精品解析：安徽省淮南第二中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

淮南二中2027届高二年级第一学期期中考试数学试卷 出卷人：王涛 审卷人：黄海生 一、单选题（每题5分） 1. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，计算即可得答案. 【详解】点到直线的距离. 故选：C 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量共线性质可得、，即可得解. 【详解】由，则，解得，，故. 故选：B. 3. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】椭圆方程，得：，则. 由椭圆的定义得，， 所以的周长为. 故选：A. 4. 圆与的公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系即可判断公切线的条数. 【详解】由题意得圆的标准方程为，圆心为，半径； 圆的标准方程为，圆心为，半径． 因为， 所以，得到圆与圆相交，有2条公切线． 故选：B 5. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造椭圆左焦点，利用对称性得到矩形，结合直角三角形边角关系与椭圆的定义，建立、关系求解离心率. 【详解】设椭圆左焦点为，连接、， 由、关于原点对称，可知四边形为平行四边形， 又，故，即平行四边形为矩形， 因此，， 在中，，设，则，， 由椭圆的定义，， 又，故，即， 将代入，得， 故离心率. 故选：B 6. 若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心和半径，应用点到直线的距离公式求圆心到直线距离，结合已知求参数范围. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到已知直线的距离， 依题意得，即，解得. 故选：B 7. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式计算即得. 【详解】设平面的法向量，则，令，得， 所以这个四棱锥的高. 故选：D 8. 在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系，由求得点轨迹，再将转化为关于的函数，利用直线斜率的几何意义求得的范围，进而求得的最大值，从而的最大值可求. 【详解】依题意，以为坐标原点，以为轴，以为轴建立直角坐标系如图1， 不妨设正三角形的边长为2，则， 设，则 ， ， 即，即， 点轨迹为：， 则， 所以 ， 当时，，即； 当时，令，则表示与连线的斜率，如图2，且， 设直线与圆相切，直线化为， 则圆心到直线距离， 解得或 ， 故， 则当时，取得最大值为 的最大值为； 综上：的最大值为． 故选：A 二、多选题（每题6分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误. 【详解】对A，直线恒过定点，所以A错误； 对B，若，则，解得，所以B正确； 对C，若，则有，即，解得或， 当时，，，所以符合题意， 当时，，所以符合题意，所以C正确； 对D，当直线过原点时，方程为，即； 当直线不过原点时，设直线方程为：，又因为过点，所以，解得，所以直线方程为，所以D正确. 故选：BCD 10. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，在第一象限，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过联立方程组的方法求得两点的坐标，根据列方程，求得的关系式，结合双曲线的离心率、对称性、两点间的距离、四边形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】如图所示： 因为圆的方程为， 双曲线的渐近线的一条方程为， 联立，得或， 不妨设，则， 又因为 所以，， 所以， 又因为， 所以， 从而得，， 所以， 对于A，由题意可得 又因为，解得，故A错误； 对于B，由对称性可得四边形为平行四边形， 又因为， 所以，故B正确； 对于C，设，则，因为， 且，即， 所以， 所以，C选项正确. 对于D，当时，， 所以， 所以， 又因为四边形的面积，故D正确. 故选：BCD. 11. 正方体中，点满足，，若正方体棱长为1，则下列正确的有（　　） A. 若，则平面 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，，则二面角的正弦值的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据点共线以及线面平行判定定理和面面平行判定定理可证明A正确；利用锥体体积公式计算可知B错误，建立空间直角坐标系由空间距离的向量求法计算可得C正确，再由二面角的空间向量求法可判断D错误. 【详解】A，由可得，且可知三点共线； 可知点在线段上，连接，如图所示： 由正方体性质知，又平面，平面，所以平面； 同理得平面，又，且平面， 因此，平面平面，又因为平面，所以平面，即A正确； B，若，可知四点共面，即点在平面内， 由A分析知，平面平面，如下图所示： 此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即； 又三角形是边长为的正三角形，其面积为， 则三棱锥的体积为定值，即B错误； C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以； 因为点满足，， 又，因此，即，所以； 则点到直线的距离为， 显然当时，距离最小为，即C正确； D，若，，由C分析知； 所以，又； 设平面的一个法向量为，则， 因此可取，易知平面的一个法向量为， 则二面角的正弦值为， 又因为，，可知，当时显然不是最小值， 所以时，， 当时，，即二面角的正弦值的最小值为，D不正确． 故选：AC 三、填空题（每题5分） 12. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质结合求解即可. 【详解】分别为椭圆的两个焦点，则， 所以，当且仅当位于椭圆的右顶点时取等号， 故的最大值为. 故答案为：. 13. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 【答案】9 【解析】 【分析】求出圆心坐标和半径，由弦长得弦为直径，直线过圆心，圆心坐标代入直线方程得关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】由题意圆的标准方程是，圆的圆心为，半径为， 弦长为，则弦为直径，已知直线过圆心， 所以，即， ，当且仅当即时等号成立． 故答案为：9． 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，不妨令焦点在轴，设出椭圆和双曲线的方程，根据垂直关系得到，然后结合三角函数，利用换元法表示出，结合辅助角公式即可求出最终结果. 【详解】由题意不妨设双曲线方程为， 椭圆方程为，， 则，，， 则，， 又，则， 化简可得，即， 设，，则， 设，，， 因为，， 所以， 即，解得， 则， 又，则， 所以，， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将圆的方程配方，由题意得，求解即得； （2）结合图形，由垂径定理求出，在中列出方程，求解即得. 【小问1详解】 方程可化为， 此方程表示圆，，即， 故实数的取值范围是； 【小问2详解】 由（1）可得圆心，半径， 如图，过点作于点，则， 圆心到直线的距离为， 由图可得：，即， 解得：． 即的值为2. 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，取， 所以，所以， 又直线平面，所以直线平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，即可得到，从而得证； （2）求出平面的法向量，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，所以平面的法向量可以为， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 已知，在椭圆（，）上． （1）求E的方程； （2）若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值； （3）过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入即可求解得解， （2）联立直线与椭圆方程，根据相切得判别式为0，进而根据平行线间距离公式即可求解最值， （3）设直线方程，联立与椭圆方程，得到韦达定理，进而根据两点斜率公式，即可化简求解. 【小问1详解】 将，代入椭圆中可得 ，解得， 故椭圆方程为 【小问2详解】 由，可得， 设与平行且与椭圆相切的直线方程为， 联立与可得， 故，解得， 当直线时，此时直线与直线的距离最大，故最大距离为， 因此的最大值为 【小问3详解】 设直线， 则，化简得， 设,, 则， 故, 故，即， 化简可得， 故， 化简可得，解得或， 当时，则，此时直线经过，与重合，不符合题意，舍去， 当，则，此时直线恒经过，符合题意， 18. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】（1） 连接，因为点，分别为的中点，所以， 因为四边形为直角梯形，，，， 所以，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又因为为等边三角形，点为的中点，所以， 又因为侧面平面，侧面平面， 所以平面，又平面，所以， 又因为，平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，利用余弦定理可得，结合勾股定理可得，可得，由面面垂直的性质可得平面，进而可得，可证结论； （2）取的中点，连接，可证，，以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，设平面与平面所成的夹角为，可得，利用换元法，结合二次函数的性质，可求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，可得， 又平面，又平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的一个法向量为， ，令，则， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 【小问3详解】 设，则， 又， 又平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 令，， 则， 令，可得， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 19. 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． （1）求椭圆E的离心率； （2）设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； （3）设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 【答案】（1） （2） （3）如图所示： 由题意双曲线的渐近线方程为即， 当时，由对称性得关于轴对称，关于轴对称，所以为的中点，故． 下面证明当时，即证为的中点. 因为点满足，则， 不妨设，当时，，此时点在直线的左上方，同理可证，点在两渐近线所夹区域的上方或下方，不妨设点在上方区域. 由题意， 设直线的方程为，直线的方程为， 由 即，所以， 所以满足， 同理满足， 所以直线的斜率： ， 设直线方程为, 由 得即， 得的横坐标，同理， 所以， 所以为的中点，故为定值1． 综上： 为定值1． 【解析】 【分析】（1）由椭圆和双曲线中的关系即可求解. （2）首先得出，联立直线的方程与双曲线方程，结合图形进而可以得到的面积的表达式，通过不断换元转化为二次函数求最值问题. （3）令得，设方程与双曲线联立得坐标，求出直线的斜率为，写出直线方程并求出与渐近线的交点的坐标，可证是的中点. 【小问1详解】 设椭圆方程，焦距为， 由题意知椭圆E的顶点、焦点分别为， 所以， 从而椭圆E的离心率为. 【小问2详解】 如图所示： 由题意，直线斜率存在， 所以不妨设直线的方程为，， 又双曲线渐近线斜率的绝对值为， 且过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点， 所以直线的斜率满足， 将直线与双曲线方程联立，消去得， 而， 所以， 从而的面积为， 因为，令，所以， 从而， 进一步令，则， 当且仅当，即时，. 综上所述：面积的最小值. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：第一问的关键是利用双曲线、椭圆中的平方关系；第二问的关键是将三角形面积表达式求出来利用函数求最值；第三位关键是先猜后证，猜可以取“特殊值”， 只需证为的中点，可先求出坐标再验证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2027届高二年级第一学期期中考试数学试卷 出卷人：王涛 审卷人：黄海生 一、单选题（每题5分） 1. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 2. 设，向量，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆方程，过左焦点的直线与椭圆交于A,B两点，连接，则三角形的周长为（   ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 4. 圆与的公切线的条数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 若圆上点到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在四棱锥中，，，，则这个四棱锥的高等于（　　） A. 26 B. 13 C. 2 D. 1 8. 在正中，为中点，为平面内一动点，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 1 二、多选题（每题6分，选对部分选项得部分分，选错不得分） 9. 以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与互相垂直，则实数 C. 已知直线与平行，则或 D. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为或 10. 双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与曲线的一条渐近线交于、两点，在第一象限，且，则下列说法一定正确的是（ ） A. 的离心率为 B. C. D. 当时，四边形的面积为 11. 正方体中，点满足，，若正方体棱长为1，则下列正确的有（　　） A. 若，则平面 B. 若，则三棱锥的体积为定值 C. 若，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，，则二面角的正弦值的最小值为 三、填空题（每题5分） 12. 已知分别为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则的最大值为__________. 13. 直线 （，）截圆的弦长为，则 的最小值为_________. 14. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是_______. 四、解答题 15. 已知圆的方程为． （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值． 16. 如图，在正四棱柱中，底面边长为，，，分别为，上的点，且，． （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知，在椭圆（，）上． （1）求E的方程； （2）若M为E上一点（异于P，Q两点），求面积的最大值； （3）过点作两条直线分别与E交于另一点A，B，记直线NA，NB的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点． 18. 在四棱锥中，侧面平面，四边形为直角梯形，，，，为等边三角形，点，分别为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）点为线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 19. 已知双曲线H：的左、右焦点为，，左、右顶点为，，椭圆E以，为焦点，以为长轴． （1）求椭圆E的离心率； （2）设椭圆E交y轴于，，过的直线l交双曲线H的左、右两支于C，D两点，求面积的最小值； （3）设点满足．过M且与双曲线H的渐近线平行的两直线分别交H于点P，Q．过M且与PQ平行的直线交H的渐近线于点S，T．证明：为定值，并求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $