专题09 二元一次方程组的的实际应用（十大高频题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

专题09 二元一次方程组的的实际应用 【题型1 数字问题】............................................................1 【题型2 年龄问题】............................................................4 【题型3 配套问题】............................................................7 【题型4 方案问题】...........................................................10 【题型5 行程问题】...........................................................17 【题型6 工程问题】..........................................................20 【题型7 销售利润问题】......................................................24 【题型8 和倍差分问题】.......................................................27 【题型9 几何问题】..........................................................29 【题型10 古代问题】.........................................................34 【题型11 其他问题】.........................................................37 【题型1 数字问题】 1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 【答案】A 【分析】设原来的两个加数分别为和，小明将后多写一个0，即x扩大10倍，得到；小亮将后多写一个0即y扩大10倍，得到，解方程组即可． 本题考查了方程组的应用，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：设原来的两个加数分别为和， 根据题意，得， 解得． 故选：A． 2．如图，的网格内填了一些数与式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值是（   ） 3 2 A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组应用，根据题意，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； ∴， 故选：B． 3．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 【答案】B 【分析】根据已知条件，先通过数字关系列出关于、的方程组，再求解方程组得到、的值，从而确定原来的两位数． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据两位数的数字关系列出方程组并熟练求解是解题的关键． 【详解】解：∵十位数字为，个位数字为，且十位数字与个位数字之和为， ∴． ∵原来的两位数为，新的两位数为，新的两位数比原来的两位数大， ∴，化简得，即． 联立方程组，将两式相加，，得，解得． 把代入，得． ∴原来的两位数是， 故选：B ． 4．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是 ． 【答案】47 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故这个两位数为47； 故答案为：47． 5．一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了用二元一次方程组解决实际问题，解决本题的关键是根据题目中的相等关系列出方程即可． 【详解】解：设十位数字是，个位数字是， 十位数字比个位数字的倍大， ， 这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数， ， 可列方程组． 故答案为： ． 6．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找准等量关系是解题的关键．根据题意可得：第一个加数第二个加数，第一个加数第二个加数，根据等量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设一个加数为，另一个加数为，由题意得： ， 两式相加得：， 则， 故答案为：． 【题型2 年龄问题】 1．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 2.小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 3．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 4．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 【答案】25 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据二者年龄间的关系，列出关于的二元一次方程组是解题的关键． 设老师今年岁，学生今年岁，根据二者年龄间的关系，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设老师今年岁，学生今年岁， 根据题意得：， 解得：． 则老师的年龄为25岁， 故答案为：25． 5．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 6．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 【题型3 配套问题】 1．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解题关键． 设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，根据共有30名工人，和每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设需要安排x人来制作桌子，y人来制作椅子，由题意可得 解得 则需要安排10人来制作桌子，20人来制作椅子． 故选：B． 2．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组．设安排x名工人加工型零件，则安排名工人加工B型零件，根据每天加工的零件正好配套，50天恰好完成1200套，列出出关于二元一次方程组，解之可得出m的值即可求出结论． 【详解】解：设安排x名工人加工A型零件，则安排名工人加工B型零件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 则工厂有40名工人， 故选：B． 3．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系．用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，根据题意可知，灯身的个数灯座的个数；制作灯身的特殊材料板张数制作灯座的特殊材料板张数，列方程组求解即可． 【详解】解：用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套， 根据题意：即． 故答案为：． 4．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 ． 【答案】 【分析】设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．再得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组． 5．一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 【答案】用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌． 【分析】根据题意找出等量关系：1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子和总共15立方米的木料，设出未知量列方程组计算即可． 【详解】解：设用立方米的木料做桌子，用立方米的木料做椅子， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 经检验，方程组的解符合题意． 所以用3立方米的木料做桌子，12立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌． 【点睛】此题考查二元一次方程的应用，难度一般，找准等量关系是关键． 【题型4 方案问题】 1．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 【答案】该校共有3种购买方案：①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品；②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品；③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品 【分析】设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品，列出二元一次方程，求方程的整数解即可得到方案． 本题考查了二元一次方程的应用，正确求得方程的整数解是解题的关键． 【详解】解：设该校购买件甲种奖品，件乙种奖品， 依题意得：， . 又，均为正整数， 或或 该校共有3种购买方案： ①购买6件甲种奖品，5件乙种奖品； ②购买4件甲种奖品，10件乙种奖品； ③购买2件甲种奖品，15件乙种奖品． 2．试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个 【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可； （2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可． 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得：， 解这个方程组得， 答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹． （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， ∵和都为整数， ∴符合条件的解为：，，， 答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个． 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． (2)有种购买方案，最大利润是万元． 【分析】（1）通过设、型汽车每辆进价，根据已知购进数量与总价的关系，列二元一次方程组求解． （2）设购买、型汽车的数量，根据总价列出方程，结合正整数条件确定购买方案，再根据利润公式求出最大利润． 本题主要考查了二元一次方程组与二元一次方程的实际应用，熟练掌握列方程（组）解决实际问题的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：设型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． ， 解得， 答：型新能源汽车每辆进价为万元，型新能源汽车每辆进价为万元． （2）解：设购买型新能源汽车辆，购买型新能源汽车辆．则 ， 化简得，即． 因为、均为正整数， 所以当时，； 当时，； 当时，（不符合两种都购买，舍去）． 所以有种购买方案： 方案一：购买型辆，型辆，利润为（万元）； 方案二：购买型辆，型辆，利润为（万元）． 因为， 所以最大利润是万元． 4．某体育用品商店进购一批某品牌篮球和排球．已知该品牌的4个篮球和8个排球共计进价为1240元，3个篮球和5个排球共计进价为850元． (1)求该品牌每个篮球和排球的进价； (2)该商店恰好用4500元购进篮球和排球（两种球均购买），求该商店共有几种进购方案； (3)若购进篮球和排球每个的售价分别是200元，100元，在（2）的方案下，请计算出最佳购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)每个篮球的进价是150元，每个排球的进价为80元 (2)该商店共有3种购进方案 (3)最佳购进方案为购进篮球22个，购进排球15个，最大利润为1400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用， 对于（1），设每个篮球的进价是x元，每个排球的进价为y元，再根据总价相等得出方程组，求出解即可； 对于（2），设购进篮球m个，购进排球n个，根据总价等于4500列出方程得出整数解，进而得出方案； 对于（3），先求出利润，再比较得出答案. 【详解】（1）解：设每个篮球的进价是x元，每个排球的进价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：每个篮球的进价是150元，每个排球的进价为80元； （2）解：设购进篮球m个，购进排球n个， 根据题意，得，整理得． ∵m，n为正整数，∴或或． ∴该商店共有3种购进方案； （3）解：当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）； 当，时，利润为：（元）． ∵， ∴最佳购进方案为购进篮球22个，购进排球15个，最大利润为1400元. 5．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 【答案】(1)甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． (2)见详解 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． （2）设购买a个最大容量的空瓶， b个最大容量的空瓶，根据要分装的免洗手消毒液共，即可得出关于a、b的二元一次方程，结合a、b均为正整数，即可得到各购买方案． 【详解】（1）解：设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元． 依题意得： 解得： 答：甲种免洗手消毒液的单价为18元，乙种免洗手消毒液的单价25元． （2）解：设购买a个最大容量300ml的空瓶， b个最大容量的空瓶． 依题意得： ∴ 又∵a、b均为正整数 ∴ ∴共有3种购买方案 方案1：购买15个最大容量的空瓶，3个最大容量的空瓶． 方案2：购买10个最大容量的空瓶，6个最大容量的空瓶． 方案3：购买5个最大容量的空瓶，9个最大容量的空瓶． 6．年月第届冬奥会在北京举行某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元； (2)若该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，则专卖店共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元； (2)专卖店共有种采购方案，方案：购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具；方案：购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元，根据只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该专卖店购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具，根据恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，结合（1）的结论，列出二元一次方程，再由、均为正整数，即可得出各采购方案． 【详解】（1）解：设“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元， 由题意得：， 解得：， 答：“冰墩墩”毛绒玩具每只进价是元，“雪容融”毛绒玩具每只进价是元； （2）解：设该专卖店购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具， 由题意得：， ， 、均为正整数， 或， 专卖店共有种采购方案， 方案：购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具； 方案：购进只“冰墩墩”毛绒玩具，只“雪容融”毛绒玩具． 7．胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨． (1)求每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能运输货物多少吨？ (2)某工厂计划租用胜利运输队货车，其中甲型货车每辆租金为800元，乙型货车每辆租金为1200元；要求一次运输完36吨货物，两种货车都要租且每辆车都要装满．设租用甲型货车辆，租用乙型货车辆． ①求的值； ②请你设计出最省钱的租车方案，并求出最低租金． 【答案】(1)每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨 (2)①x的值为4或8；②最省钱的租车方案是租用8辆甲型货车，3辆乙型货车；最低租金为10000元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组． （1）设每辆甲型货车一次能运输货物x吨，每辆乙型货车一次能运输货物y吨，根据2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨，列出方程组，解方程组即可； （2）①根据一次运输完36吨货物，列出方程，求方程的正整数解即可； ②分别求出两种方案的租金，然后比较得出答案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲型货车一次能运输货物x吨，每辆乙型货车一次能运输货物y吨，根据题意得： ， 解得：， 答：每辆甲型货车一次能运输货物3吨，每辆乙型货车一次能运输货物4吨； （2）解：①根据题意得：， ∵x、y为正整数， ∴或， 即x的值为4或8． ②根据解析①可知，方案一：租用4辆甲型货车，6辆乙型货车，需要的费用为： （元）； 方案二：租用8辆甲型货车，3辆乙型货车，需要的费用为： （元）； ∵， ∴最省钱的租车方案是租用8辆甲型货车，3辆乙型货车；最低租金为10000元． 【题型5 行程问题】 1．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【答案】船在静水中的速度是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，根据路程等于速度乘以时间，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，由题意，得： ，解得； 答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时． 2．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】甲、乙两地相距千米． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km，利用时间路程速度，结合往返两地所需时间，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设从甲地到乙地的坡路长为x km，平路长为y km， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两地相距千米． 3．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 【答案】1568千米 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设两城之间的距离为x千米，飞机的飞行速度为y千米/小时，根据路程、时间、飞行速度、风速的关系列二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：2小时40分钟小时，2小时20分钟小时， 设两城之间的距离为x千米，无风时飞机的飞行速度为y千米/小时， 由题意得， 解得． 故A，B两城之间的距离为1568千米． 4．新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 【答案】该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米，利用该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，再进一步建立方程组解题即可. 【详解】解：设每节车头的长度为米，每节车厢的长度为米， 根据题意，得， 解得， 答：该动车组每节车头的长度为27.5米，每节车厢的长度为25米． 5．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 【答案】这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是正确理解题意找出等量关系． 根据题意找出等量关系，列方程组，求解即可． 【详解】解：设这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为，则 根据题意可得，， 解得，， 答：这个俱乐部的成员第一天徒步的平均速度为，第二天徒步的平均速度为． 6．小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【答案】小明上坡用了5分钟，下坡也用了5分钟． 【分析】设小明上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，然后解方程组即可解答，注意统一单位． 【详解】解：设小明上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意， 得：， 解得：， 答：小明上坡用了5分钟，下坡也用了5分钟． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是读懂题意，找到合适的等量关系，正确列出方程组，用方程解决问题，注意单位要统一． 【题型6 工程问题】 1．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 【答案】甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，列出方程组，即可求解． 【详解】解：设甲工程队每天能铺设米，乙工程队每天能铺设米，根据题意，得： ， 解得 答：甲工程队每天能铺设150米，乙工程队每天能铺设100米 2．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 【答案】(1)①，；②甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数 (2)见解析，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）小明同学：设整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．根据甲、乙两队共完成米的整治河道任务且共同时天，即可得出关于，的二元一次方程组；小华同学：根据小华同学所列的方程组，找出，表示的意义； （2）任选一位同学的思路，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米，根据题意，得， 故答案为：，； ②小华：设河道整治任务完成后，表示甲工程队工作的天数，表示乙工程队工作的天数． 根据题意，可列方程组 故答案为：甲工程队工作的天数；乙工程队工作的天数； （2）解：选择① 解：①小明同学：设整治任务完成后甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 选择② 设甲工程队工作的天数是天，乙工程队工作的天数是天．则 ， 解得， 经检验，符合题意． 甲整治的河道长度：(米)；乙整治的河道长度：(米)． 答：甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 4．长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 【答案】甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是准确出方程组求解． 设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米，根据题意列出方程组求解． 【详解】解：设甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天开凿米，乙组平均每天开凿米． 5．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 【题型7 销售利润问题】 1．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元? 【答案】甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元 【分析】本题考查对方程组的应用能力，要注意由题中提炼出的两个等量关系．即可列方程组解应用题．等量关系为：甲、乙两件服装的成本共500元，将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元；然后列出方程组，进而问题可求解． 【详解】解：设甲服装的成本为x元，乙服装的成本为y元，由题意得： ， 解得：， 甲服装的实际获利是元； 乙服装的实际获利是元； 答：甲服装的实际获利是105元，乙服装的实际获利是52元． 2．为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 【答案】高价格的商品原价是220元，低价格的商品原价是80元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元，根据按方案一买两件商品，则还差元，可列方程；根据按方案二买两件商品，则剩余元，可列方程，解方程组即可求出两种商品的原价． 【详解】解：设高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元， 根据题意可得： 解方程组可得：， 答：高价格的商品原价是元，低价格的商品原价是元． 3.西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 4．某服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元． (1)A、B两种运动服各加工多少件？ (2)将这100件运动服送到商场销售，A种运动服的售价为200元，B种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后共获利10520元，则A种运动服卖出多少件后打折销售？ 【答案】(1)种运动服加工件，种运动服加工件 (2)种运动服卖出件后打折销售 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次方程的应用的题目，解题的关键是找出题目中的等量关系； （1）设种运动服加工件，种运动服加工件，根据题意列二元一次方程组即可求解； （2）设种运动服卖出件时开始打八折销售，根据题意列一元一次方程即可求解； 【详解】（1）解：设种运动服加工件，种运动服加工件， 根据题意可得：， 解得：， 答：种运动服加工件，种运动服加工件； （2）解：设种运动服卖出件后打折销售， 根据题意可得：， 解得：， 答：种运动服卖出件后打折销售． 【题型8 和倍差分问题】 1．桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 2．有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？ 【答案】1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨，根据“辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，即可求出结论． 【详解】解：设1辆大货车一次可以运货x吨，1辆小货车一次可以运货y吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆大货车一次可以运货吨，1辆小货车一次可以运货吨． 3．树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 【答案】树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子 【分析】本题考查二元一次方程组解决实际问题．设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子，根据“如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍”列出方程组，求解即可． 【详解】解：设树上原有x只鸽子，地上原有y只鸽子．根据题意，得 ， 解得． 答：树上原有68只鸽子，地上原有28只鸽子． 4．已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 【答案】39人 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出方程组进而求出是解题关键． 设六年级（2）班有男生人，女生人，则利用男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，得出方程组求出即可． 【详解】解：设六年级（2）班有男生人，女生人， 根据题意可得：， 解得：， ∴ 答：这个班级的学生人数为39人． 5．某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元． (1)求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元． (2)该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？ 【答案】(1)白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元 (2)购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用： （1）设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元，然后根据购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元列出方程组求解即可； （2）设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱，则，求出该方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设白色复印纸和彩色复印纸每箱各x元，y元， 由题意得， ， 解得， 答：白色复印纸和彩色复印纸每箱各80元，180元； （2）解：设购进白色复印纸和彩色复印纸个m箱，n箱， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是整数， ∴也是整数， 当时，； 当，； 答：购进白色复印纸和彩色复印纸个10箱，2箱或购进白色复印纸和彩色复印纸个1箱，6箱． 【题型9 几何问题】 1．如图，在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若，求出图中空白部分的总面积． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组，求出和的值，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得：， 解得：， 每个小长方形的面积为， 空白部分的总面积． 2．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．    (1)若，，求证：； (2)若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义、平角的定义及二元一次方程组的应用，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据角平分线的定义得出，利用平角的定义求出，再次利用平角定义求出即可得结论； （2）设，，得出，，利用角平分线的定义及平角定义列二元一次方程组，解方程组求出、的值即可得答案． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：设，， ∵比大，比大， ∴，，， ∴， 解得：， ∴． 3．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 【答案】(1) (2)每个小长方形的长为，宽为 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）由算术平方根的定义即可得出结论； （2）设每个小长方形的长为，宽为，根据图1和图2中的数量关系，列出二元二次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设图2的边长为． 根据题意，得． 所以，． 答：图2的边长为． （2）解：设每个小长方形的长为，宽为． 根据题意，得 解得，． 答：每个小长方形的长为，宽为． 4．阅读材料并回答问题 课本再现 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是？ 方案一 如图1，过长边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形．设 ， ，依题意列方程组，解得， 过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物，较小一块土地种植______种作物． 方案二 如图2，过短边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形． …… (1)完成方案一中的三个填空； (2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程． 【答案】(1) （或 ），甲，乙 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的列式、求解等知识点，理解题意是解题的关键．根据方案一的解法，可得 ， ，再根据题干中甲的单位面积产量低于乙的单位面积产量，进而判断不同面积的区域的分配；模仿方案一的解题方式，进行列式求解即可． 【详解】（1）解：由方案一的解题过程，可得 ， ， ∴过长方形土地的长边上离一端 处或 处，作垂直即可． 故答案为 （或 ）． ∵甲、乙两种作物的单位面积产量的比是， 但要满足甲、乙两种作物的总产量的比是， ∴应将面积较大的区域分配给甲种作物，而面积较小的区域分配给乙种作物． （2）解：设 ， ，， 由题意得：，解得， 即 ， ， ∴过长方形土地的短边上离一端 （或 ）处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地．较大一块土地种植甲种作物、较小一块土地种植乙种作物． 5．综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】任务一：3，5；任务二：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程组，解方程组即可． （1）根据原材料纸板纸板的尺寸和A、B两种型号纸板的尺寸进行解答即可； （2）设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板，根据有52张原材料纸板，有盖长方体纸盒有4个侧面，2个底面，列出方程，解方程即可． 【详解】解：任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板3张或裁得B型纸板5张； 故答案为：3，5； 任务二：设用张原材料纸板裁A型纸板，张原材料纸板裁B型纸板， 根据题意，得：， 解得， 能做纸盒的数量为：， 答：用40张原材料纸板裁A型纸板，12张原材料纸板裁B型纸板，可以恰好用完，能做30个纸盒． 【题型10 古代问题】 1．《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．第一次用绳索去量竿，绳索比竿长5尺，则；第二次将绳索对折去量竿，就比竿短5尺，则． 【详解】解：根据题意得． 故选：D． 2．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲大半钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱数给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（　　） A．　 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据“乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也能为50，”列出方程组，即可解题． 【详解】解：设甲的钱数为x，乙的钱数为y， 由题可得：，， 方程组为， 故选：A． 3.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组( ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等式是解题关键．设乌鸦x只，树y棵．直接利用已知表示出乌鸦的数量进而得出答案． 【详解】解：设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组： 故选：A． 4．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据题意，利用不同数量的大容器和小容器的总容量，分别列出两个方程，从而得到方程组． 【详解】解：设1个大容器的容积为x斛，1个小容器的容积为y斛，则根据题意可列方程组为： ， 故选：A． 5．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意引入合适的未知数，建立二元一次方程组是解题的关键．本题需要通过两次不同的出钱方式建立方程组，求解人数和物价，再判断选项的正误．解题步骤分为建立方程、解方程、验证选项． 【详解】解：设共有人，物品价格为钱． A．根据“每人出8钱，盈3钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； B．根据“每人出7钱，不足4钱”得方程：，正确，故本选项不符合题意； C．联立方程组：将两方程相加，消去得：，正确，故本选项不符合题意； D．将代入，得，解得，因此，物品价格为53钱，选项D中“52钱”错误，故本选项符合题意． 故选：D． 【题型11 其他问题】 1．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 【答案】(1)a的值为3，b的值为1 (2)丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场 (3)元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系列出方程组，需要注意自变量的取值范围，考虑多种情况． （1）根据题意可列出方程组，然后即可求解； （2）设丙队胜x场，平y场，则负场场，再根据x，y，都为非负整数，然后即可求解； （3）由（2）得丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场，再根据胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，然后分别列式即可求解； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得； ∴a的值为3，b的值为1； （2）解：设丙队胜x场，平y场，则负场； ∴； ∵x，y，都为非负整数， ∴或或； ∴丙队可能胜6场，平1场，负5场或胜5场，平4场，负3场或胜4场，平7场，负1场； （3）解：丙队胜6场，平1场，负5场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜5场，平4场，负3场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； 丙队胜4场，平7场，负1场时，1名参赛队员获得的奖金是（元）； ∴， ∴丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是元． 2．如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 【答案】这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料，根据两次运输共支出公路运费元，铁路运费元，列出二元一次方程组，进而求得销售额和原料费用，相减，即可求解． 【详解】解：设共购买了x吨长绒棉，制成了y吨纺织面料． 根据题意得 解得， 纺织面料的销售额为（万元）， 原料费用为（万元）， （元）， 答：这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多元． 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，准确列式是关键． （1）将数据代入得出二元一次方程组求解即可； （2）求出当时的的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得：， ②①得：  ， 解得：， 把代入①得：， 所以， ∴， 答：，． （2）解：当时，， 解得． 答：当水位时，时间为． 4．根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 【答案】任务：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：每张元纸币的质量是克； 任务：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、求一个二元一次方程的正整数解． 任务：设枚元硬币克，枚角硬币克，根据小明和小聪使天平平衡的放置方法，列二元一次方程组求解即可； 任务：设每张元纸币克，根据素材中使天平平衡的放置方法，列一元一次方程求解即可； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币，可列二元一次方程，又因为、均为正整数，求出、的正整数解即可． 【详解】任务：解：设枚元硬币克，枚角硬币克， 由素材可得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解方程组可得：， 答：每枚元硬币的质量是克，每枚角硬币的质量是克； 任务：设每张元纸币克， 由素材可得：， 解得：， 答：每张元纸币的质量是克； 任务：设天平右边放入枚元和枚角硬币， 根据题意可得：， 整理得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：天平的右边可以放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币，或者放枚元硬币和枚角硬币． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二元一次方程组的的实际应用 【题型1 数字问题】............................................................1 【题型2 年龄问题】............................................................2 【题型3 配套问题】............................................................3 【题型4 方案问题】...........................................................4 【题型5 行程问题】...........................................................6 【题型6 工程问题】...........................................................7 【题型7 销售利润问题】.......................................................9 【题型8 和倍差分问题】.......................................................10 【题型9 几何问题】..........................................................12 【题型10 古代问题】.........................................................14 【题型11 其他问题】.........................................................15 【题型1 数字问题】 1．小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为242；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的和为341，原来的两个加数分别是（　　） A．21，32 B．12，23 C．31，22 D．41，42 2．如图，的网格内填了一些数与式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则的值是（   ） 3 2 A． B．0 C．1 D．2 3．有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为9，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大27．则原来的两位数为（     ） A．27 B．36 C．45 D．63 4．一个两位数，十位上的数字的两倍比个位上的数字大1，若交换个位与十位数字的位置，得到新数比原数大27，则这个两位数是 ． 5．一个两位数，十位数字比个位数字的倍大．若这个两位数减去恰好等于个位数字与十位数字对调后所得的两位数，设十位数字是，个位数字是，则列方程为 ． 6．佳佳和亮亮做加法游戏，佳佳在一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为234，而亮亮在另一个加数后面多写了一个0，得到的两数的和为63．这两个数相加的正确的和应该是 ． 【题型2 年龄问题】 1．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 2.小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 3．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．小明问他的数学老师今年多少岁了，老师说：“我像你这么大时，你才1岁，你到我这么大时，我就37岁了．”老师的年龄为 5．妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 6．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【题型3 配套问题】 1．某车间共30名工人，每人每天平均能生产8张桌子或16把椅子，要求1张桌子配4把椅子，为了使每天生产的桌子和椅子恰好配套，制作桌子和椅子的人数分别为（   ） A．9人，21人 B．10人，20人 C．15人，15人 D．20人，10人 2．某工厂有名工人，每个工人每天能加工6个型零件或者3个型零件，其中某产品每套由4个型零件和3个型零件配套组成，现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套，现50天恰好完成1200套产品的生产任务，则的值为（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 3．在长春净月潭景区的景观布置中，要制作一种特色景观灯．每张特殊材料板可制作灯身20个，或制作灯座32个，一个灯身与两个灯座配成一套完整的景观灯．现共有36张这种特殊材料板，若用张制作灯身，张制作灯座可以使灯身与灯座配套，那么可列方程组为 ． 4．一旅行团游客入住一家宾馆，如果每一间客房住5人，那么有3人无房可住；如果每一间客房住6人，那么就空出2间客房．设该宾馆有客房x间、房客y人，列出关于x、y的二元一次方程组 ． 5．一套餐桌有一张桌子和六把椅子组成．如果1立方米木料可以制作10张桌子，或制作15把椅子．现有15立方米的木料，请你设计一下，用多少立方米的木料做桌子，多少立方米的木料做椅子，恰好配套成餐桌？ 【题型4 方案问题】 1．中国-中亚峰会在西安成功举办，是千年古都的光荣使命、千万市民的骄傲与自豪．某校开展了以“美丽西安，我为家乡代言”为主题的演讲活动，计划拿出2000元钱全部用于购买甲、乙两种奖品（两种奖品都购买），奖励表现突出的学生，已知甲种奖品每件250元，乙种奖品每件100元，问该校共有多少种购买方案？ 2．试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？ (2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？ 3．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车共需95万元；购进4辆A型新能源汽车、1辆B型新能源汽车共需110万元． (1)问A、B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用150万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售1辆A型汽车可获利1.2万元，销售1辆B型汽车可获利0.8万元，假如这些新能源汽车全部售出，问该公司共有几种购买方案？最大利润是多少万元？ 4．某体育用品商店进购一批某品牌篮球和排球．已知该品牌的4个篮球和8个排球共计进价为1240元，3个篮球和5个排球共计进价为850元． (1)求该品牌每个篮球和排球的进价； (2)该商店恰好用4500元购进篮球和排球（两种球均购买），求该商店共有几种进购方案； (3)若购进篮球和排球每个的售价分别是200元，100元，在（2）的方案下，请计算出最佳购进方案，并求出最大利润． 5．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要104元，购买2瓶甲和3瓶乙免洗手消毒液需要111元． (1)求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． (2)该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的散装免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中，两种空瓶均需装，且每瓶均装满，通过计算列出所需两种空瓶数量的购买方案． 6．年月第届冬奥会在北京举行某冬奥会纪念品专卖店计划同时购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具，据了解，只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元；只“冰墩墩”和只“雪容融”的进价共计元． (1)求“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具每只进价分别是多少元； (2)若该专卖店计划恰好用元购进“冰墩墩”和“雪容融”两种毛绒玩具两种均购买，则专卖店共有哪几种采购方案？ 7．胜利运输队有甲、乙两种型号的货车用来运输货物，已知2辆甲型货车和3辆乙型货车一次可运输货物18吨，5辆甲型货车和6辆乙型货车一次可运输货物39吨． (1)求每辆甲型货车和每辆乙型货车一次分别能运输货物多少吨？ (2)某工厂计划租用胜利运输队货车，其中甲型货车每辆租金为800元，乙型货车每辆租金为1200元；要求一次运输完36吨货物，两种货车都要租且每辆车都要装满．设租用甲型货车辆，租用乙型货车辆． ①求的值； ②请你设计出最省钱的租车方案，并求出最低租金． 【题型5 行程问题】 1．甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 2．从甲地到乙地，需先走下坡路，后走平路，某人骑自行车下坡速度是，平路的速度是，上坡速度是，从甲地到达乙地时共用了，从乙地回到甲地时共用了，求甲、乙两地相距多少千米？ 3．一位俄罗斯外国朋友计划来中国旅行，体验中华优秀传统文化，感悟非遗魅力．他计划搭乘飞机前往中国．已知这趟国际飞机往返于A，B两城，顺风飞行需要2小时20分钟，逆风飞行需要2小时40分钟，当天天气状况一般，风速为每小时42千米．试求A，B两城之间的距离． 4．新情境  高铁是当代重要的交通工具．如图，某列复兴号动车组由2节车头和若干节车厢组成，车头的长度相等，每节车厢长度也相等．李华在观测点进行测量记录，该动车组若挂6节车厢以41米/秒的速度通过观测点需5秒，该动车组若挂14节车厢以45米/秒的速度通过观测点需9秒，求该动车组每节车头及每节车厢的长度分别为多少米？ 5．一个户外运动俱乐部的成员完成了两天的徒步运动．两天的徒步时间分别为和，共走了，且第一天比第二天少走，这个俱乐部的成员两天徒步的平均速度各是多少？ 6．小红家离学校1400米．其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用10分钟，已知小红在上坡路上的平均速度是千米/时，而她在下坡路上的平均速度是12千米/时，小红上坡、下坡各用多少时间？ 【题型6 工程问题】 1．某市下水管道工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设50米，甲工程队4天铺设的管道与乙工程队6天铺设的管道长度相同．求甲、乙工程队每天各能铺设多少米管道？ 2．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 3．某市在创建全国卫生文明城市建设中，对城内的部分河道进行整治．现有一段300米长的河道的整治任务，由甲、乙两个工程队先后接力完成．甲工程队每天整治20米，乙工程队每天整治30米，共用时13天．问河道整治任务完成后，甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小明、小华两位同学提出的解题思路如下： ①小明：设河道整治任务完成后，甲工程队整治河道米，乙工程队整治河道米． 根据题意，得 ②小华：设河道整治任务完成后，表示_____，表示_____． 根据题意，可列方程组 请你补全小明、小华两位同学的解题思路． (2)请从①②中任选一个解题思路，写出完整的解答过程． 4．长白山是吉林省的著名旅游景点．为方便外地游客到长白山旅游，吉林省正在修建“沈阳-白山”的高铁线路，其中一个路段需要开凿一条全长千米的穿山隧道．为缩短工期，甲、乙两个工程小组分别从山体两侧同时施工．已知甲组比乙组平均每天多开凿2米，经过天施工，两组会合，完成了任务．求甲、乙两个小组平均每天各开凿多少米？ 5．某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【题型7 销售利润问题】 1．甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按的利润定价，乙服装按的利润定价，甲、乙两件服装的定价和为730元．在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，求甲、乙两件服装的实际获利各是多少元? 2．为了促进经济内循环，某商场进行促销活动，有两种促销方案．方案一：若顾客购买两种不同价格的商品，高价格的商品按原价购买，低价格的商品可按原价的半价购买；方案二：顾客购买两件商品的总价的折购买．小明身上带有元到商场购买两件不同的物品，若按方案一买两件商品，则还差元；若按方案二买两件商品，则剩余元．那么这两件商品的原价分别是多少？ 3.西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 4．某服装厂加工A、B两种款式的运动服共100件，加工A种运动服的成本为每件80元，加工B种运动服的成本为每件100元，加工两种运动服的成本共用去9200元． (1)A、B两种运动服各加工多少件？ (2)将这100件运动服送到商场销售，A种运动服的售价为200元，B种运动服的售价为220元，销售过程中发现A种运动服的销量不好，A种运动服卖出一定数量后，商家决定余下的部分按原价的八折出售，两种运动服全部卖出后共获利10520元，则A种运动服卖出多少件后打折销售？ 【题型8 和倍差分问题】 1． 桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 2． 有大小两种货车，已知辆大货车与辆小货车一次可以运货吨，辆大货车与辆小货车一次可以运货吨．辆大货车与辆小货车一次可以运货各多少吨？ 3．树上和地上有若干只鸽子．如果地上鸽子飞上树4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的3倍；如果树上鸽子下地4只，则树上鸽子数是地上鸽子数的2倍．问树上、地上原来各有多少只鸽子？ 4．已知：六年级（2）班男生人数的3倍比女生人数的2倍多27人，男生人数的2倍比女生人数的3倍少12人，求这个班级的学生人数． 5．某学校复印社购进一批白色复印纸和彩色复印纸，若购进白色复印纸2箱，彩色复印纸3箱共需700元，若购进白色复印纸5箱，彩色复印纸2箱共需760元． (1)求白色复印纸和彩色复印纸每箱各多少元． (2)该复印社计划整箱购进这两种复印纸，费用恰好为1160元，问两种复印纸各购买几箱？ 【题型9 几何问题】 1．如图，在长方形中，放入5个形状大小相同的小长方形（阴影部分），若，求出图中空白部分的总面积． 2．如图，已知直线和直线相交于点，平分，是内部的一条射线．    (1)若，，求证：； (2)若比大，比大，请结合二元一次方程组求的度数． 3．现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、图2所示的图形，拼成的图1是一个长方形，图2是一个面积为的正方形． (1)求图2的边长； (2)求每个小长方形的长与宽． 4．阅读材料并回答问题 课本再现 探究2 据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是．现要把一块长 、宽 的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物．怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是？ 方案一 如图1，过长边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形．设 ， ，依题意列方程组，解得， 过长方形土地的长边上离一端______处，作这条边的垂线，把这块土地分为两块长方形土地，较大一块土地种植______种作物，较小一块土地种植______种作物． 方案二 如图2，过短边上一点，作交于点，甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形和长方形． …… (1)完成方案一中的三个填空； (2)请你参考“方案一”的解答过程，按“方案二”完成后面的解答过程． 5．综合与实践 长方体纸盒的制作 素材1：如图1，在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料纸板进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板． 素材2：现将52张原材料纸板全部裁剪（每张原材料纸板只能有一种裁法）得到A与B型纸板当长方体纸盒的侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝处忽略不计） 根据上述材料，完成下列任务. 任务一：每张原材料纸板可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； 任务二：根据素材1、素材2，问：怎样裁剪才能使剪出的A，B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【题型10 古代问题】 1．《增删算法统宗》是清代数学家梅瑴成对明代数学家程大位所著的《算法统宗》进行增删修正后著成的珠算书，其中记载了一道“绳索量竿”的问题，大意：有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺．设竿长x尺，绳索长y尺，可列方程组（   ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中有这样一个问题：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲大半钱亦五十，问甲乙持钱各几何？”题意为：今有甲乙二人，不知钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱数给甲，则甲的钱数为50，而甲把其的钱给乙，则乙的钱数也为50，问甲乙各有多少钱？设甲的钱数为x，乙的钱数为y，则列方程组为（　　） A．　 B． C． D． 3.阅读下面的诗句：“栖树一群鸦，鸦树不知数，三只栖一树，五只没去处，五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？”大意是：“一群乌鸦在树上栖息，若每棵树上有3只，则5只没地方去，若每棵树上有5只，则多了一棵树．”设乌鸦x只，树y棵．依题意可列方程组( ) A． B． C． D． 4．我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛，问大小器各容几何？”意思是：今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问1个大容器、1个小容器的容量各是多少斛？设1个大容器的容量为x斛，1个小容器的容量为y斛，则下列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 5．《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？“意思为：几个人一起去买东西，如果每人出8钱，就多了3钱；如果每人出7钱，就少了4钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有人，物品的价格为钱，下列说法错误的是（   ） A．由人出八，盈三，可得方程 B．由人出七，不足四，可得方程 C．一共有7人 D．物品的价格为52钱 【题型11 其他问题】 1．为了促进全民健身运动，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则为：胜一场积a分，平一场积b分，负一场积0分，当比赛进行到轮（每队均需比赛场）结束时，已知甲队负7场，平2场，积分；乙队负7场，平1场，积分；丙队积分． (1)求a，b的值； (2)请通过计算，判断丙队胜、平、负场次的可能情况． (3)若丙队赞助商对丙队的奖励方案为：胜一场、平一场、负一场，1名参赛队员获得的对应奖金分别为元、元、0元，那么，丙队的1名参赛队员可能获得的最高奖金是多少？ 2．如图，丝路纺织厂与、两地由公路、铁路相连．这家纺织厂从地购进一批长绒棉运回工厂，制成纺织面料运往地．已知长绒棉的进价为万元，纺织面料的出厂价为万元，公路运价为元（），铁路运价为元（），且这两次运输共支出公路运费元，铁路运费元．那么这批纺织面料的销售额比原料费（原料费只计长绒棉的价格）与运输费的和多多少元？ 3．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，小玉同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位随着时间的改变而改变．它的水位可用公式计算．已测得当时，水位；当时，水位． (1)求，的值； (2)当水位时，求时间的值． 4．根据以下素材，探索解决任务． 确定 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量 素材 1 小明与小聪为了测量 元纸币、 元硬币和 角硬币的质量，准备了足够多的 元纸币、 元硬币和 角硬币（设同种类每张纸币的 质量相同，同种类每枚硬币的质量也相同）， 实验器材有：一架天平和一个 克的砝码． 素材 2 小明： 天平左边放 枚 元硬币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 角硬币，天 平正好平衡．小聪：天平左边放 枚 元 硬币，天平右边放 枚 角硬币和 个 克的砝码，天平正好平衡． 素材 3 小明与小聪共同探究发现：天平左边放 张 元纸币和 个 克的砝码，天平右边放 枚 元硬币和 枚 角硬币，天平正好平衡．提出问题：天平左边放入 张 元纸币，天平 右边只放入若干枚 元和 角的两种硬币，天平也能正好平衡． 问题解决 任务 1 确定硬币的质量 每枚 元硬币和每枚 角硬币的质量是多少克？ 任务 2 确定纸币的质量 每张 元纸币的质量是多少克？ 任务 3 问题解决的策略 天平左边放入 张 元纸币，天右边只放入若 干枚 元和 角的两种硬币，请求出能使天平正 好平衡的天平右边放法的所有方案． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $