第五章 一元一次方程 同步训练 2025-2026学年北师大版（2024）数学七年级上册

第五章 一元一次方程 一、单选题 1．由等式，得，这是由于（   ） A．等式两边都加上2.5 B．等式两边都减去2.5 C．等式两边都乘2.5 D．等式两边都除以2.5 2．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．已知有最大值，则方程的解是（   ） A． B． C． D． 4．运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．若关于的方程的解为大于4的整数 ，则整数的值为（　　） A．3或5 B．3或7 C．5或7 D．以上答案都不对 6．一家商店把某商品按标价的八折出售仍可获利，若该商品的进价是45元，若设标价为元，则可列得方程（   ） A． B． C． D． 7．一艘船在静水中的速度为，水流速度为，从甲码头顺流航行到乙码头，再返回到甲码头共用．若设甲、乙两码头的距离为，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知数轴上的、两点表示的数分别为与5，且，则的值为（   ） A．或6 B．2或11 C．2或6 D．6或11 二、填空题 9．(数位问题)在一个两位数的两个数字中间添加一个0，那么所得的三位数比原数大8倍，这个两位数是 ． 10．一片草地，可供5头牛吃30天，或者可供4头牛吃40天．如果4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以再吃 天． 11．我们所穿鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的换算关系是 （b表示码数，a表示厘米数）．聪聪穿38码的鞋，用厘米作单位就是 厘米． 12．如图，在长方形中，，，点是上一点，且，点从点出发，以的速度沿匀速运动，最终到达点．设点的运动时间为，若的面积为，则的值为 ．    13．如图，，的中点M与的中点N的距离是，则 ． 三、解答题 14．解下列方程： (1)； (2)． 15．随着打印技术越来越成熟，家用打印机也逐步走进各家各户．某公司根据市场需求代理甲、乙两种型号的家用打印机，每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元． (1)设每台乙型打印机为元，则每台甲型打印机为 元(用x表示)． (2)若购买台甲型打印机和台乙型打印机共花费元，求每台甲型、乙型打印机的进价各是多少元？ 16．某车间每天能制作500个甲种零件，或250个乙种零件（同一天内不能同时制作这两种零件），甲、乙两种零件各1个配成1套产品．现要用30天制作最多的成套产品，甲、乙两种零件各应制作多少天？ 17．如图，数轴上的线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是7，若线段以2个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以3个单位长度/秒的速度向左匀速运动． (1)问运动多少秒时，点B与D重合？ (2)问运动多少秒时，的长度为8？ 18．如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动，设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，直接写出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，等式两边同时除以一个不为0的数，等式的值不变，进行判断即可． 【详解】解：由等式，得是由于：等式两边都除以2.5； 故选D． 2．D 【分析】本题考查了解一元一次方程中检验解的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题需要将题干中的分别代入所给的四个选项中，比较方程左右两边数值是否相等，即可求解本题． 【详解】解：A．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意； B．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意； C．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值不相等，所以不是的解，不符合题意． D．当时，方程的左边，右边，方程的左、右两边的值相等，所以是方程的解，符合题意． 故选D． 3．A 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据非负数的性质求出m的值，代入方程计算即可求出解． 【详解】解：∵有最大值， ，即， 代入方程得： 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A 4．D 【分析】此题考查了等式的性质．根据等式的性质逐项进行判断即可． 【详解】A. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； B. 如果，那么或，故选项错误，不合题意； C. 如果，那么当时，，，故选项错误，不合题意；     D. 如果，那么，故选项正确，符合题意． 故选：D． 5．A 【分析】本题考查了一元一次方程的解法、含参数方程的变形技巧及整数解条件的综合分析，解题关键在于将方程整理为的标准形式．将方程整理为的形式，根据解且为整数，建立不等式并分析整数k的整除特性即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵都是整数， ∴为15的因数． ． 又，∴=1或3， ∴或5． 故选A． 6．A 【分析】根据一折为，利润率，列式解答即可． 本题考查了一元一次方程的应用之打折问题，正确理解打折意义，利润率是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：A． 7．D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是正确理解题意，抓住题目中的关键语句，列出方程．根据顺流速度船在静水中的速度水流速度，逆流速度船在静水中的速度水流速度，根据等量关系代入相应数据列出方程即可． 【详解】解：从甲到乙是顺流，速度为，时间为； 从乙到甲是逆流，速度为，时间为．总时间为， 所以可列方程， 故选：D． 8．C 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，根据数轴上两点间的距离得到，求解即可解答． 【详解】解：∵数轴上的、两点表示的数分别为与5，且， ∴ ∴， 解得或． 故选：C 9．45 【分析】本题考查了方程、数位概念及整数解的求解方法．解题关键在于将题目条件转化为方程 ，通过化简得到 ，进而结合数位限制找到符合条件的整数解，最终确定原两位数．设原两位数为，中间插入0后得到三位数，根据题意，三位数比原数大8倍，即三位数是原数的9倍，建立方程求解即可． 【详解】解： 设原两位数为（其中a为十位数字，b为个位数字，且），插入0后的三位数为， 根据题意： ， 化简得， ， a和b需满足，且a、b为整数， a为4的倍数，b为5的倍数， 和， 当时， ， ∴， 原两位数为． 故答案为：45． 10．6 【分析】本题考查了典型的“牛吃草”问题，一元一次方程的应用，求出草的生长速度和草地原有草的份数是解题的关键．理解原有草量、草的生长速度和牛吃草的速度之间的关系，求出草的生长速度和原有草量，设4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以吃x天，列出方程，即可解答． 【详解】解：假设每头牛每天的吃草量为1份，则头牛天的吃草量为份，头牛天的吃草量为份； 因为草每天匀速生长，所以天的总草量比天的总草量多的部分就是多生长的天的草量，草的生长速度为份/天； 头牛天的吃草量为份，其中天生长的草量为份， 所以原有草量为份； 设4头牛吃30天后，又增加了2头牛一起吃，还可以吃x天，则： ， 解得：． 故答案为：6． 11．24 【分析】本题考查了代数式的求值与方程的简单应用，解题的关键是将已知的码数代入换算关系式，通过解方程求出对应的厘米数． 已知换算关系，其中码，将其代入关系式得到关于a的方程，解方程求出a的值即为厘米数． 【详解】解：已知鞋码和厘米数的换算关系为，聪聪穿码的鞋，即． 将代入关系式得：． 移项可得：，即． 两边同时除以2得：． 故答案为：． 12．或 【分析】分下列三种情况讨论，如图1，当点P在上，即时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；如图2，当点P在上，即时，由列方程求解即可；如图3，当点P在上，即时，由列方程求解即可． 【详解】解：如图1，当点P在上，即时，    ∵四边形是长方形， ∴，， ∵， ∴，解得：； 如图2，当点P在上，即时，    ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：（舍去）； 当点P在上，即时，，    ∴，解得：． 综上所述，当的值为或时的面积会等于24． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的运用、三角形面积公式的运用、梯形面积公式的运用、动点问题、分类讨论等知识点，灵活运用分类讨论思想是解答本题的关键． 13． 【分析】本题考查了线段中点的性质，求两点之间的距离，一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于x的方程． 设，，，然后表示出，，然后根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，，， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∵的中点M与的中点N的距离是 ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】（1）本题通过移项将含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解方程． （2）本题通过移项将含未知数的项移到等号一边，常数项移到等号另一边，然后合并同类项，最后将未知数的系数化为1来求解方程． 本题主要考查了一元一次方程的解法，熟练掌握移项、合并同类项和系数化为1的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解： 移项，得． 合并同类项，得． 将y的系数化为1，得． （2）解： 移项，得． 合并同类项，得． 将x的系数化为1，得． 15．(1) (2)每台甲型、乙型打印机的进价各是元，元 【分析】本题考查一元一次方程的应用、列代数式，写出每台甲型打印机的进价、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）根据“每台甲型打印机比每台乙型打印机进价高元”计算即可； （2）根据题意，列关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】（1）解：每台甲型打印机为元． 故答案为：． （2）根据题意，得， 解得， 元． 答：每台甲型打印机的进价为元，每台乙型打印机的进价为元． 16．甲种零件应制作10天，则乙种零件应制作20天． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系式，列出方程． 设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作天，根据生产的两种零件数量相等，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲种零件应制作x天，则乙种零件应制作天， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：甲种零件应制作10天，则乙种零件应制作20天． 17．(1)秒 (2)秒或秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； （1）设运动t秒时，根据点和点重合列方程解答即可； （2）设运动秒时，点B、C所表示的数分别为，根据列方程解答即可． 【详解】（1）解：设运动t秒时，点B与D重合． 则． 解得． 答：当运动秒时，点B与D重合． （2）解：∵，点A表示的数是， ∴点B表示的数是． 设运动秒时，的长为8，这时点B、C所表示的数分别为． 则． ∵， ． ， 或． 解得或． 答：运动秒或秒时，的长为8． 18．(1) (2) (3)2或 (4)或 【分析】本题主要考查了一元一次方程和路程问题，勾股定理： （1）利用总长减去的长度速度时间，得到的表达式； （2）先算点运动到时的总时间，再得点移动的距离，结合直角三角形用勾股定理求； （3）分点在和上两种情况，分别表示出和，根据等量关系列方程求解； （4）确定的底和高，用面积公式求出，然后分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵当点在上运动时，点的速度是每秒，运动时间为秒，． ∴， ； 故答案为：； （2）解：当点在上运动时，时，点从到运动的时间为秒． ∵点在上运动的路程为， ∴点在上运动的时间为秒， 即点P的运动时间为秒， 点从出发，速度为每秒，运动时间和点相同， ∴点Q的运动距离为，此时点Q与点B重合， ∴； （3）解：情况一：点在上时，，， ∵， ∴． 解得：． 情况二：点在上时，， 若点Q在边上，此时，， ∵， ∴， 解得：； 若点Q在的延长线上，此时，， ∵， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）； 综上所述，t的值为2或； （4）解：当点在上运动时，的面积为时，点从到运动的时间为秒， 此时点在上运动的时间为秒． 的面积． ， ， 解得：． 根据题意得：， 当点P在点Q的下方时，此时，， ∴， 解得：； 当点P在点Q的上方时，，， ∵ ∴， 解得：； 综上所述，t的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$