专题08 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组（八大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题08 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组 【题型1 解二元一次方程组-消元法】.................................................................1 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】..........................................................6 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】..........................................................13 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】....................................................18 【题型5遮挡问题】..............................................................................................21 【题型6 相同的解】............................................................................................25 【题型7 错解】..................................................................................................32 【题型8 二元一次方程组新定义问题】.............................................................34 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1.解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用代入消元法进行解方程，即可作答． （2）运用加减消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴把代入，得， ∴， 解得； 则， ∴方程组的解为； （2）解：∵， ∴，得， 解得， 则， ∴， ∴方程组的解为． 2．解二元一次方程组: (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的一般方法，是解题的关键． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 3．解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求解； （2）先将原方程组整理，再由加减消元法求解． 【详解】（1）解： 由得，， 解得， 将代入①得：， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程组化为， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴原方程组的解为． 4．解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）利用加减消元法求出解即可； （2）利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． （2）解： 得：， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 5．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键． （1）根据加减消元法求解即可； （2）根据加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 先化简得，， 由得，， 解得， 将代入得，， 解得， ∴原方程组的解为． 6．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用加减消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解． （1）用加减消元法消去y，进而求解； （2）直接用加减消元法消去y，进而求解． 【详解】（1）解：， ，得③ 得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 得， 解得：， 把代入，得 解得：， ∴方程组的解为． 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 1．已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 【答案】(1)； (2)丙需要花费元． 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，掌握解三元一次方程组是解题的关键． （）利用，可求出的值； （）设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元，根据题意，得，按照题例解题即可． 【详解】（1）解：， ，得：； （2）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，每个文件夹元， 根据题意，得， ，得， 原方程组可化为， 把代入，得， ∴． 答：丙需要花费元． 2．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【迁移应用】已知关于x，y的方程组，且，求a的取值范围． 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【备注】若思考后不能运用整体思想，常规思路解决问题也可以． 【答案】[模仿应用]19；[迁移应用]；[解决问题]30元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、三元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，利用“整体思想”解二元一次方程组（三元一次方程组）是解题的关键． [模仿应用]利用，可得出； [迁移应用]利用，可得出，结合，可得出，解之即可得出a的取值范围； [解决问题]先求出，再，即可求出结论． 【详解】[模仿应用]解：， 由，得． [迁移应用]解：， 由，得， ∵， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． [解决问题]解：设每支铅笔元，每块橡皮元，每本日记本元，根据题意，得 ， ，得，所以． 答：购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需30元． 3．【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握“整体代入消元”法是解此题的关键． （1）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可； （2）利用“整体代入消元”的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由②可得：，即， 把方程①代入③可得：， 解得， 把代入方程①可得：， 解得：， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得：， 由②可得：，即， 把方程③代入④可得：， 解得． 4．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为的解为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】解：（1）设， ，即， ， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）， 设，， ， 可转化为， 解关于，的二元一次方程组，得，， ； （3）设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 5．先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 【答案】(1) (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元 (3) 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用以及解二元一次方程组，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． （1）把两个方程相加，得出，根据得出关于的一元一次方程，解方程即可得答案； （2）设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元，根据题意列三元一次方程组，得出，即可得答案； （3）根据新运算定义得出，求出，即可得答案． 【详解】（1）解： ①+②得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． （2）解：设买支铅笔需元、块橡皮需元、本日记本需元， ∵买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元， ∴， ①×3②得：， ∴购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）∵，，， ∴， 得：， ∴． 6．［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 1．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________． 【答案】（1），；（2）（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案； （3）将所求方程组变形，然后得出，进而可得答案． 【详解】解：（1）设，， 则原方程组可化为，解得 解得 故答案为：，． （2）设，， 则原方程组可化为，解得． 解得． （3）方程组可化为． 关于，的二元一次方程组的解为， 解得． 故答案为： 2．【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 【答案】(1)①；② (2)详见解析 (3)27 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，代数式求值，整体代入是解题的关键． （1）①根据整体代入法即可求解； ②根据已知条件，将代入代数式，可得，再将代入代数式，可得，再根据 即可求解； （2）根据加减消元法，即可求解； （3）通过对已知的两个方程进行适当的乘法运算后相减，构造出与相关的式子，进而求解． 【详解】（1）解：①将整体代入，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为； ②将代入代数式，可得， ∴， 将代入代数式，可得， ∵， ∴； （2）解：， 可，得， ∴无论取何值，的值均不变． （3）解：设：⑨，⑩， 给，得， 给，得， ， ， ， ． 3．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，整体代入法求解；解题的关键是结合题意理解整体代入法，并正确求解方程组． （1）结合题意，利用整体代入法求解，令，得，解得即，即可求解； （2）结合题意，利用整体代入法求解，令，则可化为，且解为，则有，求解即可． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得：， 把代入，，得， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：在中， 令，， 则可化为， 且解为， 则有， ； 故答案为： 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 1．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．方程组两方程相加得出，代入中计算即可求出k的值． 【详解】解： ，得： 则， 代入得：， 解得：． 故选：C． 2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组中． 将与组成方程组，解方程组可得x，y的值，然后代入中，解方程即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 将代入，得：， 解得， 故答案为：． 3．已知关于的方程组，若，则的值为 【答案】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程相减得到，则，再结合得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， 即， ． ， ． ． 故答案为：． 4．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查加减法解二元一次方程组，得，根据得到，即可求出﹒ 【详解】解： 得， ∵， ∴， 解得﹒ 故答案为：2 5．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，代数式求值． 把代入方程组，得出关于a，b的方程组，再根据加减消元法解方程组求解即可． 【详解】解：把代入方程组， 得：， 得：， 解得， 把代入①得， 解得， ∴． 故答案为：15． 6．已知关于的方程组，若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．把方程组中的两个方程相减得到，则，再结合得到关于的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得，， ∴， 又∵， ∴， 解得． 故答案为：1． 7．关于的方程组的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了含参数的二元一次方程组的解法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用加减消元法即可求出方程组的解，然后代入求参即可． 【详解】解：， ①②，得：， ∴， 代入②得：， 解得：， ∴， ∴， 解得：． 故答案为： ． 【题型5遮挡问题】 1．方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程组的解的概念和解方程，解题的关键是理解方程组的解的定义，并且会代入求值． 把的值代入原方程组中的第二个方程，解方程求出的值，把和的值代入原方程组中的第一个方程，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴为， ∴， ∴为， 故选：D． 2．小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 【答案】A 【分析】根据确定，把未知数的值都代入方程中，解答即可．本题考查了解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：根据题意，将代入，则， 解得， 把，代入，得， 故选：A． 3．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解的定义，掌握二元一次方程组的解满足各个方程是解题的关键．直接根据方程组解的定义把代入方程求出y的值，进而求出的值，由此即可得到答案． 【详解】解：∵方程组 的解为， ∴， ∴， ∴， ∴和分别表示8和， 故选：A． 4．如果方程组的解为，则被遮盖的□表示的数为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组解的定义是解题的关键． 把代入方程，可得，然后再把，代入即可得出答案． 【详解】解：方程组的解为， 把代入②，得， 解得：， 把，代入①，得， 故答案为：1． 5．某同学解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这个数， ． 【答案】-1 【分析】两个数●和★分别用a、b表示，把代入即可得到一个关于a、b的式子，即可求解． 【详解】解：两个数●和★分别用a、b表示． 根据题意得：， 两式相加得：2=3+a， 解得：a=-1． 故答案是：-1． 【点睛】本题考查了方程组的解的定义，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系． 6．杨老师解方程组时得其解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数 ， ． 【答案】 13 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的一对未知数的值．将代入可求得y；将，代入可求得●，据此求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得，即， 将，代入，得， 故答案为：13；． 7．如图，在桌面上放着A，B两个正方形，共遮住了的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，求正方形A，B的面积． 【答案】正方形A的面积为，正方形B的面积为 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用； 设正方形A的面积为，正方形B的面积为，根据“共遮住了的面积；正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍”，列方程组求解即可． 【详解】解：设正方形A的面积为，正方形B的面积为， 由题意，得， 解得， 答：正方形A的面积为，正方形B的面积为． 8．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组解的定义，把代入方程得关于的方程，解方程求出，再把，代入得到关于的方程，解方程求出即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得， 把，代入得：， 解得． 【题型6 相同的解】 1．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】此题考查二元一次方程组的解，用已知求未知，主要是熟练掌握解方程组． 根据两方程组的解相同，取出不含未知量的两个方程重组方程组，解方程得到解，再把解代入含有未知字母的方程组，解方程组即可． 【详解】解：解方程组 ，得 ， 上面方程组的解也是 的解，代入， 得 ， 解这个方程组，得 ． ∴， 故选：B 2．已知关于的方程组和的解相同，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据已知条件可知方程组和的解相同，利用加减消元法解方程组，求出x，y，再代入得关于a，b的方程组，利用代入法解方程组，求出a，b，最后代入所求式子进行计算即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴方程组和的解相同， 得：， 得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 把代入得：， 解得， ∴， 故选：B． 3．已知关于的方程组和的解相同，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和的解相同， ∴， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 代入得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 4．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解二元一次方程组的核心思想是消元，有加减消元法和代入消元法．是方程组中每个方程都成立的未知数的值，是方程组的解． （1）根据两方程组解相同，联立①和③，再用加减消元法求解即可； （2）把方程组的解代入②和④，联立求解出a和b的值，再代入即可． 【详解】（1）解：∵方程组与方程组的解相同， ∴联立①和③得：， 由得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：把代入②和④得：， 由得：， 解得：， 把代入⑤得：， 解得：， 把，代入得：． 5．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】1 【分析】此题考查同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 6．已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，关于x，y的方程组与的解相同，所以的解即为方程组与的解，即可求出解为，把代入到中，即可求得a和b的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：关于x，y的方程组组与的解相同， ∴的解即为方程组与的解， ∴，得， 把代入②得， ∴关于x，y的方程组组与的解为， ∴是的解， ∴， 解得， ∴． 7．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入求值． 【详解】（1）解：由题意，得， ，得， ∴， 把代入①得， ∴， 它们的相同解为； （2）解：将代入，得， 解得． ， ． 8．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的同解问题，二元一次方程组的解法； （1） 由题意可得这两个方程组的相同解也满足方程组 ，再解方程组即可； （2）把代入两个含未知系数的方程可得，再解方程组并进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得这两个方程组的相同解也满足方程组 ； 解得， 所以这两个方程组的相同解为 （2）解：将，代入方程组， 得， 解得， ∴， 即的值为． 9．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解问题，解题关键是重新组合方程构成新的方程组并求解． （1）解即可求解； （2）将（1）中求得的解代入求出后即可求解． 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组②有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； （2）将代入②得 解得： ∴． 10．若关于的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了由同解方程组确定字母取值：先将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解，然后由“方程组的解适合每一个方程”得到关于a、b的二元一次方程组，进而确定a、b的值． （1）将两个方程组中不含字母a、b的两个方程联立，求得方程组的解即可； （2）将方程组的解代入，求得关于a、b的二元一次方程组的解，再代入求值即可； 【详解】（1）解：两方程组化简可得，， ∵两方程组同解， ∴， 得：， 解得：， 把代入①式得：， ∴两个方程组的相同解为； （2）解：把代入方程组可得： ， 式得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴． 【题型7 错解】 1．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立关于a、b的二元一次方程组． （1）根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可得到答案． （2）a、b的值代入原方程，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得： 由可得： 解得：， 把代入①得 解得： ∴ （2）解：把代入原方程组为： 得 解得； 把代入①得， ∴， ∴． 2．小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把两组的值代入合适的方程得到关于的值是解题的关键． 将小明的解代入原方程组求得值，将小英的解代入原方程组中的第一个含有的方程，联立小明的方程即可求出的． 【详解】解：将代入得， ， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得 解得， ∴． 3．甲、乙两同学解方程组时，甲得出正确的解为，乙因抄错c的值，解得，求的值． 【答案】-3 【分析】将x与y的两对值代入方程中的第一个方程求出a与b的值，将x与y第一对值代入方程组中第二个方程求出c的值，即可确定出所求式子的值． 【详解】解：将代入方程组得：a-b=2①，c+3=-2， 将代入ax+by=2中，得：2a+6b=2②， 联立①②解得：a=，b=，c=-5， 则a-b+c= -5=-3． 【点睛】此题考查二元一次方程组的解，关键是明白二元一次方程组的解的定义以及方程组的解法． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 1．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 2．请你根据王老师所给的内容（如表），完成下列各小题． 我们定义一种新运算“”，对于任意非零数a，b，规定：，其中为常数． 例如：． (1)如果，，求y的值； (2)若，，求x，y的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，得出二元一次方程，把代入解答即可； （2）根据题意，得出方程组，解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， 把代入， 得， 解得； （2）解：根据题意，得， 解得． 3．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）列方程组，用加减消元法解方程组即可； （2）根据题意得出关于x，y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 得，， 解得，， 把代入②得，， 解得：； （2）解：， ∴ 解得：， ∵， ∴， 解得：． 4．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标标． 【答案】(1)， (2)，或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，函数的关系式，理解新定义是解题的关键． （1）根据新运算可得，然后解二元一次方程组即可； （2）根据新运算可得y关于x的函数关系式，再分别把和代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴，， 联立方程组， ①＋②得，，解得， 把代入②得，； （2）解： ， 即； 把代入得，，解得或0， 该函数图象上与轴距离为2的点的坐标是或． 5.对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二元一次方程组、实数的新定义的运算，正确理解新运算的定义是解题关键． （1）根据新运算的定义列式，计算即可得； （2）根据新运算的定义可得一个关于的二元一次方程组，将两个方程相加即可得． 【详解】（1）解：由题意得： ． （2）解：∵，且， ∴，即， 由①②得：， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 解二元一次方程组与含参数的二元一次方程组 【题型1 解二元一次方程组-消元法】.................................................................1 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】..........................................................2 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】..........................................................6 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】....................................................8 【题型5遮挡问题】..............................................................................................9 【题型6 相同的解】............................................................................................10 【题型7 错解】..................................................................................................12 【题型8 二元一次方程组新定义问题】.............................................................12 【题型1 解二元一次方程组-消元法】 1.解二元一次方程组： (1) (2) 2．解二元一次方程组: (1)； (2)． 3．解方程组： (1)； (2)． 4．解二元一次方程组： (1) (2) 5．解方程组： (1) (2) 6．解方程组： (1) (2) 【题型2 解二元一次方程组-整体代入法】 1．已知方程组，求的值． 小军在解决这个问题时，他采用了如下方法： ，消去z，得 他发现无法求出方程组确定的解．但注意到问题要求的是整体的值， 可以在上式中“分离”出， 即 可以把代入两式中的任意一式，得到的值：也可将，消去“多余部分”，即，得到结果．用到的都是代数式整体的消元、转化的思想方法． (1)直接写出小军得到的的值． (2)请利用小军的方法解决下面的问题： 甲、乙两人去文具店购买文具，甲买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元；乙买了支钢笔、本笔记本、个文件夹，共花费元．丙打算三种文具各买件，请问丙需要花费多少元？ 2．【阅读理解】已知方程组，求的值．本题常规解题思路是，解方程组得x，y的值，再代入得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察方程组中两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 【模仿应用】已知方程组，请用整体思想求的值； 【迁移应用】已知关于x，y的方程组，且，求a的取值范围． 【解决问题】某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔，3块橡皮和2本日记本共需32元，买39支铅笔，5块橡皮和3本日记本共需58元，求购买5支铅笔，5块橡皮和5本日记本共需多少元？ 【备注】若思考后不能运用整体思想，常规思路解决问题也可以． 3．【阅读材料】在解二元一次方程组时，我们常常也会采用一种“整体代入消元”的方法将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，比如，解方程组，首先将方程②变形得，即，其次把方程①代入③得：，即，最后把代入方程①，得，所以方程组的解为． 【解决问题】 (1)请用“整体代入消元”的方法解方程组； (2)已知x、y满足方程组，求的值． 4．知识呈现：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：设，原方程组可变为 解方程组，得即解得 解决问题： （1）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为___________； （2）已知、满足方程组,求的值； 灵活运用： （3）已知、、满足方程组,求的值． 5．先阅读下面材料，再完成任务： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x，y满足，……①，，……②，求和的值． 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①-②可得，由可得，这样的解题思想就是通常所说的“整体思想” 解决问题： (1)已知关于x、y的方程组的解满足，求的值． (2)某班级组织活动购买小奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，求的结果． 6．［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【题型3 解二元一次方程组-巧用换元法】 1．问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 设，，则原方程组可化为________，解关于，的方程组，得，所以，解方程组，得________． 探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：． 拓展延伸：（3）已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的方程组的解是________． 2．【教材呈现】 小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合、花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱？ 分析与解 设三种花的单价分别为元、元、元．不难列出方程组： 消去．得 ③ 显然无法求出确定的解．但注意到问题要求的是整体的值，我们可以在上式中“分离”出，即 在解决此问题时我们可联立③④得到方程组，将③整体代入④可得，即，所以．像这样将当作一个整体进行代入求值的求解方法称为“整体思想”，利用整体思想进行整体换元可将题目化繁为简．请根据材料解决以下问题． 【解决问题】 (1)①请直接写出方程组的解 ②已知当时，代数式，试求当时，代数式的值． (2)已知关于的方程组，试说明无论取何值，的值均不变． (3)已知，则___________． 3．阅读下列材料： 小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题： 解方程组：． 小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题． 以下是他的解题过程：令． 原方程组化为，解得， 把代入， 得， 解得，所以原方程组的解为． (1)学以致用运用上述方法解下列方程组： (2)拓展提升已知关于的方程组的解为，请直接写出关于、的方程组的解是_________． 【题型4 已知方程组的解，求相关字母的值】 1．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（   ） A．1 B．5 C． D． 2．若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则的值为 ． 3．已知关于的方程组，若，则的值为 4．若关于的方程组的解满足，则的值为 ． 5．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 ． 6．已知关于的方程组，若，则的值为 ． 7．关于的方程组的解，则 ． 【题型5遮挡问题】 1．方程组的解为则被遮盖的两个数，分别为（    ） A．1，2 B．1，3 C．2，4 D．1，5 2．小明在解关于的二元一次方程组时，不小心滴上了墨水，无法做题，老师告诉他这个方程组中的值为3，则●和的值分别为（    ） A．2，2 B．2， C．8， D．8，2 3．小亮解方程组时，得到其正确的解为，但不小心滴上的两滴墨水刚好遮住了两个数和，则这两个数分别为（　　） A．8和 B．6和4 C．2和8 D．6和 4．如果方程组的解为，则被遮盖的□表示的数为 ． 5．某同学解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这个数， ． 6．杨老师解方程组时得其解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回这两个数 ， ． 7．如图，在桌面上放着A，B两个正方形，共遮住了的面积，若这两个正方形重叠部分的面积为，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，求正方形A，B的面积． 8．已知关于、的方程组的解是，其中的值不小心被滴上了墨水．求的值． 【题型6 相同的解】 1．已知关于x，y的方程组和的解相同，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．已知关于的方程组和的解相同，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 3．已知关于的方程组和的解相同，则的值是 ． 4．已知关于x，y的方程组和方程组的解相同． (1)求这两个方程组的解． (2)求的值． 5．已知方程组与方程组的解相同．求的值． 6．已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 7．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 8．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 9．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解； (2)求的值． 10．若关于的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【题型7 错解】 1．一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 2．小明在解方程组时，得到的正确解是，小英解这个方程组时，由于把c抄错而得到的解是求方程组中a，b，c的值． 3．甲、乙两同学解方程组时，甲得出正确的解为，乙因抄错c的值，解得，求的值． 【题型8 二元一次方程组新定义问题】 1．对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 2．请你根据王老师所给的内容（如表），完成下列各小题． 我们定义一种新运算“”，对于任意非零数a，b，规定：，其中为常数． 例如：． (1)如果，，求y的值； (2)若，，求x，y的值． 3．对于有理数，定义新运算：，，其中是常数．已知，． (1)求的值； (2)若关于的方程组的解也满足方程，求的值． 4．定义新运算：对于任意实数都有，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．比如：． (1)若，且，求的值； (2)对于变量，满足，求出关于的函数关系式，并求出该函数图象上与轴距离为2的点的坐标标． 5.对于任意实数a，b，定义关于“”的一种运算如下：．例如． (1)求的值； (2)若，且，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $