精品解析：四川省雅安市名山区第三中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

名山三中2025-2026学年高二上期期中数学测试题 一、单选题（40分） 1. 我校学生会招纳学生会干部，甲、乙两名同学分别从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，则这两名同学加入同一个部门的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出基本事件总数，再求出这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数，由此能求出这两名同学加入同一个社团的概率． 【详解】甲乙两名同学分别从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，基本事件总数， 这两名同学加入同一个社团包含的基本事件个数， 所以这两名同学加入同一个社团的概率是 故选B. 【点睛】本题主要考查了古典概型的计算公式，属于基础题. 2. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用互斥事件和对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A：当向上的点数为3时，事件A与B同时不发生，所以A错误； 对于选项B：事件B与C不能同时发生，且事件B与C必有一个发生，所以B正确； 对于选项C：当向上的点数是2或4时，事件A与事件C同时发生，所以C错误； 对于选项D：当向上的点数是6时，事件A与事件B能同时发生，所以D错误. 故选：B． 3. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可设，即，解得. 故选：C 4. 已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点M关于平面对称的点为，利用的中点为列式求解即可. 【详解】设点M关于平面对称的点为，则的中点为， 从而，解得，所以. 故选：D 5. 已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由的坐标易证，分别求出，再代入的面积公式即可. 【详解】因为， 所以直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以，所以是直角三角形. 因为， 所以的面积. 故选：B. 6. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算求解即可. 【详解】连接BD，E为PD的中点，    ． 故选：B． 7. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】根据一般式方程中两直线平行的条件得到方程，求出参数的值，再代入检验即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得或； 当时，直线与直线平行，符合题意； 当时，直线与直线平行，符合题意； 综上可得或. 故选：D 8. 设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围，数形结合求出临界值，从而求出的取值范围，即可得解. 【详解】如图，令，则的取值范围等价于直线的斜率的取值范围， 点，，点是线段（含端点）上任一点， ，， 或， 的取值范围是． 故选：A． 二、多选题（18分） 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A根据包含事件的定义可得，对B根据互斥事件的定义及概率的加法公式可得，对C、D则根据相互独立事件的定义及公式可得. 【详解】对A选项：由，所以，， 因此，，故A正确； 对B选项：若与互斥，因此是不可能事件，所以， 再由概率的加法公式，故B正确； 对C选项：若与相互独立，则与也相互独立，. 因表示“A不发生且B不发生”，即，且与也相互独立， 所以，故C错误； 对D选项：因与相互独立，所以， 再由概率的加法公式，故D正确. 故选：ABD. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，，，且，， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC 11. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 【答案】BCD 【解析】 【分析】A先求斜率，进而可得倾斜角；B利用两点的斜率公式即可判断；C求出直线上的点关于点的对称点，确定对称点横纵坐标关系判断；D根据两点式方程的变形进行判断即可. 【详解】对于A，直线的斜率，结合倾斜角范围知，直线倾斜角为，故错误； 对于B，，，显然所在直线的斜率相同且有共同点，则三点共线，故正确； 对于C，设直线上点，其关于点的对称点为， 所以，则，则，即， 所以直线关于点对称的直线方程是，故正确； 对于D，方程为直线两点式方程的变形， 可以表示经过任意两不同点，的直线，故正确. 故选：BCD 三、填空题（18分） 12. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 【答案】 【解析】 【分析】灯亮即开关闭合，且，至少有一个闭合，结合对立事件和独立事件的概率可解得结果. 【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥， 所以， 故答案为：. 13. 设直线则直线恒过定点__________；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】将直线变形为，即可求出定点坐标；分析可得点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆，求出圆心和半径，根据表示圆上的点H与原点O距离的平方，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，解得，所以直线恒过定点为； 因为，所以点H的轨迹是以原点O和定点为直径端点的圆， 则圆心为，半径， 所求表示圆上的点H与原点O距离的平方，即 因为点H到原点O的距离最大值为圆心到原点O的距离加上半径r， 所以， 所以的最大值为. 故答案为：； 14. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 【答案】 【解析】 【分析】法1，求出直线与的交点坐标，利用直线上的点到直线与的距离相等，列式计算得解；法2，利用直线关于特殊直线对称结论求解. 【详解】（方法1）联立，得两直线的交点为， 设直线的方程为， 直线上的点到直线与的距离相等，即， 解得或（舍去），故的方程是. 故答案为：. （方法2：直线关于特殊直线对称）利用直线关于直线的对称直线为. 所以关于直线对称的直线为：，即. 故答案为：. 四、解答题： 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的中点，进而根据两点式求解或求出斜率，再用点斜式求解即可； （2）先求出直线的斜率，根据可得，进而利用点斜式求解即可； （3）先求出的中点，根据题设易得，进而利用点斜式求解即可. 【小问1详解】 由已知得的中点，即， 解法一：边上的中线的两点式方程为，即； 解法二：边上的中线的斜率为， 所以中线的方程为：，即. 【小问2详解】 因为， 又，则，所以， 则直线的方程为，即. 【小问3详解】 由已知得的中点，即， 因为分别是线段的中点，所以，即， 又，所以， 则直线所在直线的方程为：，即. 16. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 【答案】（1）实数和的值分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）由模长的坐标表示可得的值，由题意可得，利用向量线性运算和数量积的坐标表示列方程即可求解； （2）由空间向量基本定理设，利用坐标表示列方程组即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，解得：，所以 且， 因为向量与垂直， 所以．可得， 即，解得： 所以实数和的值分别为和． 【小问2详解】 因为向量与向量，共面，所以设， 所以， 所以，所以，所以实数的值为． 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为70；分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得； （2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可； （3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解． 【小问1详解】 因为第三、四、五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即，所以. 【小问2详解】 根据频率直方图可知，众数为； 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为． 【小问3详解】 第四、第五两组志愿者分别有20人，5人， 故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，第五组志愿者人数为1，设为， 这5人中选出2人，所有情况有 ，共有10种情况， 其中选出的两人来自不同组的有，共4种情况， 故选出的两人来自不同组的概率为． 18. 分别根据下列条件，求圆的方程： （1）过点，，且圆心在直线上； （2）过、、三点． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心坐标为，由，解出，可求得圆心和半径，得到圆的方程； （2）设直线的一般式方程，代入、、三点，求出系数即可. 【小问1详解】 圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆过点，，则有 即，解得， 可得圆心坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 设过、、三点的圆的方程为， 则有，解得， 故所求圆的方程为. 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． （1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3） 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得，平面的法向量为， 由平面平面，得， 得， 得， 故存在点E，使得平面平面，此时． 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及平面的一个法向量，利向量公式即可求解. （3）令，求出平面的法向量，再由两平面垂直得进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，由图知为锐角， 则， 故二面角的余弦值为：． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名山三中2025-2026学年高二上期期中数学测试题 一、单选题（40分） 1. 我校学生会招纳学生会干部，甲、乙两名同学分别从“纪检部”、“卫生部” 、“宣传部”三个部门中选取一个部门加入，则这两名同学加入同一个部门的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（   ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 3. 已知向量，若与共线，则的值为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 4. 已知点是空间直角坐标系中的一点，下列点的坐标与点M关于平面对称的点是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个顶点分别为，则的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. D. 20 6. 在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，用表示，则（ ） A. B. C. D. 7. 如果直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. C. 0或1 D. 0或 8. 设点，，若点在线段上（含端点），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 以上都不对 二、多选题（18分） 9. 已知事件，且，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果与互斥，那么 C. 如果与相互独立，那么 D. 如果与相互独立，那么 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 11. 下列说法正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 点在同一条直线上 C. 直线关于点对称的直线方程是 D. 经过任意两个不同点的直线都可用方程表示 三、填空题（18分） 12. 在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是____ 13. 设直线则直线恒过定点__________；若过原点作直线的垂线，垂足为，则最大值为__________. 14. 直线关于直线对称的直线的方程是________. 四、解答题： 15. 如图所示，已知三角形的三个顶点为，求： （1）边上的中线所在直线的方程； （2）边上的高所在直线的方程； （3）设分别是线段的中点，求直线所在直线的方程. （注意：最后结果统一用一般式表示） 16. 已知向量，，． （1）当时，若向量与垂直，求实数和的值； （2）若向量与向量，共面，求实数的值． 17. 某高校承办了2025怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 18. 分别根据下列条件，求圆的方程： （1）过点，，且圆心在直线上； （2）过、、三点． 19. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为直角梯形，其中，，． （1）取线段PA中点M，连接BM，证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）线段PC上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $