10cm,BC=16cm,则 、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有 图① 图 BC边上的高是 cm. 一个选项符合题目要求) A.7 m B.6 m C.5m D.4 m 12.推理能力观察下列几组勾股数：①3,4,5：②5,12,13： 1.下列长度的三条线段：①9,12,15：②7,24,25：③3,42,52： 7.几何直观某学者用如图所示的方法证明了勾股定理.若设 ④3a,4a,5a(a>0);⑤m2-n2,2mm,m2+n2(m,n为正整 ③7,24,25：④9,40,41：…根据上面的规律，写出第8组勾 图①中空白部分的面积为S,图②中空白部分的面积为 数，且m>n).其中可以构成直角三角形的有( 股数： S。,则下列等式成立的是( A.①②③④⑤ B.①②④⑤ 13,如图所示是某小区健身中心的平面图，活动区是面积为 C.①②④ D.①② 右边部分 200m2的长方形，休息区是直角三角形，则半圆形餐饮区 2.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD 下翻彩 的面积是 平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4, 图2 BD=5,则点D到BC的距离是( 20m m A.3 B.4 A.S:=c B.5,=c2+2ab 活动区 C.5 D.6 C.S=a*+b*+ab D.S=a+6*+2ab 3.已知x,y为正数，且z一6+(y一8)-0，如果以x,y的8.推理能力在△ABC中，以下条件能判定△ABC是直角三 40e 长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的 角形的有() 第13题图 第14题图 斜边为边长的正方形的面积为() ①∠A-∠C-∠B;②三角形三边a,b,e的比为3：4：5； 14.有一块长方形枕巾ABCD,展开后的尺寸如图所示，若用手 A.10 B.100 C.14 D.196 ③∠A:∠B∠C=3:1:5;④a=5,b=12,c=13:⑤三 捏住E点提起枕巾，枕巾下垂的最大长度约是 cm. 线 4.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是10km/h,甲 角形三边a,b,c满足b2=a2-c2. 15.如图所示，直线1上依次摆放着七个正方形.已知斜放的三 客轮沿着北偏东30°的方向航行，3h后到达小岛A,乙客轮 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 个正方形的面积分别是1,2,3，正放的四个正方形的面积 4h到达小岛B.若A,B两岛的直线距离为50km,则乙客 9.推理能力如果正整数a,b,c满足等式a2十b2=c2,那么正 轮离开港口时航行的方向是( 依次是51，S2,Sa,S4,则S1+S:+S,+S,= ) 整数a,b,c叫作勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程 A.北偏西30 B.南偏西601 列成如图所示的形式，观察图中每列数的规律，可知x十y C.南偏东60或北偏西60°D.南偏东60°或北偏西30 的值为( 5.如图所示，一个棱长为3的正方体，把它分 A.47 B.62 C.79 D.98 成3×3×3个小正方体，小正方体的棱长都 第15题图 第16题图 是1.如果一只蚂蚁从点A爬到点B,那么 5 8 6 10 估计A,B间的最短路程d的值为() 15 17 16.如图所示，Rt△ABC纸片的直角边AC落在直线L上， 2410 26 A.4 B.5 C.6 D.7 ∠ACB=90°，AC=5,BC=6,平面内一点O到直线L的距 6.新情境如图①所示，某超市为了吸引顾客，在超市门口离 y65 离为9，Rt△ABC纸片沿直线1左右移动，连接OA,OB, 地高4.5m的墙上，装有一个由传感器控制的门铃A,人只 第9题图 第10题图 则OA+OB的最小值是 三、解答题（本题共6小题，共72分，解答应写出文字说明、证「20.（本小题满分12分）如图①所示，一个圆柱形食品盒，它的22.（本小题满分14分）》数学文化【背景介绍】勾股定理是几何 明过程或演算步骤) 高为10cm,底面圆的周长为32cm 学中的明珠，充满着魅力，如图①所示是著名的“赵爽弦 17.(本小题满分10分)如图所示，在△ABC中，AB=AC, (1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚊 图”，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定 BC=10,点D是线段AB上一点，BD=6,连接CD,CD=8. 它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，求蚂蚁需要爬行 理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于c,另 (1)试说明：CD⊥AB. 的最短路程的平方。 一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和， (2)求△ABC的周长 (2)将图①改为一个无盖的圆柱形食品盆，点C距离下底 面3cm,此时蚂蚊从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B 即2bX4+(6-a),从而得到等式2-名46X4+(6 处（如图②所示），求蚂蚁爬行的最短路程 a)2,化简便得结论a2+b2=c2.这里用两种求法来表示同 一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双 求法”. 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明源源不断， 图① 图②团 18.(本小题满分10分)定义：如图所示，点H,K把线段AB 其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春构造 分割成AH,HK,KB,若以AH,HK,KB为边的三角形 发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和 是一个直角三角形，则称点H,K是线段AB的勾股分 Rt△DEC按如图②所示方式放置，其三边长分别为a, 割点 b,c,∠BCA=∠DEC=90°，显然BA⊥CD. (1)已知H,K把线段AB分割成AH,HK,KB,若AH=21.(本小题满分14分)应用意识五一广场视野开阁，是一处 (1)请用a,b,c分别表示出四边形ACBD,梯形ACED, 4,HK=6,KB=5,点H,K是线段AB的勾股分割点吗？ 设计别致、造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的 △EBD的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明 请说明理由， 理想场所.某校八(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定 勾股定理a2+十b2=c2. (2)已知点H,K是线段AB的勾股分割点，且AH为直角 理”之后，为了测得如图所示风筝的高度CE,他们进行了 (2)【方法迁移】如图③所示，在△ABC中，AD是BC边上 边，若AH=8,AB=24,求BK的长 如下操作： 的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,求x的值 ①测得BD的长为15m(注：BD1CE): ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25m: ③牵线放风筝的小明身高1.7m (1)求风筝的高度CE. (2)过点D作DH⊥BC,垂足为H,求BH的长度 19.(本小题满分12分)如图所示，△ACB和△ECD都是等腰 直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，点D在AB的延长 线上 求证：(1)△ACE≌△BCD. (2)BD2+AD2=ED2.