专题10 一元一次方程重难点题型汇编-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题10 一元一次方程重难点题型汇编 【考点1 一元一次方程的定义】............................................................1 【考点2 一元一次方程的解】..............................................................1 【考点3 解一元一次方程】................................................................2 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】.....................................................3 【考点5 判断解一元一次方程的过程】......................................................4 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】.........................................7 【考点7 含绝对值的一元一次方程】........................................................8 【考点8 一元一次方程-整体法】...........................................................11 【考点9 一元一次方程-同解】.............................................................12 【考点10 一元一次方程-错解】............................................................13 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】.............................................14 【考点1 一元一次方程的定义】 1．下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 3．已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 4．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【考点2 一元一次方程的解】 1．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 2．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【考点3 解一元一次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程： (1)； (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1) (2)． (3)． 5．解方程： (1) (2) 6．解方程： (1)； (2)． 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】 1．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 2．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 3．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 4．对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 6．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【考点5 判断解一元一次方程的过程】 1．小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 2．已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)当，，求的值． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“友好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求a的值． 4．小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 5．小丽做作业时解一元一次方程的步骤如下： 解：去分母，得    ……第一步 去括号，得    ……第二步 移项，得    ……第三步 合并同类项，得    ……第四步 系数化为1，得    ……第五步 (1)去分母的依据是________；小丽的解答过程正确吗？答：________（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是第________步．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 6．下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 合并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你求出该方程的解． 7．对于方程，小华同学的解法如下： 解：将原方程化为．…第一步 ，得．…第二步 去括号，得．…第三步 移项、合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 8．下面是李红同学解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：   去分母，得，① 去括号，得，② 移  项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)聪明的你知道李红的解答过程在第__________（填序号）步出现了错误，出现错误的原因是违背了__________． A．等式的基本性质1   B．等式的基本性质2   C．去括号法则   D．加法交换律 (2)请你写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提一条合理化建议． 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 1．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（    ） A． B． C． D． 2．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得．仿此，将无限循环小数化为分数的结果为（    ） A． B． C． D． 3．阅读材料： 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数． 设①，则②，由得：，即． 所以． 根据以上材料，回答下列问题： (1)把化成分数为______； (2)写出把化成分数的过程． 【考点7 含绝对值的一元一次方程】 1．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 2．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 3．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探索】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离； 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ； 【拓展延伸】 （4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ． 4．表示4和1的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示4和1的两点之间的距离；也可以看作，表示4和的差的绝对值，也可理解为数轴上表示4和两点之间的距离．根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：________； (2)计算：________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数x有几个？ 5．对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 6．对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【考点8 一元一次方程-整体法】 1．阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 2．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 3．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）【知识呈现】中的代数式化简的结果为________；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为4，求代数式的值； 【灵活运用】 （3）求中的值． 4．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【考点9 一元一次方程-同解】 5．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 6．若方程和关于的方程的解相同，求的值． 7．已知是常数，如果关于的方程的解与关于的方程的解相同． (1)求的值； (2)若多项式与多项式互为相反数，求多项式的值． 8．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 9．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求m的值． 【考点10 一元一次方程-错解】 1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 2．某同学在解关于y的方程1去分母时、忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 3．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】 1．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 2．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 3．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 4．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 5．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 6．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次方程重难点题型汇编 【考点1 一元一次方程的定义】...........................................................1 【考点2 一元一次方程的解】.............................................................3 【考点3 解一元一次方程】...............................................................4 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】....................................................8 【考点5 判断解一元一次方程的过程】.....................................................12 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】........................................19 【考点7 含绝对值的一元一次方程】.......................................................20 【考点8 一元一次方程-整体法】..........................................................27 【考点9 一元一次方程-同解】............................................................30 【考点10 一元一次方程-错解】...........................................................33 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】........................................... 35 【考点1 一元一次方程的定义】 1．下列选项中是一元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义判断即可．本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是方程，故此选项不符合题意； B、没有未知数，不是方程，故此选项不符合题意； C、是不等式，不是方程，故此选项不符合题意； D、是一元一次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 2．若是关于的一元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了通过一元一次方程求参数，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义，未知数的指数必须是1且系数不为零，得到且，求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴ 且， 由，得，所以或 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件， 故答案为：． 3．已知方程是关于x的一元一次方程，则 ． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(a，b是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于x的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 4．已知是关于x的一元一次方程，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是 1 （次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a， b是常数且）．根据一元一次方程的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， 且， 解得：． 故答案为：． 【考点2 一元一次方程的解】 1．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 2．若是一元一次方程 的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得出，代入代数式计算即可． 【详解】解： 是一元一次方程 的解 ， ， 故选：A ． 3．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义．先把方程的解代入方程得：，再把所求代数式的前两项提取公因式2，然后把整体代入求值即可． 【详解】解：把代入方程得：， 故答案为：． 【考点3 解一元一次方程】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可； （）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤（移项、去分母、合并同类项、系数化为1），并注意移项时要变号、去分母时方程两边每一项都需乘各分母的最小公倍数． （1）方程不含分母和括号，先通过移项将含未知数的项移到右边、常数项留在左边（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）方程含分母，先找分母2和3的最小公倍数6去分母（每一项均乘6，避免漏乘常数项），再移项、合并同类项即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母（两边同乘6），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． 按去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的顺序求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ． （2） ， ， ， ， ， ． 4．解方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，即可求出解，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）方程去括号，移项合并同类项，将x系数化为1，即可求出解； （2）方程移项后再合并，将y系数化为1，即可求出解； （3）方程去分母，去括号，移项合并，将y系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：； （3）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：； 系数化为1，得：． 5．解方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． （1）先移项，再合并同类项，最后化一次项系数为1； （2）先两边同时乘以6去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后化一次项系数为1． 【详解】（1）解：， 移项得， 合并得， 系数化为1得； （2）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【考点4 新定义运算-解一元一次方程】 1．对于任意有理数a、b、c、d，定义新运算：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和有理数的混合运算，能正确根据有理数的运算法则进行计算是解（1）的关键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． （1）已知等式利用题中的新定义运算计算即可； （2）已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到的值． 【详解】（1）解： ． （2）解：因为， 所以， 解得． 2．用“#”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：． (1)求的值． (2)，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，解题的关键是理解题意，熟练掌握相关的运算法则． （1）根据新运算的法则，进行计算即可． （2）根据新运算的法则，得到一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ ； （2）解：∵， ∴， 解得：． 3．定义一种新运算“※”：对于有理数x和y，．例如：． (1)直接写出________； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】（1）解：根据题中的新定义得： 原式 ； （2）解：已知等式利用题中的新定义化简得： ， ， ， ． 4．对于有理数定义一种新运算“※”，规定：，例如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义运算，解题的关键是熟练掌握新定义． （1）根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （2）首先根据新定义，以及有理数的混合运算的运算方法，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意，得， 即， 解得． 5．“⊙”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：，如：． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算、有理数的混合运算及解一元一次方程； （1）按规定的运算程序运算求值即可； （2）根据新运算，先把方程转化为一元一次方程，再求x的值． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）∵ ∴ 整理得， 解得： 6．对于有理数a，b，定义两种新运算“※”与“◎”，规定：，，例如，． (1)计算的值； (2)若a，b在数轴上的位置如图所示，化简； (3)若，求x的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，一元一次方程的应用． （1）根据新定义的法则，进行计算即可； （2）根据点在数轴上的位置，判断的符号，再根据新定义的法则，进行计算即可； （3）根据新定义的法则，列出方程进行求解即可． 理解新运算的法则，正确的列出算式和方程，是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）由图可知：，， ∴ ∴； （3）∵，， ∴转化为：， ∴． 【考点5 判断解一元一次方程的过程】 1．小舟同学解方程的过程如下．请你判断小舟同学的解法是否正确．若不正确，请写出正确的解答过程． 解：去分母，去括号，得． 移项、合并同类项，得． 系数化为1，得． 【答案】小舟同学的解法不正确．见解析 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把系数化为1即可，掌握解法步骤是解本题的关键． 【详解】解：小舟的解法错误， ， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． 2．已知． (1)判断与是否相等，并说明理由； (2)当，，求的值． 【答案】(1)相等，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了等式的性质、解一元一次方程，解决本题的关键是根据等式的基本性质进行变形． 首先根据等式的基本性质把等式的两边同时乘以分母的最小公倍数，可得，然后再根据等式的基本性质把等式的两边同时加上可得； 把，代入，得到关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可． 【详解】（1）.解：， 理由如下， ， ， ， ， ， ； （2）解：把，代入， 得到：， ， ， ， ． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“友好方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程与方程是“友好方程”，求a的值． 【答案】(1)是“友好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“友好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出方程的解，然后根据“友好方程”的定义得出的解，进而求出a的值即可． 【详解】（1）解：方程的解为， 方程的解为， 因为， 所以它们为“友好方程”； （2）解：方程的解为， 因为关于x的方程与方程是“友好方程”， 所以关于x的方程的解为， 所以把代入方程， 解得． 4．小强解方程的过程如下： 解：去分母，得，第①步 去括号，得，第②步 移项，合并同类项，得，第③步 系数化为1，得．第④步 他把代入原方程后发现方程左、右两边的值不相等，小强因此意识到自己解错了． 他从第______步开始出错，请给出正确的解答过程． 【答案】①，见解析． 【分析】本题考查了解一元一次方程． 根据去分母时1没有乘以12可知第①步开始出错，根据解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：小强在去分母时1没有乘以12，则他从第①步开始出错， 解方程如下： 去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 故答案为：① 5．小丽做作业时解一元一次方程的步骤如下： 解：去分母，得    ……第一步 去括号，得    ……第二步 移项，得    ……第三步 合并同类项，得    ……第四步 系数化为1，得    ……第五步 (1)去分母的依据是________；小丽的解答过程正确吗？答：________（“正确”或“不正确”）．若不正确，请指出她解答过程中最早出现错误的步骤是第________步．（填序号） (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)等式的性质2；不正确；一 (2)见解析 【分析】本题考查了对一元一次方程求解步骤的掌握情况，熟练掌握一元一次方程的求解方法是解题的关键． （1）去分母操作依据等式的基本性质2（等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等 ），在方程两边同时乘分母的最小公倍数来去掉分母．然后通过依次检查小丽解方程的每一步骤，依据去括号、移项、合并同类项、系数化为1等规则，找出最早出现错误的步骤； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 的标准步骤，逐步求解方程得出正确结果． 【详解】（1）解：去分母的依据是等式的基本性质2，小丽的解答不正确，她解答的过程中最早出现错误的步骤是第一步． 故答案为：等式的基本性质2；不正确；一； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 6．下面是小明解方程的过程： 解：去分母，得，（第一步） 去括号，得，（第二步） 移项，得，（第三步） 合并同类项，得，（第四步） 系数化为1，得．（第五步） 根据解答过程完成下列任务． 任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是______； ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请你求出该方程的解． 【答案】任务一：①等式的基本性质2；②三，移项时要变号；任务二：见解析 【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握等式的基本性质以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①回忆等式的性质，判断去分母这一步骤所依据的性质．②依次检查每一步骤，找出错误步骤并分析原因． 任务二：按照解一元一次方程的一般步骤，即去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，逐步求解方程． 【详解】解：任务一 ①等式的基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），等式仍然成立．在第一步去分母时，方程两边同时乘8，依据的就是等式的基本性质2． ②第三步开始出现错误．移项的依据是等式的基本性质1，移项时要变号，而在这一步中，从右边移到左边应该变为但小明没有正确变号，没有移项却改变了符号． 任务二， 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 7．对于方程，小华同学的解法如下： 解：将原方程化为．…第一步 ，得．…第二步 去括号，得．…第三步 移项、合并同类项，得．…第四步 系数化为1，得．…第五步 (1)第二步进行的是 ，这一步的依据是 ；以上求解步骤中，从第 步开始出现错误． (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)去分母，等式的性质，一 (2)，过程见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解题步骤是解题的关键； （1）根据等式的性质得出错误的步骤及原因． （2）先整理方程，再根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1解方程即可． 【详解】（1）解：第二步进行的是去分母，这一步的依据是等式的性质；以上求解步骤中，从第一步开始出现错误； 答案为：去分母，等式的性质，一； （2）解： 整理方程得：1， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 8．下面是李红同学解方程的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题． 解：   去分母，得，① 去括号，得，② 移  项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)聪明的你知道李红的解答过程在第__________（填序号）步出现了错误，出现错误的原因是违背了__________． A．等式的基本性质1   B．等式的基本性质2   C．去括号法则   D．加法交换律 (2)请你写出正确的解答过程． (3)除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解一元一次方程还需要注意的事项给其他同学提一条合理化建议． 【答案】(1)①；B (2) (3)见解析 【分析】本题考查解一元一次方程： （1）去分母时，常数项漏乘最小公倍数，出现错误，违背了等式的基本性质2； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （3）根据解方程的步骤提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：第①步，去分母时，常数项漏乘最小公倍数，出现错误，违背了等式的基本性质2； 故选：B （2）解：， 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （3）移项时要注意变号，去括号时，括号前面是负号，括号内的每一项都要变号；（合理即可） 【考点6 运用一元一次方程-无限循环小数化为分数】 1．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数，例如：将，则，解得，即，仿此方法，将化成分数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据例题方法直接计算即可得到答案； 【详解】解：设，则， 解得， 故选D． 【点睛】本题考查循环小数转化分数，解题的关键是读懂题目中方法． 2．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得．仿此，将无限循环小数化为分数的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设，再依据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设， 则， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是正确设出未知数，列出一元一次方程． 3．阅读材料： 我们知道分数可以写成小数，反过来，无限循环小数可以写成分数． 设①，则②，由得：，即． 所以． 根据以上材料，回答下列问题： (1)把化成分数为______； (2)写出把化成分数的过程． 【答案】(1) (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了小数与分数的互化，解一元一次方程： （1）设①，则②，再仿照题意求解即可； （2）设①，则②，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：设①，则②， ∴由得， 解得， ∴； （2）解：设①，则②， ∴由得， 解得， ∴． 【考点7 含绝对值的一元一次方程】 1．阅读下列材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们称分别为与的零点值． 在数轴上分别找出零点值对应点，这两点将数轴分为三部分（如图），在有理数范围内，这三部分可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况： （1）当时，原式； （2）当时，原式； （3）当时，原式． 综上讨论，原式． 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)直接写出和的零点值分别为______和______； (2)化简代数式； (3)解方程． 【答案】(1)，4 (2)原式 (3)或 【分析】本题主要考查绝对值及一元一次方程，理解零点及化简带绝对值的代数式的方法是解答本题的关键． （1）阅读材料，根据零点值的求法，即绝对值里面的代数式等于，即可解答； （2）根据阅读材料中，化简绝对值的代数式的方法，根据的取值范围，分为三种情况，根据绝对值的性质解答即可； （3）根据（2）中的化简结果列方程求解即可． 【详解】（1）解：分别令和， 解得和， 则和的零点值分别为和； （2）解：由（1 ）知和的零点值分别为和； ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式； （3）解：当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得 当时，原方程即为，解得，不符合题意，舍去． 所以，原方程分解为或 2．综合与探究 华罗庚先生说过，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。 【知识储备】我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示有理数的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．点、在数轴上分别表示有理数、，则、两点之间的距离可表示为． 【初步探究】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____；数轴上表示和的两点之间的距离是_____； （2）的几何意义是数轴上表示数与数_____的两点之间的距离． 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数的点在整条数轴上移动时，能使成立的的值有哪些？ 【答案】（1）4；；（2）；（3）成立的x的值是或3 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值． 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示和的两点之间的距离为； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离； （3）如图： 当时，， 当时，， 令， 解得； 当时，， 令， 解得； 综上所述：成立的x的值是或3． 3．华罗庚先生说，“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 我们知道，表示数轴上表示的点到原点的距离，表示数轴上表示a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义；点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步探索】 （1）数轴上表示和的两点之间的距离是 ；数轴上表示2和的两点之间的距离是 ； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数 的两点之间的距离； 【深入探究】 （3）请你利用数轴探究，当表示数x的点在整条数轴上移动时，能使成立的x的值是 ； 【拓展延伸】 （4）若数轴上有P、Q两点，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且，则P、Q两点之间的距离是 ． 【答案】（1）3；5；（2）；（3）或4；（4）3或5或7 【分析】本题考查了有理数加减法的应用，绝对值方程，利用数形结合和分类讨论是解题的关键； （1）根据两点间距离公式可得结论； （2）利用数轴上两点之间的距离公式的定义即可解答； （3） 利用分类讨论的方法即可得出x的值； （4） 根据P、Q分别为整数x、y，分类讨论即可解答 【详解】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离为，数轴上表示2和的两点之间的距离为， 故答案为：3，5； （2）的几何意义是数轴上表示数x与数的两点之间的距离， 故答案为：； （3）如图： ， 当时， 当时，， 令，得； 当时，， 令，得； 综上所述：成立的x的值是或4； 故答案为：或4． （4）根据题意得：，都是整数， 分三种情况讨论： ①当，时， ，或， ∴或7； ②当，时， 或1，或， ∴或3或7； ③当，时， 或0，， ∴或3； 综上所述：P、Q两点之间的距离是3或5或7． 故答案为：3或5或7． 4．表示4和1的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示4和1的两点之间的距离；也可以看作，表示4和的差的绝对值，也可理解为数轴上表示4和两点之间的距离．根据以上信息，解答下列问题： (1)计算：________； (2)计算：________； (3)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则________； (4)利用数轴找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数x有几个？ 【答案】(1)5； (2)7； (3)2或； (4)6个． 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，明确数轴上的点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． （1）根据绝对值定义计算即可； （2）根据绝对值定义计算即可； （3）根据题意，找到在数轴上与距离5个单位长度的点即可； （4）根据题意，找出在数轴上到的距离与到2的距离之和为5的所有整数即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：5； （2）， 故答案为：7； （3）表示数轴上表示x和两点之间的距离为5． 所以整数x为2或； （4）表示数轴上表示x的点到的距离与到2的距离之和为5， 所以整数x为，一共6个． 5．对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【答案】(1)4；1； (2)或－2 (3)或或或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解； （3）分两种情形，根据绝对值方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，或－2； （3）异号， ，或，， 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，则， ， 或； 若，时，则， ， ，（不符合题意舍去） 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，， 或； 若，时， ， ， （不符合题意舍去） 综上：或或或． 6．对于两个不相等的有理数，我们规定符号表示中的较大值，如： ，按照这个规定解决下列问题： (1) ； ； (2)方程的解为 ； (3)当时，解方程：． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题考查了有理数比较大小，化简绝对值，解一元一次方程，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）根据题意即可求解； （）根据题意得，然后解方程即可； （）由，则，，故有，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 解得：， 故答案为：； （3）解：∵， ∴，， ∴， 解得：． 【考点8 一元一次方程-整体法】 1．阅读理解：我们知道，．类似的，我们可以把看成一个整体，则．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： (1)把看成一个整体，运用“整体思想”解方程：． (2)已知，则 ． (3)已知，，，则 ． 【答案】(1) (2)26 (3) 【分析】本题主要考查代数式的求值及整式的加减计算，解一元一次方程，关键是根据题意利用整体思想进行求解问题； （1）先移项，再仿照题中所给方法解方程； （2）由得到，将化为，再整体代入求值； （3）先利用整式的加减将变形为，再变形为，最后利用整体的思想代入求值． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2）解：， ， ∴， 故答案为：26； （3）解：， ∴， 故答案为：． 2．在解一元一次方程时，有时根据方程的表面特点，巧妙利用整体法，可以达到简化计算的效果． 例如：在解方程时，把看作一个整体． 令，原方程变为， 移项，得， 合并同类项，得． 系数化为1，得， 故，解得． 阅读以上材料，请用同样的方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确换元是解此题的关键．把看作一个整体，再按照解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】解： 令，则原方程变为， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故， 解得：． 3．【知识呈现】 我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为．“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 【解决问题】 （1）【知识呈现】中的代数式化简的结果为________；（用含、的式子表示） （2）若代数式的值为4，求代数式的值； 【灵活运用】 （3）求中的值． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题主要考查了绝对值及列代数式，理解题中所给整体思想是解题的关键． （1）根据所给方法对代数式进行化简即可； （2）利用整体思想即可解决问题； （3）将看作一个整体进行计算即可． 【详解】解：（1）由题知，令， 则原式， ∴ ， 故答案为：； （2）依题意，由得，， ∴； （3）依题意，令， 则原方程可化为， 解得， ∴， 则， ∴，． 4．我们知道由，可得或，例如解方程：，我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或，所以或． 根据以上材料解决下列问题： 解方程：． 【答案】或 【分析】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法．先去绝对值，化成一元一次方程求解即可． 【详解】解：由绝对值的意义得或， 解得或． 【考点9 一元一次方程-同解】 5．如果关于x的方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，先求出第一个方程的解，然后代入第二个方程得到关于a的一元一次方程，再根据一元一次方程的解法进行求解即可． 【详解】解：解方程， 整理得：， 得：， 由题意：的解为， 代入得：，    解得：． 6．若方程和关于的方程的解相同，求的值． 【答案】5 【分析】本题考查同解方程，同解方程指解相同的方程，先解方程得出，把代入方程，解关于的方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得． ∵两个方程的解同 ∴把代入方程，得 解这个方程，得 故的值为5． 7．已知是常数，如果关于的方程的解与关于的方程的解相同． (1)求的值； (2)若多项式与多项式互为相反数，求多项式的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）分别解两个方程，根据同解方程的定义，得到关于m的方程，即可求出答案； （2）根据多项式与多项式互为相反数和m的值，即可求出n的值，再计算即可． 【详解】（1）解：解可得， 解可得， ∴，解得； （2）解：∵多项式与多项式互为相反数， ∴，即 又∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了同解方程，相反数和代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 8．如果关于的方程的解与方程的解相同，求字母的值． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化为1，解方程，可得，再代入求解的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：． 9．已知关于x的方程是一元一次方程． (1)求k的值； (2)若已知方程与方程的解相同，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义进行解答； （2）先解方程，再把方程的解代入原方程可得m的值． 本题主要考查了一元一次方程的一般形式和解一元一次方程，明确一元一次方程只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴， ∴； （2） 移项合并同类项得，， 系数化1得， 原方程为：， 把代入得：， 解得，． 【考点10 一元一次方程-错解】 1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解． 【答案】，． 【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可． 【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解， ∴把代入方程，得， ， ， ， ， 方程为， ， ， ， ， ， 即，方程的解是． 2．某同学在解关于y的方程1去分母时、忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y＝10． （1）求a的值； （2）求方程正确的解． 【答案】（1）；（2）原方程的解为． 【分析】（1）按照该同学去分母的方法得到，把代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到答案； （2）把代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可. 【详解】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为， 此时方程的解为， 代入得   整理得： 解得 （2）将代入方程， 得 去分母： 去括号： 整理得： 解得 即原方程的解为 【点睛】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1”是解本题的关键. 3．在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“-1”这一项乘公分母6，求出方程的解为x=-． （1）求m的值： （2）写出正确的求解过程． 【答案】（1）m=-4   （2）x=-4 【分析】（1）将错就错，把x的值代入小明去分母出错的方程求出m的值即可； （2）把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】解：（1）根据小明去分母得：4x-2=2x+m-1， 把x=-代入方程得：-6-2=-3+m-1， 解得：m=-4； （2）把m=-4代入得：， 去分母得：4x-2=2x-4-6， 移项得：4x-2x=-4-6+2， 合并得：2x=-8， 解得：x=-4． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解． 【考点11 根据特殊关系列一元一次方程并解答】 1．已知方程的解与关于x的方程的解互为倒数，求k的值． 【答案】 【分析】本题的关键是正确解一元一次方程以及互为倒数的意义；理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 先求已知方程的解，再利用倒数关系确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数k． 【详解】解：解方程得：． 因为方程的解与关于x的方程的解互为倒数， 所以关于x的方程的解是， 把代入方程得：，解得：． 2．已知关于的方程与方程的解互为相反数，求的值 【答案】 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，先求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数得到，进而求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 根据题意得， 解得：． 3．关于x的方程与的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次方程，相反数的定义，根据题意得出关于的一元一次方程的是解题关键．先解关于x的方程，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：解方程得：， 与的解互为相反数， ， 解得． 4．若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 5．【阅读理解】使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解．如是方程的解．已知方程，若把看作一个整体，则；已知方程，若把看作一个整体，则． 【尝试运用】 （1）已知方程，则的值为 ； （2）已知方程，则的值为 ； 【拓展创新】 （3）已知关于x的一元一次方程的解为，求一元一次方程的解． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，将原方程进行正确的变形是解题的关键， （1）将方程两边同除以3即可求得答案； （2）将方程两边同除以3即可求得答案； （3）将程两边同除以2024可得，再根据题意可得，解得的值即可． 【详解】（1）解：方程 ， 故答案为：6； （2）解：方程， ， 故答案为：6； （3）解：已知关于的一元一次方程， 两边同除以2024变形得：， 关于的一元一次方程的解为， ，解得：， 关于的一元一次方程(的解为． 6．定义：关于的方程与方程（，均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则________． (2)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． (3)已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为________．（请直接写出答案） 【答案】(1)2 (2)d的值为或 (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据“反对方程”的定义，进行求解即可； （2）求出两个方程的解，根据解为整数，进行求解即可； （3）根据互为“反对方程”的解互为倒数，根据换元法，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程与方程互为“反对方程”， ∴； 故答案为：2； （2）变形为， 由题意可知方程的“反对方程”为． 解，得． 解，得． 因为与的解都是整数， 所以与都是整数，且d为整数， 所以当或时，与都是整数， 故整数d的值为或； （3）由题可知的解为． 由题意得，互为“反对方程”的两个方程的解互为倒数， 所以的解为， 将变形为， 所以， 所以关于y的一元一次方程的解为． 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