专题07 一元一次方程重难点题型汇编-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新教材）

专题07 一元一次方程重难点题型汇编 【考点1 一元一次方程的定义】..............................................................1 【考点2 一元一次方程的解】................................................................2 【考点3 解一元一次方程】..................................................................2 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】.......................................................4 【考点5 判断解一元一次方程的过程】........................................................5 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】............................................8 【考点7 含绝对值的一元一次方程】..........................................................8 【考点8 一元一次方程-整体法】.............................................................11 【考点9 根据一元一次方程-同解】...........................................................12 【考点10 一元一次方程-错解】..............................................................13 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】...............................................14 【考点1 一元一次方程的定义】 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 5．若方程是关于的一元一次方程，则是（　　） A． B． C． D．1或 6．若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【考点2 一元一次方程的解】 1．若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 2．已知是关于的方程的解，则关于的方程的解是（  ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为 4．已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 5．已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 6．若是方程的解，则代数式的值为 ． 7．已知方程的解为．则代数式的值为 ． 8．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 9．若是方程的解，则值为 ． 【考点3 解一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) (3) (4) 2．解方程： (1)； (2)． 3．解下列方程： (1) (2) 4．解方程： (1) (2) 5．解方程： (1) (2) 6．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 7．解方程： (1) (2) (3) 8．解下列方程： (1)． (2)． 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】 1．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 2．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 3．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 4．对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 6．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【考点5 判断解一元一次方程的过程】 1．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了一道计算题，两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程：． 解：，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ，第⑤步 ．第⑥步 乙同学： 解方程：． 解：，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ，第⑤步 ．第⑥步 (1)解答过程出现错误的同学是 ； (2)请你写出正确的解题过程． 2．解方程：． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 将未知数的系数化为1，得．（第四步） 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 3．下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：解上面的方程． 4．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：……第一步 去括号，得：……第二步 移项，得：……第三步 合并同类项，得：……第四步 系数化1，得：……第五步 (1)以上求解步骤中，第一步的依据是_____________． (2)上述小蒙的解题过程从第_____________步开始出现错误，具体的错误是_____________． (3)该方程正确的解为_____________． 5．花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得．…① 去括号，得．…② 移项，得．…③ 合并同类项，得．…④ 系数化为1，得．…⑤ (1)上面的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是____________________； (2)请完整地写出正确的解答过程． 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 1．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（    ） A． B． C． D． 2．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得．仿此，将无限循环小数化为分数的结果为（    ） A． B． C． D． 3．阅读材料： 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数． 设①，则②，由得：，即． 所以． 根据以上材料，回答下列问题： (1)把化成分数为______； (2)写出把化成分数的过程． 【考点7 含绝对值的一元一次方程】 1．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 2．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 3．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探索】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离； 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ； 【拓展延伸】 （4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ． 4．表示4和1的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示4和1的两点之间的距离；也可以看作，表示4和的差的绝对值，也可理解为数轴上表示4和两点之间的距离．根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：________； (2)计算：________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数x有几个？ 5．对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 6．对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【考点8 一元一次方程-整体法】 1．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 2．平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 3．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 4．在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 【考点9 一元一次方程-同解】 1．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 2．若方程和关于的方程的解相同，求的值． 3．已知是常数，如果关于的方程的解与关于的方程的解相同． (1)求的值； (2)若多项式与多项式互为相反数，求多项式的值． 4．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 5．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求m的值． 【考点10 一元一次方程-错解】 1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 2．某同学在解关于y的方程1去分母时、忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 3．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】 1．（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 2．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 3．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 4．已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 一元一次方程重难点题型汇编 【考点1 一元一次方程的定义】..............................................................1 【考点2 一元一次方程的解】................................................................3 【考点3 解一元一次方程】..................................................................6 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】.......................................................12 【考点5 判断解一元一次方程的过程】........................................................16 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】............................................20 【考点7 含绝对值的一元一次方程】..........................................................22 【考点8 一元一次方程-整体法】.............................................................29 【考点9 根据一元一次方程-同解】...........................................................32 【考点10 一元一次方程-错解】..............................................................35 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】...............................................37 【考点1 一元一次方程的定义】 1．下列方程是一元一次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐一判断即可求解，熟记：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，故符合题意； B、有两个未知数，不是一元一次方程，故不符合题意； C、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，故不符合题意； D、含不是整式的项，不是一元一次方程，故不符合题意； 故选：A． 2．下列方程中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义进行逐一判断即可：只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程． 本题主要考查了一元一次方程的定义，熟知定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意； B、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数的次数不是1，不是一元一次方程，不符合题意； 故选A． 4．已知是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，即可进行解答． 【详解】解： 是关于x的一元一次方程， ， ． 故选C． 5．若方程是关于的一元一次方程，则是（　　） A． B． C． D．1或 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，理解一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，由且 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， 且， 解得， 故选：C． 6．若方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的次数是一次的方程；根据此概念得：，再求解即可． 【详解】解：由于方程是关于的一元一次方程， ∴， 解得：； 故答案为：． 【考点2 一元一次方程的解】 1．若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（  ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题关键． 根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案． 【详解】解：将代入得，， 解得， 故选：A． 2．已知是关于的方程的解，则关于的方程的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了已知方程的解，求参数；将代入得：，解得：；据此即可求解． 【详解】解：将代入得：， 解得：； 将代入方程，得：， 解得：， 故选：C． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为 【答案】7 【分析】把解代入方程，解方程求得a值即可． 本题考查了一元一次方程的解，即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴, 解得， 故答案为：7． 4．已知方程中被方块“■”盖住的是一个常数，若该方程的解为．则这个常数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，设这个常数为a，把代入方程得出，再求出a即可． 【详解】解：设这个常数为， 将代入，得：， 解得， 故答案为：12． 5．已知是关于x的一元一次方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程．由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得，， 故答案为：． 6．若是方程的解，则代数式的值为 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了方程的解和代数式求值，解本题的关键在于能够熟练掌握方程解的定义．根据a是方程的解，得出，再根据求解即可． 【详解】解：∵a是方程的解， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 7．已知方程的解为．则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据方程的解为，可以求得的值，然后整体代入所求式子计算即可． 【详解】解：方程的解为， ， ， ， 故答案为：． 8．若关于的方程的解是，则代数式的值为 ． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元一次方程的解，求代数式的值，由题意可得，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：是方程的解， ，即， ． 故答案为：2026． 9．若是方程的解，则值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查了方程的解以及代数式的运算，得到“”是解决本题的关键． 先将代入方程，可得，再整体代入代数式求解即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴． 故答案为：2024 ． 【考点3 解一元一次方程】 1．解方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键． （1）移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （4）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可． 【详解】（1）解： 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得； （4）解： 整理得，， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤有去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为． （1）根据合并同类项，系数化为即可； （2）根据移项、合并同类项、系数化为求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 3．解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：整理得， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 4．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，即可作答． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化1得． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． (1)先算括号，移项，合并同类项，最后把系数化“1”，即可得到答案； (2)方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为“1”，即可得到答案． 【详解】（1）解： （2）解： 6．解下列一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握其解法是解题的关键． （1）去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： （2）解： . 7．解方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）利用移项，合并同类项解方程即可； （2）利用去括号，移项，合并同类项解方程即可； （3）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得； （2）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （3）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 8．解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解． 【详解】解：（1）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 故答案为：． （2）方程整理，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤． 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】 1．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为， 所以， 解得． 2．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据新运算的法则，进行计算即可． （2）根据新运算的法则，得到一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：． 3．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式 ； （2）解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， ， ， ． 4．对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意，得， 即， 解得． 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及解一元一次方程； （1）按规定的运算程序运算求值即可； （2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ 整理得， 解得： 6．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据新定义的法则，进行计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可． 理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由图可知：，， ∴ ∴； （3）∵，， ∴转化为：， ∴． 【考点5 判断解一元一次方程的过程】 1．学习了一元一次方程的解法后，老师布置了一道计算题，两位同学的解答过程分别如下： 甲同学： 解方程：． 解：，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ，第⑤步 ．第⑥步 乙同学： 解方程：． 解：，第①步 ，第②步 ，第③步 ，第④步 ，第⑤步 ．第⑥步 (1)解答过程出现错误的同学是 ； (2)请你写出正确的解题过程． 【答案】(1)甲和乙 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解答本题的关键． （1）由题意可知，甲和乙都在去分母时出现错误； （2）根据解一元一次方程的一般步骤即可得出答案． 【详解】（1）甲在第②步开始出现错误，乙在第①步开始出现错误． 故答案为：甲和乙； （2）解： 去分母，得， 去括号；得， 移项，得， 合并同类项，得：， 将x的系数化为1，得． 2．解方程：． 解：去括号，得，（第一步） 移项，得，（第二步） 合并同类项，得，（第三步） 将未知数的系数化为1，得．（第四步） 以上解方程正确吗？若不正确，请指出错误的步骤，并给出正确的解答过程． 【答案】不正确，第一步错误．见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程．根据解一元一次方程的步骤求解即可．在去括号得时候记得每一项多要乘括号前面的系数以及符号的改变． 【详解】解：不正确，第一步错误．正确的解答过程如下： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 将未知数的系数化为1，得． 3．下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母得：（第一步） 去括号得：（第二步） 移项得：（第三步） 合并得：（第四步） 系数化为1得：（第五步） (1)任务一：填空． ①以上求解步骤中，第一步的依据是______． ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． (2)任务二：解上面的方程． 【答案】(1)①等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；②三；移项时，常数项从等号的左边移到等号的右边没有变号 (2) 【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键． （1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案； ②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程． 【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立， 故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立； ②第三步开始出现错误， 原因是：移项时，常数项从等号的左边移到等号的右边没有变号， 故答案为：三；移项时，常数项从等号的左边移到等号的右边没有变号； （2）解： 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并得： 系数化为1得：． 4．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小蒙同学的解题过程： 解方程： 解：去分母，得：……第一步 去括号，得：……第二步 移项，得：……第三步 合并同类项，得：……第四步 系数化1，得：……第五步 (1)以上求解步骤中，第一步的依据是_____________． (2)上述小蒙的解题过程从第_____________步开始出现错误，具体的错误是_____________． (3)该方程正确的解为_____________． 【答案】(1)等式的基本性质 (2)一，去分母没有加括号 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）根据解一元一次方程的步骤和等式的性质求解； （2）检查解题过程，可发现第一步去分母没有带括号； （3）先去分母、去括号，再移项，然后合并后把x的系数化为1即可． 【详解】（1）解：第一步的依据是：等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； （2）解：第一步开始出现错误，错误的原因是去分母没有加括号； 故答案为：一，去分母没有加括号； （3）解：去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化1，得：， 故答案为：． 5．花花同学完成了一道解一元一次方程的作业题，解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得．…① 去括号，得．…② 移项，得．…③ 合并同类项，得．…④ 系数化为1，得．…⑤ (1)上面的解题过程从第__________步开始出现错误，错误的原因是____________________； (2)请完整地写出正确的解答过程． 【答案】(1)②,去括号没变符号且漏乘括号外面的数 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），观察解题去括号过程可以得出答案； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，得出答案． 【详解】（1）解：上面的解题过程从②步开始出现错误，错误原因是去括号没变符号且漏乘括号外面的数； 故答案为：②，去括号没变符号且漏乘括号外面的数； （2）去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得． 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 1．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据例题方法直接计算即可得到答案； 【详解】解：设，则， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查循环小数转化分数，解题的关键是读懂题目中方法． 2．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得．仿此，将无限循环小数化为分数的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，再依据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设， 则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是正确设出未知数，列出一元一次方程． 3．阅读材料： 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数． 设①，则②，由得：，即． 所以． 根据以上材料，回答下列问题： (1)把化成分数为______； (2)写出把化成分数的过程． 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了小数与分数的互化，解一元一次方程： （1）设①，则②，再仿照题意求解即可； （2）设①，则②，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ∴由得， 解得， ∴； （2）解：设①，则②， ∴由得， 解得， ∴． 【考点7 含绝对值的一元一次方程】 1．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和； （2）解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； （3）解：当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去． 所以，原方程分解为或 2．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 【答案】（1）4；；（2）；（3）成立的x的值是或3 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； （3）如图： 当时，， 当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述：成立的x的值是或3． 3．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探索】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离； 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ； 【拓展延伸】 （4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ． 【答案】（1）3；5；（2）；（3）或4；（4）3或5或7 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值； （4） 根据P、Q分别为整数x、y，分类讨论即可解答 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：3，5； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离， 故答案为：； （3）如图： ， 当时， 当时，， 令，得； 当时，， 令，得； 综上所述：成立的x的值是或4； 故答案为：或4． （4）根据题意得：，都是整数， 分三种情况讨论： ①当，时， ，或， ∴或7； ②当，时， 或1，或， ∴或3或7； ③当，时， 或0，， ∴或3； 综上所述：P、Q两点之间的距离是3或5或7． 故答案为：3或5或7． 4．表示4和1的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示4和1的两点之间的距离；也可以看作，表示4和的差的绝对值，也可理解为数轴上表示4和两点之间的距离．根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：________； (2)计算：________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数x有几个？ 【答案】(1)5； (2)7； (3)2或； (4)6个． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，明确数轴上的点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据绝对值定义计算即可； （2）根据绝对值定义计算即可； （3）根据题意，找到在数轴上与距离5个单位长度的点即可； （4）根据题意，找出在数轴上到的距离与到2的距离之和为5的所有整数即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）， 故答案为：7； （3）表示数轴上表示x和两点之间的距离为5． 所以整数x为2或； （4）表示数轴上表示x的点到的距离与到2的距离之和为5， 所以整数x为，一共6个． 5．对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【答案】(1)4；1； (2)或－2 (3)或或或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解； （3）分两种情形，根据绝对值方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，或－2； （3）异号， ，或，， 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，则， ， 或； 若，时，则， ， ，（不符合题意舍去） 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，， 或； 若，时， ， ， （不符合题意舍去） 综上：或或或． 6．对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数比较大小，化简绝对值，解一元一次方程，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，然后解方程即可； （）由，则，，故有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 【考点8 一元一次方程-整体法】 1．在学习中我们掌握了代入法、消元法解方程，整体法、换元法也是初中需要掌握的一种思想方法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来；或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．例如，设，则原方程变形为，……，解得，即，所以原方程的解为． (1)补充求解的过程． (2)用换元法解方程． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是利用换元的思想解方程，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握换元思想将复杂的问题转化为简单的问题， （1）根据解一元一次方程的法则解答即可， （2）利用换元的思想解答即可； 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：． （2）解：， 设，则原方程可变形为， ， ， ， ， ， ， ∴， 解得． 2．平顶山某初中数学小组学完“一元一次方程”后，对一种新的求解方法进行了交流，请你仔细阅读． 小明：对于，我采取的去括号移项的方法，计算比较繁琐． 小亮：我有一种方法——整体求解法．可先将、分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解． 小明：你的这种方法比我的要简便一些，我尝试一下．… (1)请你继续进行小亮的求解． (2)请利用小亮的方法解下面的方程：． 【答案】(1)；过程见解析 (2) 【分析】本题考查解一元一次方程—拓展，正确计算是解题的关键： （1）根据整体求解法求解即可； （2）根据整体求解法求解即可． 【详解】（1）解：解方程， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解， 将看作一个整体， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， ． 3．在解一元一次方程时，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果．例如，在解方程时，把看作一个整体． 令，得：， 去括号，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程： 【答案】x= 【分析】把x+2看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解：令a=x+2，则2a=2x+4， 原方程得：， 去括号，得：4a-20=1， 移项，得：4a=21， 系数化为1，得：a=． 故x+2=， 解得x=． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键． 4．在解方程时，可先将分别看成整体进行移项、合并同类项，得方程，然后再继续求解，这种方法叫作整体求解法，请用这种方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程的应用，注意用了整体代入思想，即将，分别看成整体来合并．移项、合并同类项、去分母、移项、合并同类项、系数化成1即可． 【详解】解：， 将，分别看成整体进行移项，合并同类项，得． 去分母，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 方程两边同除以33， 得． 【考点9 一元一次方程-同解】 1．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 整理得：， 得：， 由题意：的解为， 代入得：，    解得：． 2．若方程和关于的方程的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查同解方程，同解方程指解相同的方程，先解方程得出，把代入方程，解关于的方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解同 ∴把代入方程，得 解这个方程，得 故的值为5． 3．已知是常数，如果关于的方程的解与关于的方程的解相同． (1)求的值； (2)若多项式与多项式互为相反数，求多项式的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分别解两个方程，根据同解方程的定义，得到关于m的方程，即可求出答案； （2）根据多项式与多项式互为相反数和m的值，即可求出n的值，再计算即可． 【详解】（1）解：解可得， 解可得， ∴，解得； （2）解：∵多项式与多项式互为相反数， ∴，即 又∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了同解方程，相反数和代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 4．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，解方程，可得，再代入求解的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：． 5．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答； （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得m的值． 本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴； （2） 移项合并同类项得，， 系数化1得， 原方程为：， 把代入得：， 解得，． 【考点10 一元一次方程-错解】 1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 2．某同学在解关于y的方程1去分母时、忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 【答案】（1）；（2）原方程的解为． 【分析】（1）按照该同学去分母的方法得到，把代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案； （2）把代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可. 【详解】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为， 此时方程的解为， 代入得   整理得： 解得 （2）将代入方程， 得 去分母： 去括号： 整理得： 解得 即原方程的解为 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1”是解本题的关键. 3．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 【答案】（1）m=-4   （2）x=-4 【分析】（1）将错就错，把x的值代入小明去分母出错的方程求出m的值即可； （2）把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】解：（1）根据小明去分母得：4x-2=2x+m-1， 把x=-代入方程得：-6-2=-3+m-1， 解得：m=-4； （2）把m=-4代入得：， 去分母得：4x-2=2x-4-6， 移项得：4x-2x=-4-6+2， 合并得：2x=-8， 解得：x=-4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】 1．（1）的值比的值小1，求的值． （2）取何值时，代数式与的差为1． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的应用． （1）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值； （2）根据题意，可建立方程，解方程即可求得的值． 【详解】解：（1）由题意得：， 方程两边同乘6，得 ， 去括号得： ， 移项，合并同类项得：， 解得：； （2）根据题意得， 去括号得： ， 移项合并同类项得：， 解得：． 2．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 3．如果关于x的方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据倒数的性质得到新的方程是解题的关键． 分别求出每个方程的解，然后根据倒数的性质得到关于a的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， 因为两个方程的解互为倒数，所以， 解得． 4．已知关于的方程的解比方程的解大，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识，掌握一元一次方程解的定义以及解一元一次方程等知识是解答本题的关键． 首先由方程，用表示，然后由第二个方程，再用表示，因为两个解的值相差，列出方程求出的值即可． 【详解】解：解关于的方程，得：， 解关于的方程，得：， 因为关于的方程的解比方程的解大， 所以，解得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $