专题03 分段函数八种常考题型（高效培优专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题03 分段函数八种常考题型 题型一：分段函数-定义域、值域、最值 题型二：分段函数-求值 题型三：分段函数-求解析式 题型四：分段函数-求参数 题型五：分段函数-解不等式 题型六：分段函数与零点问题 题型七：max/min型分段函数问题 题型八：新定义题 题型一：分段函数-定义域、值域 1.函数的值域为（  ） A． B． C． D． 2.已知，，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 4.已知函数，则的最大值是__________ 5.已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 题型二：分段函数-求值 6.已知则（  ） A．1 B． C．2 D．4 7.已知函数，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 8．已知函数，则（  ） A．2 B．0 C．1 D．3 9.已知函数，则 ． 10.已知则方程的解集是 . 题型三：分段函数-求解析式 11.已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 12.已知定义在上的奇函数，当时，. 求函数在上的解析式； 13.最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； 14.已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求函数在上的解析式； 15.已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 题型四：分段函数-求参数 16.已知函数，若，则的值为（  ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 17.已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C． D．2或3 18．设，若，则（  ） A．14 B．16 C．2 D．6 19.设函数，若，则_____________ 20.已知函数且，则_____________ 题型五：分段函数-解不等式 21.已知函数，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 22.设函数，使得的a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 23．设函数则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 24.已知函数，若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 25.已知函数若，则实数a的取值范围是 题型六：分段函数与零点问题 26.设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 27.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（  ） A. B. C. D. 28．已知函数，则方程的实根个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 29．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是 ． 题型七：max/min型分段函数问题 30.设已知函数，则（  ） A． B．0 C．6 D．9 31.已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 32．(多选)定义，设，则下列结论正确的是（  ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 33.记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 34.定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 题型八：新定义题 35.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 36.Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（  ） A． B． C． D． 37．（多选）函数，则下列结论正确的是（  ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．， 38.新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为_________ 39.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则_________ 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 分段函数八种常考题型 题型一：分段函数-定义域、值域、最值 题型二：分段函数-求值 题型三：分段函数-求解析式 题型四：分段函数-求参数 题型五：分段函数-解不等式 题型六：分段函数与零点问题 题型七：max/min型分段函数问题 题型八：新定义题 题型一：分段函数-定义域、值域 1.函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 而当时，，当且仅当时等号成立， 故函数的值域为， 故选：D. 2.已知，，则函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：， 其图象，如图所示： 由图象知：函数y的值域为， 故选：A 3．函数的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 故选：D 4.已知函数，则的最大值是__________ 【答案】56 【解析】当时，， 此时， 当时，在上单调递减， 此时， 综上所述，. 故答案为：56 5.已知函数 (1)求，，的值； (2)求函数的定义域、值域． 【答案】(1)，，. (2)定义域为，值域为 【解析】（1）由函数， ，，. （2）作出图象如图所示．    利用数形结合易知的定义域为，值域为． 题型二：分段函数-求值 6.已知则（  ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】 【解析】因为故， 故选：B. 7.已知函数，则（  ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】D 【解析】由，得， 所以. 故选：D 8．已知函数，则（  ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解析】. 故选：A. 9.已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意知当，，则， 所以. 故答案为：. 10.已知则方程的解集是 . 【答案】 【解析】当时，，若，，此方程恒成立，故； 若，， 因为，，所以方程在时无解； 当时，，，即，解得， 所以方程的解集是. 故答案为：. 题型三：分段函数-求解析式 11.已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式 . 【答案】（答案不唯一） 【解析】由，使得可得， 由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称，如图： 取时，在第三象限显然有一交点，故取符合， 故答案为： 12.已知定义在上的奇函数，当时，. 求函数在上的解析式； 【答案】 【解析】因为为上的奇函数，所以. 当时，则，， 因为为奇函数，所以， 所以当时，， 所以 13.最近南京某地登革热病例快速增长，登革热是一种由登革病毒引起的急性虫媒传染病，主要通过埃及伊蚊和白纹伊蚊传播，为了阻断传染源，南京卫建委在全市范围内组织了蚊虫消杀工作．某工厂针对市场需求开始生产蚊虫消杀工具，经过研究判断生产该工具的年固定成本为50万元，每生产万件，需另外投入成本（万元），，每件工具售价为50元，经过市场调研该厂年内生产的工具能全部销售完，写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； 【答案】 【解析】当时， ， 当时， ， 故 14.已知函数是定义域为的奇函数，当时，． （1）求； （2）求函数在上的解析式； 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， （2）①因为函数是定义域为的奇函数，所以； ②当时，，由得 综上： 15.已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【答案】(1);(2)； 【解析】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故 题型四：分段函数-求参数 16.已知函数，若，则的值为（  ） A．2或 B．2或 C．或 D．1或 【答案】A 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】当时，，解得， 当时，，得， 所以的值是2或． 故选：A 17.已知函数，若，则（  ） A．0 B．2 C． D．2或3 【答案】B 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】当时，则，解得：或（舍去） 当时，则，解得：（舍去） 综上所述： 故选：B. 18．设，若，则（  ） A．14 B．16 C．2 D．6 【答案】A 【分析】对讨论分析即可求解。 【解析】因为的定义域为，则，解得， 若，则，可得，不合题意； 若，则，可得，解得； 综上所述：. 所以. 故选：A. 19.设函数，若，则_____________ 【答案】6 【解析】易得在和上为增函数， ，所以， 由得，解得或（舍去）， 则， 故答案为：6. 20.已知函数且，则_____________ 【答案】-7 【解析】由题意知，当时，， 得，又，所以方程无解； 当时，， 得，即，解得， 所以. 故答案为：-7. 题型五：分段函数-解不等式 21.已知函数，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 根据函数图象，及可知： ，得或， 故选：D 22.设函数，使得的a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况解不等式即可得解. 【解析】当时，，即显然恒成立，所以； 当时，，解得； 综上，的取值范围是． 故选：A. 23．设函数则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意有，作出函数的图象，利用图象得函数的单调性，利用单调性即可求解. 【解析】因为 ，所以，， 则，即， 的函数图象如图所示：    由函数图象可知当时，且在上单调递减， 所以等价于，即， 解得，即. 故选：A. 24.已知函数，若，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 25.已知函数若，则实数a的取值范围是 【答案】 【分析】作出函数的图象，从而得在上单调递增，令，可得上在上单调递增，将问题转化为，即可得答案. 【解析】因为当时，， , 当时，， , 又， 综上，为上的奇函数， 当时，， 由二次函数的性质可知此时函数在上单调递增， 又因为为上的奇函数， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 令， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递增， 则上在上单调递增，且， 则将原不等式转化为， 解得, 所以a的取值范围是． 故答案为： 题型六：分段函数与零点问题 26.设函数，且关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（  ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】当时，；令，得， 由图象可知，欲使方程恰有个不同的实根有，， 所以. 故选：A 27.已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】的图象如下图所示： 由图可知：当时且，则令，所以， 所以，又因为，所以， 所以，令， 所以， 所以，所以. 故选C. 28．已知函数，则方程的实根个数为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解析】，解得或， 当时，，解得，，解得（舍）； 当时，，解得或（舍），，解得或（舍）； 综上，方程的实根为或或， 即方程的实根个数为3个， 故选：A. 29．设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，，()，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出的图象，得到，，并解得，因为的两根为和，所以，，故，换元后求出取值范围. 【解析】画出函数的图象，如下图： 因为关于x的方程恰有3个不同的实数根()， 则，，， 所以或（舍去）， 又，即的两根为和，所以，， ， ， ， 令，则，因为，所以，即， ， 当时，取得最小值，最小值为， 又或3时，， 所以． 故答案为： 题型七：max/min型分段函数问题 30.设已知函数，则（  ） A． B．0 C．6 D．9 【答案】D 【解析】令，解得，则 因此8，故． 故选：D. 31.已知函数，则下列说法正确的是（  ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 【答案】B 【解析】，得或， 所以， 如图，画出函数的图象， 函数的单调递增区间是，最小值，无最大值， 函数不关于轴对称，. 故选：B 32．(多选)定义，设，则下列结论正确的是（  ） A. B. 不等式的解集为 C. 当时，的最大值为 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：ACD. 33.记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【解析】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 34.定义，若函数，则的最大值为 ；若在区间上的值域为，则的最大值为 ． 【答案】 3 【解析】当时，解得或， 所以，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 题型八：新定义题 35.十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数，则下列实数不属于函数值域的是（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】由题意可知 所以，，，而无解. 故选：C. 36.Dirichlet函数是近代分析学的重要研究对象，在微积分中有着非常广泛应用．已知Dirichlet函数的定义为，若，则可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，当时，取，则，此时，A错误； 若，当时，取，则，此时，B错误； 若，当时，取，则，此时，C错误； 若，当时，，此时恒成立，即． 当时，，此时恒成立，即，故任意，均有，D正确． 故选：D. 37．（多选）函数，则下列结论正确的是（  ） A． B．的值域为 C．是偶函数 D．， 【答案】AC 【解析】，，，A正确； ，则的值域为，B错误； 时，，，，所以，时，，，，，所以为偶函数，C正确； 时，取，此时，，则，D错误. 故选：AC 38.新定义一种运算“”，其运算法则为：；例如：．已知，则a的值为_________ 【答案】7 【解析】， 所以当时，，，不满足，舍去； 当时，，，满足，符合题意； 故答案为：7 39.德国著名的数学家高斯是近代数学奠基者，用其名字命名的高斯函数为，其中表示不超过x的最大整数，例如，．定义符号函数，则_________ 【答案】2 【解析】． 故答案为：2． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $